第02讲-常用逻辑用语（讲义版）学案

第02讲  常用逻辑用语

一、                       考情分析

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；

2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；

3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.

二、                       知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.

(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.

3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为p，读作“非p”)

[方法技巧]

1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.

2.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.

3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

三、                       经典例题

考点一　充分条件与必要条件的判断

【例1-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在中，“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】余弦函数在区间上单调递减，且，，

由，可得，，由正弦定理可得.

因此，“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

【例1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数定义域是，那么“是增函数”是“不等式恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】函数为上的增函数不等式恒成立，反之不成立，

“是增函数”是“不等式恒成立”的充分不必要条件.

故选：A

【例1-3】（2020·全国高三月考）若数列的前项和为，则“”是“数列是等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性，

若，所以当时，，

所以，化简得①，

所以当时，②，

①②得，所以，即数列是等差数列，充分性得证，所以“”是“数列是等差数列”的充要条件.

故选：C.

规律方法　充要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

考点二　全称量词与存在量词　

【例2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“，”的否定为（  ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“，”的否定为“，”．

故选A．

【例2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题， ，则为（    ）

A．，  B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即，.

规律方法　1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

考点三　充分条件、必要条件的应用　

【例3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题关于的不等式的解集为，，，试判断“为真命题”与“为真命题”的充分必要关系．

【答案】充分不必要

【解析】若为真命题：当时，对于任意，则有恒成立；

当时，根据题意，有，解得.

所以；

若为真命题：，．

，

当且仅当时，等号成立，所以.

，所以，“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.

【例3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“，使等式成立”是真命题．

（Ⅰ）求实数的取值集合；

（Ⅱ）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．

【答案】（1）（2）或.

【解析】（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数的取值集合可求；

（2）是的必要条件，分、、三种情况讨论即可求的取值范围．

(1) 由题意知，方程在上有解，

即的取值范围就为函数在上的值域，易得7分

(2) 因为是的必要条件，所以8分

当时，解集为空集，不满足题意 9分

当时，，此时集合

则，解得12分

当时，，此时集合

则15分

综上16分

规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

(3)数学定义都是充要条件.

[思维升华]

1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

(1)定义法

(2)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；

①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”.

[易错防范]

1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

四、                       课时作业

1．（2020·青海师范大学附属第二中学高二月考（理））“复数为纯虚数”是“”的（ ）

A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充分条件

C．充要条件 D．既不是充分也不是必要条件

2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2018·浙江省效实中学高二期中）已知直线，，则“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2019·陕西省高二期末（文））已知O，A，B，C是不同的四个点，且，则“”是“A，B，C共线”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））方程表示双曲线的一个充分不必要条件是　　

A． B．

C． D．

6．（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）已知命题，那么为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·四川省新津中学高二月考）设为实数，命题：，，则命题的否定是（      ）

A．：， B．：，

C．：， D．：，

8．（2019·陕西省高二期末（文））命题“任意”的否定是__________.

9．（2019·涟水县第一中学高三月考（文））命题“”是假命题，则m的取值范围为__________。

10．（2019·江苏省高二期末（文））若，则“”是“”的____条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”“充要”、“既不充分又不必要”中选填）

11．（2019·江苏省高三期中）若，为实数，则“”是“”的______ 条件.（在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写）

12．（2020·湖州市菱湖中学高二期中）已知：；：．

（1）若是的必要条件，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．

13．（2019·无锡市第一中学高三月考）记函数的定义域、值域分别为集合A，B.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

14．（2020·全国高三月考（理））设为实数，，，不等式恒成立.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若为真命题，求实数的取值范围.