2020-2021学年广东省湛江市高一上学期期末数学试题含解析

2020-2021学年广东省湛江市高一上学期期末试题

数学

一、单选题

1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】由阴影部分表示的集合为，然后根据集合交集的概念即可求解.

【详解】因为阴影部分表示的集合为

由于.

故选：B.

2．下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】D

【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.

【详解】对于A，因为，所以与终边相同；

对于B，因为，所以与终边相同；

对于C，因为，所以与终边相同；

对于D，若，解得，所以与终边不同.

故选：D.

3．已知命题p：，，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】直接利用全称命题的否定即可得到结论．

【详解】因为命题p：，，所以：，.

故选：A.

4．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或  D．或

【答案】A

【分析】由不等式的解集为,可得的根为，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.

【详解】的解集为,则

的根为，即，，

解得，

则不等式可化为，即为，

解得或，

故选：A.

5．已知偶函数在上单调递增，则对实数、，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】因为偶函数在上单调递增，

若，则，

而等价于，故充分必要；

故选：C

6．已知二次函数在区间(2，3)内是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据开口方向和对称轴及二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间求参数的取值范围即可.

【详解】根据题意二次函数f（x）=x2-2ax+1开口向上，单调递增区间为，单调减区间，因此当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数时a≤2，

当二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数时a≥3，

综上可得a≤2或a≥3.

故选：A.

7．已知且，则（    ）

A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值

【答案】A

【分析】根据，变形为，再利用不等式的基本性质得到，进而得到，然后由，利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

当且仅当时取等号，

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为，再由，利用不等式的性质构造，再利用基本不等式求解.

8．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用指数函数和二次函数的性质对各个选项一一进行判断可得答案.

【详解】解：两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过点，故排除A，D；

二次函数的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；

当时，指数函数递增，，B不合题意，

故选C．

【点睛】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.

二、多选题

9．下列各组函数表示不同函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABD

【分析】根据相等函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；

对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.

故选：ABD.

10．已知函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C．在区间上单调递增 D．在区间上有两个零点

【答案】CD

【分析】求出， ，即可判定AB错误，得到C正确，解方程即可得到D选项正确.

【详解】，所以A选项错误；

，所以B选项错误；

，是正弦函数的增区间的子区间，

所以在区间上单调递增，所以C选项正确；

令，，，

所以在区间上有两个零点，所以D选项正确.

【点睛】此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.

11．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是

C．当时，的最小值是

D．若，，且，则的最小值是

【答案】AD

【分析】根据基本不等式逐项计算即可判断求解，注意等号成立的条件．

【详解】解：对于选项，当时，，可得，

当且仅当时取等号，结论成立，故正确；

对于选项，当时，，，

可得，

当且仅当时即取等号，

但，等号取不到，因此的最小值不是2，故错误；

对于选项，因为，所以，

则，

当且仅当时取等号，故没有最小值，故错误；

对于选项，因为，，且，

则，

当且仅当，即时，等号成立，故正确．

故选：．

12．已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当，且时，都有，给出下列命题，其中所有正确命题为（    ）.

A．

B．直线是函数的图象的一条对称轴

C．函数在上为增函数

D．函数在上有四个零点

【答案】ABD

【分析】函数是R上的偶函数，对任意，都有成立，我们令，可得，进而得到恒成立，再由当，且时，都有，我们易得函数在区间单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．

【详解】令，则由，

得，

故,A正确；

由得：，故以6为周期．

又为偶函数即关于直线对称，

故直线是函数的图象的一条对称轴，B正确；

因为当，，时，有成立，

故在上为增函数，

又为偶函数，

故在上为减函数，

又周期为6．

故在上为减函数，

C错误；

该抽象函数图象草图如下：

函数周期为6，故

，

故在上有四个零点，

D正确．

故答案为：ABD．

【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题.

三、填空题

13．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.

【答案】

【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．

【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，

则扇形的面积，解得：，

此扇形所含的弧长.

故答案为：.

14．设，则________．

【答案】

【分析】根据自变量的取值判断使用哪一段解析式求解，分别代入求解即可．

【详解】解：因为，

所以，

所以．

故答案为：1．

15．已知正数、满足，则的最大值为_________．

【答案】

【分析】利用均值不等式直接求解.

【详解】因为且，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.

故答案为：.

16．函数的最小值为________.

【答案】

【分析】原函数化为，令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.

【详解】由原函数可化为，

因为，

令，

则，，

又因为，

所以，

当时，即时，

有最小值.

故答案为：

四、解答题

17．求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）2；（2）.

【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；

（2）根据对数的运算性质可求出结果.

【详解】（1）原式；

（2）原式=

18．已知为锐角，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题中条件，求出，，再由两角差的余弦公式，求出，根据二倍角公式，即可求出结果；

（2）由（1）求出，，再由两角差的正切公式，即可求出结果.

【详解】（1），为锐角，且，，则，

，，

，；

（2）由（1），所以，则，

又，，；

.

19．已知函数.

（1）当时，用定义法证明函数在上是减函数；

（2）已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）在上为减函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；

（2）设，由题意可得，，的方程，解得，，，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．

【详解】解：（1）在上为减函数．

证明：设，，

由，可得，，即，即有，

所以在上为减函数；

（2）设，则，

由，可得，

则，，

解得，，

即有，

不等式恒成立，即为，即对恒成立，

由，当时，取得最小值，

可得．

即的取值范围是．

20．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度(单位：千米/小时)和车流密度(单位：辆/千米)满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是千米/小时.

（1）若车流速度不小于千米/小时，求车流密度的取值范围；

（2）隧道内的车流量(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时)满足，求隧道内车流量的最大值(精确到辆/小时)，并指出当车流量最大时的车流密度.

【答案】（1）；（2）最大值约为3250辆/小时，车流密度约为87辆/千米.

【分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围．

（2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得．

【详解】解：（1）由题意知当(辆/千米)时，(千米/小时)，

代入得，解得

所以

当时，，符合题意；

当时，令，解得，所以

综上，

答：若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.

（2）由题意得，

当时，为增函数，

所以，等号当且仅当成立；

当时，

即，等号当且仅当，即成立.

综上，的最大值约为3250，此时约为87.

答：隧道内车流量的最大值约为3250辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解．

21．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图像，图像关于对称；②函数这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.

已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.

（1）若在上的值域为，求a的取值范围；

（2）求函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2），，.

【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数，

（1）由，得到，根据由正弦函数图像，即可求解；

（2）根据函数正弦函数的形式，求得，，进而得出函数的单调递增区间.

【详解】方案一：选条件①

由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，解得，

所以，

又由函数的图象向右平移个单位长度得到，

又函数图象关于对称，可得，，

因为，所以，所以.

（1）由，可得，

因为函数在上的值域为，

根据由正弦函数图像，可得，解得，

所以的取值范围为.

（2）由，，可得，，

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得，

所以函数在上的单调递增区间为，，.

方案二：选条件②：

由

，

因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得，所以，

可得，

又由函数的图象向右平移个单位长度得到，

又函数图象关于对称，可得，，

因为，所以，所以.

（1）由，可得，

因为函数在上的值域为，

根据由正弦函数图像，可得，解得，

所以的取值范围为.

（2）由，，可得，，

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得，

所以函数在上的单调递增区间为，，.

【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为或的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.

22．已知函数，.

（1）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；

（2）若对任意的、，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据二次不等式的解集得，再根据基本不等式求解即可；

（2）根据题意将问题转化为在恒成立，再令，（），分类讨论即可求解.

【详解】（1）由关于的不等式的解集为，所以知

∴

又∵，∴，取“”时

∴

即的最小值为，取“”时

（2）∵时，，

∴根据题意得：在恒成立

记，（）

①当时，

由，∴

②当时，

由，∴

③当时，

由，

综上所述，的取值范围是

【点睛】本题的第二问中关键是采用动轴定区间的方法进行求解，即讨论对称轴在定区间的左右两侧以及对称轴在定区间上的变化情况，从而确定该函数的最值.