专题55 圆锥曲线的探索性、存在性问题（解析版）学案

专题55  圆锥曲线的探索性、存在性问题

【热点聚焦与扩展】

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利探索性、存在性问题的解法.

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替

（1）点：坐标

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）

（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程

3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.

（3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.

4.探索性问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值，探索定点、定值的存在性等．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推 理论证，如果 得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具 有明确结论的问题没有什么差别．

【经典例题】

例2．（2020·安徽六安·高三三模）已知点，直线：，平面上有一动点，记点到的距离为.若动点满足：.

（1）求点的轨迹方程；

（2）过的动直线与点的轨迹交于，两点，试问：在轴上，是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在定点，使得为常数，点

【解析】（1）设点，则，，展开得，

所以的轨迹方程为；

（2）假设在轴上存在定点，使得为常数，设，，，

则，，

若直线的斜率存在，不妨设过点的直线：，，

，，

则 ，

不妨设，则

化简可得，

令，解得，，

即为常数，点，；

若直线的斜率不存在，设在的上方，可得，，经验证满足.

故在轴上，存在定点，使得为常数，点，.

例3．（2020·湖北高三三模）已知椭圆：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点的直线l与椭圆交于B，C两点，当轴时，三角形ABC的面积为18．

求椭圆的方程；

如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．

【答案】 ； 存在，P或.

【解析】由已知条件得，解得；

所以椭圆的方程为；

设动直线BC的方程为，，，

则直线AB、AC的方程分别为和，

所以点M、N的坐标分别为，

联立得，

所以；

于是，

假设存在点满足，则，所以或5，

所以当点P为或时，有．

例4．（2020·四川达州·高三三模）椭圆的焦点是，，且过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点．问椭圆上是否存在点，使线段和线段相互平分？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）y2＝1；  （2）存在，P（﹣1，）

【解析】（1）由题意知，，，解得：，，椭圆的标准方程：；

（2）由（1）知，假设存在点，，使线段和线段相互平分，由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为：，设，，

联立与椭圆的方程整理得：，，，所以的中点坐标，

由题意知，，而在椭圆上，所以，解得：，所以，

所以存在点使线段和线段相互平分，且的坐标．

例5．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三三模）已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为.

（1）求动点轨迹的方程；

（2）过的直线交轨迹于两点，若轨迹上存在点，使,求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设，因为到定点的距离与到定直线的距离之比为，

所以有，即，

化简得

（2）由题意直线斜率存在，设

联立方程得，，，∴恒成立

∴，

,所以

代入椭圆有，又，

得

，

得

代入得

直线方程：

例6．（2020·山东三模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的焦距为2，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于，两点，问是否存在直线，使得为的垂心，若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）存在，

【解析】（1）由已知可得：解得，，，

所以椭圆：.

（2）由已知可得，，，∴，∵，

设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得

，设，，

则，，

∵，∴.

即，

因为，，

即.

.

所以，或.

又时，直线过点，不合要求，所以.

故存在直线：满足题设条件.

例7．（2020·北京房山·高三三模）已知椭圆：的右焦点为，且经过点．

（1）求椭圆的方程以及离心率；

（2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1），；（2）存在定点，为

【解析】（1）由已知得，，，，椭圆的方程为，离心率为；

（2）在轴存在定点，为使，证明：设直线方程为

代入得，化简得

由，得，，

设，则，，

则，设，则，则

假设存在点

解得

所以在轴存在定点使．

例8．（2020·广东惠州·高三三模）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.

（1）若，求的面积；

（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.

【答案】(1) (2) x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形

【解析】（1）当时，代入椭圆方程可得点坐标为或

若点坐标为，此时直线l：

联立，消x整理可得

解得或，故B

所以的面积为

，由对称性知的面积也是，

综上可知，当时，的面积为.

（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l：

联立，消去x整理得

由，得

则， ,

因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，

所以

设，则,

即,

解得.

故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形．

【精选精练】

1．（2020·沙坪坝·重庆八中高三三模）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为，，P是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C相交于M，N两点，则直线，的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.

【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线.

【解析】（1）设点P的坐标为，

由，得，即.

故轨迹C的方程为：

（2）根据题意，可设直线的方程为：，

由，消去x并整理得

其中，.

设，，则，.

因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），

从而可设直线的方程为①，

直线的方程为②，

所以，直线，的交点的坐标满足：

而

，

因此，，即点Q在直线上.

所以，探究发现的结论是正确的.

2．（2020·安庆市第七中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且的周长为6，若面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由椭圆定义知的周长为，当是椭圆短轴端点时，面积的最大，最大值为，

由，

消去得，，∵，∴，

∴，

∴椭圆方程为；

（2）由（1），

由直线斜率不为0，设直线方程为，设，

由，消去可得，

∴，，∴，

直线方程为：，

直线方程为：，

联立方程组，，

，

∴．

故直线的交点在直线上．

3．（2020·云南昆明一中高三三模）已知点Q是圆M: 上一动点(M为圆心)，点N的坐标为(1，0)，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的轨迹方程;

（2）直线l过点P(4，0)交曲线E于点A，B，点B关于x的对称点为D，证明:直线AD恒过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为线段的中垂线交线段于点，则，

所以，

由椭圆定义知：动点的轨迹为以原点为中心的椭圆，

其中：，，又，

所以曲线的轨迹方程为.

（2）设，，则，由题意知直线的斜率必存在，

设直线的方程为：，

由消得：，

故

因为，，共线，其中，

所以，

整理得，

则，解得，此时

则直线的方程为：，

所以直线恒过定点

4．（2020·山西大同·高三三模）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为、，已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上异与、的点，与轴垂直的直线分别交直线、于点、，求证：直线与直线的斜率之积是定值．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为，所以，即，

又点在椭圆上，∴，即，

又，联立方程组解得．

∴椭圆方程为．

（2）由题意，设点坐标为，，的横坐标为，

则直线的方程为，

故，故直线的斜率，

同理可得直线的斜率，

故

又点在椭圆上，∴，，

因此．

5．（2020·首都师范大学附属中学高三三模）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

(1)求椭圆C的方程；

（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)由题设，得＝1，①且＝，②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.

(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，

记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

故kPQ＝＝1，

因此直线PQ的斜率为定值．

6．（2020·黑龙江铁人中学高三三模）已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，

则椭圆的离心率，

将代入，得 ，

又，解得，

所以椭圆C的方程；

（2）证明：设直线的方程为，

又，，三点不重合，∴，

设，，

则由消去 ，整理得 ，

所以，，，则 ，

设直线，的斜率分别为，，

则

所以，即直线，的斜率之和为定值.

7．（2020·山东高三三模）已知椭圆过点，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点.若直线与直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）由椭圆过点得，椭圆的一个短轴端点与两焦点，为等腰直角三角形的三个顶点，可得，又即，解得，，∴椭圆方程为.

（2）证明：①当直线斜率不存在时，

设直线，，，

，即，

解得或，直线不过点,故(舍)，，舍去，

故不满足.

②当直线斜率存在时，设，，，

联立，整理得.

，， ①

则，

∴，

将①代入上式可得，

∴，

若，，,直线经过点与已知矛盾，

若，，存在使得成立.

∴直线的方程为，

故直线过定点.

8．（2020·江苏徐州·高三三模）已知直线与曲线交于不同的两点、，O为坐标原点.

（1）若，，求证：曲线是一个圆；

（2）若曲线，是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在定点， 定值为.

【解析】（1）设直线与曲线的交点为、，

因为，所以，即，

因为、两点在曲线上，所以，，

两式相减得，即，，

故曲线是一个圆.

（2）假设存在点，设交点为、，

联立直线方程与椭圆方程得，化简得，

根据韦达定理可得：，，

因为直线恒过椭圆内定点，所以恒成立，

则

当，即、时，，

故存在定点，不论k为何值，为定值.

9．（2020·江苏高三三模）已知椭圆：过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点的坐标是，，是椭圆上的两点，满足，证明：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）因为椭圆：过点，

所以，

又，所以，

解方程组，得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：①当直线的斜率存在时，设其方程为，

联立，消去得，

由，得.

设，，则，.

因为，所以，

即，

所以，

化简整理得，

所以或.

当时，，过定点，不符合题意，舍去﹔

当时，，过定点.

②当直线的斜率不存在时，设其方程为，并设，，且.因为，

所以，

解得或(舍去)，显然直线过定点.

综上，直线过定点.

10．（2020·湖北武汉·高三三模）椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）设椭圆焦距为，由，解得，.

∴椭圆的标准方程为.

（2）由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，，，

由得，.

∴，.①

又，②

从而①代入②得.又，以替代，以替代，

同理可得，∴，

∴对恒成立，解得或（舍），经检验，此时，因此存在.

11．（2020·涡阳县育萃高级中学高三三模）椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1），由题意，，

所以椭圆的方程.

（2）设，，，过的动直线：，代入椭圆的方程得：

，得：，，

，

分别由，，及，，三点共线，得：，，

两式相除得：

，

得：，即在直线上.

12．（2020·广东高三三模）已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为上一个动点，过点与椭圆只有一个公共点的直线为，过点与垂直的直线为，求证：与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析，，

【解析】（Ⅰ）由题可知，直线的斜率存在.

设，，由于点，都在椭圆上，

所以①，②，

①-②，化简得③

又因为离心率为，所以.

又因为直线过焦点，线段的中点为，

所以，，，

代入③式，得，解得.

再结合，解得，，

故所求椭圆的方程为.

（Ⅱ）证明：设，由对称性，设，由，得椭圆上半部分的方程为，，

又过点且与椭圆只有一个公共点，所以，

所以：，④

因为过点且与垂直，所以：，⑤

联立④⑤，消去，得，

又，所以，从而可得，

所以与的交点在定直线上.