考点06 周期性（讲解）（解析式）练习题

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考点6：周期性【思维导图】【常见考法】考点一：利用周期求值1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.2.已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为     。【答案】 【解析】由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，∴f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，∴f(－1)＝2－1－1＝－，∴f(1)＝，∴f(16)＝.3.已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝        。【答案】2【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.4.已知函数f（x），则f（2019）＝       。【答案】【解析】，
当时，，则.5.已知函数满足，，，则    。【答案】【解析】取，代入，得，解得，则当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；当，时， ，解得；是周期为的周期函数，余．6．已知函数满足，，则等于    。【答案】3【解析】则是以8为周期的周期函数.所以．7．函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则       。【答案】1【解析】将用替换，用替换，由对任意实数，都有，可得，由，所以，即，所以，所以函数的周期，令，则，因为，所以， 所以，考点二：利用周期求解析式1．设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________【答案】【解析】∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，∴x∈[﹣2，﹣1]时，2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|故答案为：2．已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.【答案】【解析】 即可改写为: 设 得:   可得: 则函数的周期,即可改写为: 设得:由于时，，任取则，所以.任取，则，而        (可将中变为即可得到此式)          所以函数解析式为.故答案为:.考点三：利用周期比大小1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)A．0<f(1)<f(3)   B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3)   D．f(3)<f(1)<0【答案】C【解析】由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)A．a<b<c   B．b<a<cC．a<c<b   D．c<b<a【答案】B【解析】由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.3.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列不等式正确的是(    )A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得，所以，的周期.又，且有，所以，.又，所以，即，因为时，，所以又，所以，所以，所以.故选：C.