专题18 恒成立问题-最值分析法（解析版）学案

专题18  恒成立问题-最值分析法

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不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.

1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论

2、理论基础：设的定义域为

（1）若，均有（其中为常数），则

（2）若，均有（其中为常数），则

3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）

② 缩小参数与自变量的范围：

   通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

   观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围

（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点

的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内

【经典例题】

例1．（2020·安徽高三三模）已知函数，其导函数为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A．（0，1） B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得，

所以对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，

即对任意的恒成立.

令，则，

当时，，则在上单调递减，

所以，符合题意；

当时在上单调递减，在上单调递增，

所以，不合题意.

所以实数的取值范围为.

故选：C

例2．（2020·柳州高级中学高三三模）如果关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在[﹣1，1]恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．a≤0 B．a≤l C．a≤2 D．a

【答案】A

【解析】当时，不等式成立，

当时  关于x的不等式x3﹣ax2+1≥0在恒成立，

即在恒成立，

令，，

当时，，当时，.

所以在递增，在递减

当时，

当时，

所以的最小值为0.

所以

故选：A

例3．（2020·河南平顶山·高三三模）已知函数对有成立，则k的最小值为（    ）

A．1 B． C．e D．

【答案】B

【解析】由题意，函数对有成立，

当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去；

当时，令，

则，

令，可得或，

（1）当时，则，则在上恒成立，

因此在单调减，从而对任意，总有，

即对任意，都有成立，所以符合题意；

（2）当时，，对于，因此在内单调递增，

所以当时，，即存在不成立，

所以不符合题意，舍去，

综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为．

故选：B．

例4．（2020·定远县育才学校高三三模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设则，当时，

所以在上递增，得

所以当时，恒成立.

若不等式在上恒成立，得函数在上递减，

即当时，恒成立，所以

即，可得恒成立，因为,所以，

故选．

例5．（2020·全国高三三模）不等式对于任意正实数恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】由不等式对于任意正实数恒成立，

令，求导得，

因为，所以按与2比较分类讨论：

当时，，所以在区间上是增函数，

又，所以．

当时，因为是增函数，所以有唯一正数解，设为，

所以在区间上，，是减函数，

所以在上，，不合题意．

综上所述，实数的取值范围是．

例6．（2020·宁夏银川一中三模）对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】当时， 恒成立等价于恒成立，等价于在上单调递增，

所以在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为当时，，

所以.故答案为：.

例7．（2020·江苏南京·高三三模）若对任意a[e，)（e为自然对数的底数），不等式对任意xR恒成立，则实数b的取值范围为_______．

【答案】[﹣2，)

【解析】当时，显然成立，；

当时，，

令，则，

易知：当时，，递增，

当时，，递减，

∴，故；

综上，实数b的取值范围为[﹣2，)．

故答案为：[﹣2，)．

例8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，，若对，总有或成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】由，得，

故依题只须对任意，恒成立，

，其中，，

只须．令，

，（1），

，

在单调递减，

（1）在，单调递减，

（1），

．

故答案为：

【精选精练】

1．（2020·重庆高三三模）已知函数（，），若对任意都有成立，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】若对任意都有成立，则说明函数在时取得最小值.对函数求导得，则应满足，即，构造函数，则，当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以当时，函数取得最大值为，所以恒成立，即，恒成立，故选D.

2．（2020·河北邢台·高三三模）若函数在上为减函数，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，.

由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

3．（2020·青海西宁·高三三模）若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)

【答案】B

【解析】由题意对上恒成立，

所以在上恒成立，

设，则，

由，得，

当时，，当时，，

所以时，，所以，

即实数的取值范围是.

4．（2020·河南三模）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为不等式对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

设，，

则.

设，

则，

因为在上单调递减，

所以，

则在上单调递减，

所以，

所以在上单调递减，

所以，

解得，

所以的取值范围是.

故选：C

5．（2020·四川省泸县第四中学高三三模）若对任意，恒成立，则a的取值范围是（    ）

A．    B． 

C．    D．

【答案】C

【解析】设，则对任意恒成立，

设，则，且，

设，则，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以，

所以的最小值为，即的最小值为，

所以.

故选：C．

6．（2020·江苏泰州中学高三三模）若关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数的取值范围是______

【答案】

【解析】关于的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立,等价于对任意的实数恒成立，即在恒成立，设，则，

令，得，令，得，

所以在递增，在递减，又，

所以，

所以，即a的取值范围是，

故答案为：

7．（2020·广东佛山一中高三三模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】，则恒成立，等价于

令

因此在单调递增，在单调递减，

故

故答案为：

8．（2020·河南南阳中学高三三模）已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式恒成立，则的最小值为_________.

【答案】

【解析】首先，，

由，得，

在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，

取最大值，

即，则有解，

令，，

令，得

在上单调递减，在上单调递增，

故的最小值为.

，即的最小值为.

故答案为：.

9．（2020·江苏盐城·高三三模）若对任意实数，都有成立，则实数的值为________.

【答案】

【解析】设，

若判别式，则有解，设一解为，

则时，不满足恒成立，

则，此时，

因为，

①即时，函数在单调递减，，则，即，不满足题意；

②即时，记较小值为，则在单调递增，

由可得，即，不满足题意；

③即时，在，递减，

则，，则成立，综上.

故答案为：.

10．（2020·安徽淮北·三模）已知函数为奇函数，为偶函数，对于任意均有，若对任意都成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由已知得……①，

所以，又因为为奇函数，为偶函数，

所以……②，

①②联立解得，，

将代入不等式得，对任意都成立，

即，对任意都成立，

设，则，

令，解得，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以的最大值为，即，

所以实数的取值范围是.

11．（2020·南开·天津二十五中三模）对于总有成立，则=     　        ．

【答案】4

【解析】要使恒成立，只要在上恒成立．

当时，，所以，不符合题意，舍去．

当时，即单调递减，，舍去．

当时

① 若时在和上单调递增，

在上单调递减．

所以

② 当时在上单调递减，

，不符合题意，舍去．综上可知a=4.

12．（2020·湖南怀化·高三三模）已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．

【答案】

【解析】由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．