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海南省海口市第四中学2022届高三上学期第一次月考数学试题 含答案
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这是一份海南省海口市第四中学2022届高三上学期第一次月考数学试题 含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。）
已知集合，，则
A. B. C. D.
若a，b都为正实数，，则ab的最大值是
B. C. D.
若，且，则
A. B. C. D.
掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为参考数据：
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
函数的值域为
A. B. C. D.
已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
使得成立的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围
B.
C. D.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。在每小题给出的4个选项中，有多个符合选项要求，全部选对得满分，部分选对得2分，错选得0分。）
下列四个关系中正确的是
B. C. 2， D. 空集
下列结论不正确的是
A.“”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 若，则函数的最小值为2
D. 命题“，”的否定是“，”
有3台车床加工同一型号的零件第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
已知，，下列命题中正确的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
若函数则 ．
已知角的终边经过点，则的值是________
命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是
．
顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观如图所示，是黄金三角形，，作的平分线交AC于点D，易知也是黄金三角形若，则 ；借助黄金三角形可计算 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
（本题满分10分）如图，在四边形ABCD中，，．
求AC的长； 求面积的最大值．
（本题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，问是否存在正整数n，使得数列的前n项和等于？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．
（本题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分即获得分设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；
设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，
求证：平面平面ABCD．
在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题_______处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．
与平面PCD所成角的正弦值等于；与平面PDF所成角的正弦值等于；
与平面PDF所成角的正弦值等于．
问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
（本题满分12分）已知函数．
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
答案
1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】D8.【答案】D 9.【答案】CD 10.【答案】BCD 11.【答案】BC 12.【答案】ACD
13.【答案】5 14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】；
17.【答案】解：由于，，．所以，，，，
在中，利用余弦定理，
解得．
在中，由得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故．
18.【答案】解：设数列的公差为d，由，得．由，，成等比数列，得，即，整理得：，又，所以，由得：，所以．
由知：，则令，解得．
所以存在，使得数列的前n项和等于．
19.【答案】解：若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得100分的概率为：；
可能的取值为10，20，100，根据题意，有
， ，
，．
所以X的分布列为：
设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件2，，则．
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为：．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
20.【答案】证明：，，底面ABCD为矩形，，
又，且，，又，平面平面ABCD．
解：取AD中点为O，连接OP，，，以O为原点，OA，OP所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，0，，2a，，2a，，a，，
选：，，，
设平面PCD的法向量为，则，即可取，
设CF与平面PCD所成角为，则，解得，
符合题意的四棱锥存在，此时．
选：，，，
设平面PDF的法向量为，则，即
可取，设DA与平面PDF所成角为，则，解得，
符合题意的四棱锥存在，此时，
选：易知PA与平面PDF所成角小于，设PA与平面PDF所成角为，
则，故不存在符合题意的四棱锥．
21.【答案】解：Ⅰ由题意知，，，，，椭圆的方程为．
Ⅱ设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，，则，
为线段AB的中点，，，，
为定值．
Ⅲ若四边形OAPB为平行四边形，则，，，点P在椭圆上，，解得，即，
当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．
22.【答案】解：Ⅰ由题意知函数的定义域为，，
是的极值点，，解得，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ要使得恒成立，即当时，恒成立，
设，则，
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，
故，得；
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，，
此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，，
此时，不合题意．
综上所述，a的取值范围为．
x
1
3
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分。）
已知集合，，则
A. B. C. D.
若a，b都为正实数，，则ab的最大值是
B. C. D.
若，且，则
A. B. C. D.
掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为参考数据：
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
函数的值域为
A. B. C. D.
已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
使得成立的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围
B.
C. D.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分。在每小题给出的4个选项中，有多个符合选项要求，全部选对得满分，部分选对得2分，错选得0分。）
下列四个关系中正确的是
B. C. 2， D. 空集
下列结论不正确的是
A.“”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 若，则函数的最小值为2
D. 命题“，”的否定是“，”
有3台车床加工同一型号的零件第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，，则下列选项正确的有
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
已知，，下列命题中正确的是
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
若函数则 ．
已知角的终边经过点，则的值是________
命题“，使得不等式”是真命题，则m的取值范围是
．
顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观如图所示，是黄金三角形，，作的平分线交AC于点D，易知也是黄金三角形若，则 ；借助黄金三角形可计算 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
（本题满分10分）如图，在四边形ABCD中，，．
求AC的长； 求面积的最大值．
（本题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，问是否存在正整数n，使得数列的前n项和等于？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．
（本题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分即获得分设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；
设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，
求证：平面平面ABCD．
在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题_______处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．
与平面PCD所成角的正弦值等于；与平面PDF所成角的正弦值等于；
与平面PDF所成角的正弦值等于．
问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
（本题满分12分）已知椭圆的右焦点为，离心率为直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．
（本题满分12分）已知函数．
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
答案
1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】D8.【答案】D 9.【答案】CD 10.【答案】BCD 11.【答案】BC 12.【答案】ACD
13.【答案】5 14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】；
17.【答案】解：由于，，．所以，，，，
在中，利用余弦定理，
解得．
在中，由得，
又因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故．
18.【答案】解：设数列的公差为d，由，得．由，，成等比数列，得，即，整理得：，又，所以，由得：，所以．
由知：，则令，解得．
所以存在，使得数列的前n项和等于．
19.【答案】解：若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得100分的概率为：；
可能的取值为10，20，100，根据题意，有
， ，
，．
所以X的分布列为：
设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件2，，则．
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为：．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
20.【答案】证明：，，底面ABCD为矩形，，
又，且，，又，平面平面ABCD．
解：取AD中点为O，连接OP，，，以O为原点，OA，OP所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，0，，2a，，2a，，a，，
选：，，，
设平面PCD的法向量为，则，即可取，
设CF与平面PCD所成角为，则，解得，
符合题意的四棱锥存在，此时．
选：，，，
设平面PDF的法向量为，则，即
可取，设DA与平面PDF所成角为，则，解得，
符合题意的四棱锥存在，此时，
选：易知PA与平面PDF所成角小于，设PA与平面PDF所成角为，
则，故不存在符合题意的四棱锥．
21.【答案】解：Ⅰ由题意知，，，，，椭圆的方程为．
Ⅱ设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，，则，
为线段AB的中点，，，，
为定值．
Ⅲ若四边形OAPB为平行四边形，则，，，点P在椭圆上，，解得，即，
当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为．
22.【答案】解：Ⅰ由题意知函数的定义域为，，
是的极值点，，解得，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ要使得恒成立，即当时，恒成立，
设，则，
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，
故，得；
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，，
此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单减区间为，由得单增区间为，，
此时，不合题意．
综上所述，a的取值范围为．
x
1
3
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
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