河北省石家庄外国语学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份河北省石家庄外国语学校2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省石家庄外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：（共42分，1-10题每个3分，11-16题每个2分）
1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
2．方程x2＝3x的解是（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．0或3
3．若3a﹣2b＝0，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
5．堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（　　）

A．1：3 B．1：2.6 C．1：2.4 D．1：2
6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
7．如图，△ABC中，∠B＝65°，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣3 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
10．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
11．（2分）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x（　　）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
12．（2分）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）

A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标是（　　）

A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）
14．（2分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O（　　）

A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，G分别在AB，AC上，DG＝3，则点F到BC的距离为（　　）

A．3 B．2 C． D．
16．（2分）下列说法中正确的有（　　）个．
①线段2和8的比例中项是±4；
②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形不能与原来的长方形相似；
③在△ABC和△DEF中，AB＝6，BC＝7.5，DE＝6，EF＝5，则△ABC∽△DEF；
④如图，已知，在Rt△ABC中，BD⊥AC于D，BC＝5，则sinA＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（共10分）
17．关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根是a，则代数式﹣2a2+10a+3的值是 　 　．
18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）

19．（4分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝8，点D在线段BC上运动
（1）当BD＝1时，则CE＝　 　；
（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　．

三、解答题：（共7题，共68分）
20．（10分）（1）解方程：x2+3＝6x；
（2）计算：8sin260°+tan45°﹣3tan30°．
21．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，使得AB⊥BC，然后选定点E，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？

22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．

23．（9分）探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3，BC＝10，求BE的长；
（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处DC，则tan∠AMN＝　 　．

24．（10分）某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时
（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是 　 　间；房间每天的入住量y（间）关于x（元）　 　；
（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？
25．（10分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，则CD旋转的角度为 　 　．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）

26．（12分）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN时，同时，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时PQ⊥AC？
（2）是否存在某一时刻t，S△PQC：S四边形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在；
（3）当t＝　 　时，△PQC为等腰三角形？


2021-2022学年河北省石家庄外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共42分，1-10题每个3分，11-16题每个2分）
1．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据锐角的余弦值的定义解决此题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cosA＝．
故选：A．
2．方程x2＝3x的解是（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．0或3
【分析】求出一元二次方程的解直接选择答案即可．
【解答】解：x2＝3x
x5﹣3x＝0
x（x﹣5）＝0
x1＝7，x2＝3．
故选：D．
3．若3a﹣2b＝0，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】先利用内项之积等于外项之积得到＝，然后利用合比性质求解．
【解答】解：∵3a﹣2b＝2，
∴3a＝2b，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DE＝2（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l8，
∴，
∴EF＝7DE＝2×2＝8．
故选：C．
5．堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（　　）

A．1：3 B．1：2.6 C．1：2.4 D．1：2
【分析】坡度＝垂直距离÷水平距离．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝12米．
则斜坡AB的坡度＝BC：AC＝5：12＝1：3.4．
故选：C．
6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+5＝0，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（　　）
A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣8x+8＝0，
移项得：x2﹣4x＝﹣5，
配方得：x2﹣2x+16＝11，即（x﹣4）2＝11．
故选：D．
7．如图，△ABC中，∠B＝65°，BC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例（（6﹣5）：6﹣1＝1：2＝3：6，故两三角形相似．
故选：C．
8．如图，在4×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（　　）

A． B． C．2 D．3
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各边长，根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，根据锐角三角函数的定义计算即可．
【解答】解：∵每格小正方形的边长都是1，
∴AB＝2，AC＝，
则AB2+BC5＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ACB＝＝2，
故选：C．
9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣4 B．a＞﹣3 C．a≥﹣3且a≠1 D．a＞﹣3且a≠1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4（a﹣7）×（﹣1）≥0，
解得a≥﹣5且a≠1．
故选：C．
10．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，
即＝，
解得AB＝9．
故选：D．
11．（2分）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x（　　）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5（5﹣x），
2020年的用水量为6.5（4﹣x）2，
故选：A．
12．（2分）如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（　　）

A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时
【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，则∠CBD＝∠CBA＝30°，得AC＝BC．由此可在Rt△CBD中，根据BC（即AC）的长求出CD的长，进而可求出该船需要继续航行的时间．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如下图所示：
易知：∠DAB＝30°，∠DCB＝60°，
则∠CBD＝∠CBA＝30°．
∴AC＝BC，
∵轮船以40海里/时的速度在海面上航行，
∴AC＝BC＝2×40＝80海里，
∴CD＝BC＝40海里．
故该船需要继续航行的时间为40÷40＝1小时．
故选：A．

13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标是（　　）

A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）
【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案．
【解答】解：连接CF，交y轴于点P，
由题意得，CD＝4，DG＝3，
∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，
∴CD∥GF，
∴△CDP∽△FGP，
∴＝，即＝，
解得，GP＝5，
∴OP＝2，
∴位似中心P的坐标为（0，8）
故选：A．

14．（2分）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O（　　）

A．＝ B．＝
C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．
【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，
∴＝，A选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴＝，B选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确；
∵DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴S△DOE：S△COB＝1：2，D选项结论错误；
故选：D．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，G分别在AB，AC上，DG＝3，则点F到BC的距离为（　　）

A．3 B．2 C． D．
【分析】过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，通过证明△ADG∽△ABC，可得∠ADG＝∠B，可证DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，

∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD：AB＝AG：AC，
∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BM＝BC＝2，
∴AM＝＝＝8，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN＝7，
∴MN＝AM﹣AN＝6，
∴FH＝MN﹣GF＝6﹣2＝3，
故选：A．
16．（2分）下列说法中正确的有（　　）个．
①线段2和8的比例中项是±4；
②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形不能与原来的长方形相似；
③在△ABC和△DEF中，AB＝6，BC＝7.5，DE＝6，EF＝5，则△ABC∽△DEF；
④如图，已知，在Rt△ABC中，BD⊥AC于D，BC＝5，则sinA＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据比例中项的概念得出答案；②根据相似多边形的概念可得出答案；③根据相似三角形的判定可得出答案；④根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】解：①2和8的比例中项是±7；线段2与8的比例中项为8；
②将一个长方形对折一次得到一个新的长方形能与原来的长方形相似，相似比为；
③∵，
∴△ABC∽△DEF错误．故③不正确；
④∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，
∴∠A+∠ABD＝∠DBC+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
∴sinA＝sin∠DBC＝＝．
故④正确．
故选：A．
二、填空题：（共10分）
17．关于x的一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根是a，则代数式﹣2a2+10a+3的值是 　﹣1　．
【分析】将x＝a代入x2﹣5x﹣2＝0，得到a2﹣5a＝2，然后整体代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：由题意，得a2﹣5a﹣6＝0，
所以a2﹣8a＝2．
所以﹣2a2+10a+3
＝﹣2（a5﹣5a）+3
＝﹣2+3
＝﹣1．
故答案是：﹣8．
18．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，则乙楼的高CD是　40　m（结果保留根号）

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CAD＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
19．（4分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝8，点D在线段BC上运动
（1）当BD＝1时，则CE＝　　；
（2）设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　．

【分析】（1）证明△BAD∽△CAE，推出＝＝，可得结论；
（2）证明∠DCE＝90°，推出CP＝DE，求出DE的最小值，可得结论．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
∵BD＝4．
∴CE＝，
故答案为：；

（2）∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵DP＝PE，
∴CP＝DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，此时AD＝＝＝，
∴DE＝AD＝8，
∴CP的最小值为×8＝5，
故答案为：4．

三、解答题：（共7题，共68分）
20．（10分）（1）解方程：x2+3＝6x；
（2）计算：8sin260°+tan45°﹣3tan30°．
【分析】（1）整理成一般式，再利用公式法求解即可；
（2）代入三角函数值，再根据实数的运算顺序依次计算即可．
【解答】解：（1）∵x2+3＝8x，
∴x2﹣6x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，
∴Δ＝（﹣6）2﹣2×1×3＝24＞8，
则＝＝3±，
即x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）原式＝8×（）2+1﹣7×
＝7×+8﹣
＝6+3﹣
＝7﹣．
21．（8分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，使得AB⊥BC，然后选定点E，确定BC与AE的交点为D，若测得BD＝180m，EC＝50m，你能知道小河的宽是多少吗？

【分析】先证明△ABD∽△ECD，利用对应边成比例可求出AB的长度．
【解答】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝，
将BD＝180m，DC＝60m，代入可得：＝，
解得：AB＝150．
答：小河的宽是150m．
22．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，点D在BC上，且BD＝AD．
（1）求AC的长；
（2）求cos∠ADC的值．

【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出tanB，把tanB的值，以及BC的长代入求出AC的长即可；
（2）设CD＝x，则有AD＝BD＝8﹣x，在直角三角形ACD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与AD的长，利用锐角三角函数定义求出cos∠ADC的值即可．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，
∴＝tanB＝＝，
解得：AC＝4；
（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD7+AC2，
即（8﹣x）3＝x2+16，
解得：x＝3，
∴CD＝7，AD＝5，
则cos∠ADC＝＝．
23．（9分）探究：如图①，点A、点D在直线BC上方，且AB⊥BC，AE⊥DE．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）应用：如图①，在探究的条件下，若AB＝3，BC＝10，求BE的长；
（3）拓展：如图②，矩形ABCD中，AB＝12，将矩形ABCD翻折，使点A落在边CD上的点E处DC，则tan∠AMN＝　2　．

【分析】（1）先用同角的余角相等判断出∠A＝∠EDC，即可得出结论；
（2）由（1）知，△ABE∽△ECD，得，即，代值计算，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出DM，再判断出BN＝CF，FN＝BC＝8，再判断出△MDE∽△EFN，得出比例式，进而求出EF，可得AN＝DF＝DE+EF＝4+6＝10，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠A+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；

（2）解：由（1）知，△ABE∽△ECD，
∴，即，
∴，
∴BE＝2或6；

（3）解：如图②，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝12，
∵DE＝DC，
∴DE＝4，
设DM＝x，则AM＝AD﹣DM＝4﹣x，
由折叠知，ME＝AM＝8﹣x，
根据勾股定理得，DM2+DE2＝ME2，
∴x2+32＝（8﹣x）5，
∴x＝3，
∴DM＝3，
∴AM＝2﹣3＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°，
过点N作NF⊥CD于F，则∠EFN＝90°＝∠B＝∠C，
∴四边形BCFN是矩形，
∴BN＝CF，FN＝BC＝4，
∵∠D＝90°，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
由折叠知，∠MEN＝90°，
∴∠DEM+∠NEC＝90°，
∴∠DME＝∠NEC，
∴△MDE∽△EFN，
∴，
∴，
∴EF＝6，
∴AN＝DF＝DE+EF＝4+5＝10，
∴tan∠AMN＝＝＝2．
故答案为：3．
24．（10分）某宾馆客房部有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．每个房间每天的定价每增加10元时
（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是 　45　间；房间每天的入住量y（间）关于x（元）　y＝50﹣　；
（2）某一天，该宾馆客房部的总收入为12000元，问这天每个房间的定价是多少元？
【分析】（1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，可计算每天的入住量并列出函数关系式；
（2）根据客房部的总收入为12000元列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）若定价为250元时，房间每天的入住量是50﹣，
∵宾馆客房部有50个房间供游客居住，每个房间每天的定价每增加10元时，
∴房间每天的入住量y关于x的函数关系式为y＝50﹣；
故答案为45；y＝50﹣；
（2）当客房部的总收入为12000元时，有
（50﹣）（200+x）＝12000，
解得：x1＝100，x2＝200，
200+100＝300（元），200+200＝400（元），
∴每个房间的定价是300元或400元；
答：每个房间的定价是300元或400元．
25．（10分）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，则CD旋转的角度为 　33.4°　．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）

【分析】（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；
②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案．
（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【解答】解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，
则点C到直线DE的距离为CF，

在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35．
②由图可知，点A到直线DE的距离为：AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm），
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．

在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝＝0.4，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.7°．
故答案为：33.4°．
26．（12分）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN时，同时，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s．当△PMN停止平移时，如图②设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时PQ⊥AC？
（2）是否存在某一时刻t，S△PQC：S四边形ABQP＝1：35．若存在，求出t的值；若不存在；
（3）当t＝　或2或　时，△PQC为等腰三角形？

【分析】（1）先根据勾股定理求AC＝4，根据平移的性质和平行四边形的性质得：PQ∥AB，列比例式为：＝，代入可求t的值；
（2）由题意可知S△QMC＝S△QPC＝S△ABC，作PF⊥BC于点F，用含t的代数式表示△QPC的面积即可列方程求出t的值；
（3）分三种情形：当QP＝QC时，当CP＝CQ时，当PC＝PQ时，分别构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AC＝＝，

∵PQ⊥AC，AC⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴＝，
即＝，
解得t＝，
∴当t为时，PQ⊥AC；

（2）如图2，作PF⊥BC于点F，

由＝＝＝sin∠ACB得PC＝，
由平移得，PM∥BC，
∴S△QMC＝S△QPC＝×CQ×PF，
∵S△QMC：S四边形ABQP＝1：35，
∴S△QPC：S四边形ABQP＝1：35，
∴S△QPC＝S△ABC＝×（，
∴t×，
整理得，8t2﹣36t+5＝2，
解得，t＝；

（3）当QP＝QC时，＝cos∠ACB＝，
则有＝，
∴t＝．
当CP＝CQ时，4﹣t＝t，
∴t＝2．
当PC＝PQ时，＝cos∠ACB＝，
∴＝，
∴t＝，
综上所述，满足条件的t的值为．
故答案为：或2或．