2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）双曲线的焦距是（ ）
A．2B．4C．4D．8
2．（5分）命题“若x2+y2＝0，则x＝0且y＝0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2＝0，则x≠0且y≠0B．若x2+y2＝0，则x≠0或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0
3．（5分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（ ）
A．AB，SA2＜SB2B．AB，SA2＜SB2
C．AB，SA2＞SB2D．AB，SA2＞SB2
5．（5分）已知向量（1，2，﹣2），（﹣3，﹣6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（ ）
A．∥，∥B．⊥，⊥C．⊥，∥D．∥，⊥
6．（5分）某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
其中a：b：c＝2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（ ）
A．6人B．12人C．18人D．24人
7．（5分）已知点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），则P点关于x轴对称的点R与点Q的距离为（ ）
A．2B．2C．2D．2
8．（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2
C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+2
10．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．
11．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则异面直线PC与BD的距离为（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，]，sinx＜x，那么命题￢p是 ．
14．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是 ．
15．（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 ．
16．（5分）点P（x，y）满足等式2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为
三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）$\begin{array}{l}
17．（10分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（1，2）．
（1）求C的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．若选取的是用1月与6月的两组数据检验．
（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？
（参考公式：线性回归方程x其中）
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝2，AA1＝AB＝4，E为棱AA1的中点．
（1）求证：B1C1⊥CE；
（2）若点M为线段C1E的中点，求直线A1M与平面B1CE所成角的正弦值．
20．（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：
（1）分别求出n，a，b，x，y的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
21．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝4，AD＝2，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，且PMPC．
（1）求证：PA∥平面BMQ；
（2）求二面角M﹣BQ﹣P的余弦值．
22．（12分）已知F1、F2分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的直线与椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y＝1上，求|EF|的最大值．
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）双曲线的焦距是（ ）
A．2B．4C．4D．8
【解答】解：双曲线可得，a＝2，b＝2，c＝2，
所以双曲线的焦距是：4．
故选：C．
2．（5分）命题“若x2+y2＝0，则x＝0且y＝0”的否命题是（ ）
A．若x2+y2＝0，则x≠0且y≠0B．若x2+y2＝0，则x≠0或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0
【解答】解：命题“x2+y2＝0，则x＝y＝0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0．
故选：D．
3．（5分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，分两步来判断：
①当α∥β时，
∵l⊥α，且α∥β，
∴l⊥β，又∵m⊂β，
∴l⊥m，
则α∥β是l⊥m的充分条件，
②若l⊥m，不一定α∥β，
当α∩β＝l时，又由l⊥α，则l⊥m，但此时α∥β不成立，
即α∥β是l⊥m的不必要条件，
则α∥β是l⊥m的充分不必要条件，
故选：B．
4．（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（ ）
A．AB，SA2＜SB2B．AB，SA2＜SB2
C．AB，SA2＞SB2D．AB，SA2＞SB2
【解答】解：A班学生的分数多集中在[70，80]之间，B班学生的分数集中在[50，70]之间，故AB；
相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故SA2＜SB2，
故选：B．
5．（5分）已知向量（1，2，﹣2），（﹣3，﹣6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（ ）
A．∥，∥B．⊥，⊥C．⊥，∥D．∥，⊥
【解答】解：∵向量（1，2，﹣2），（﹣3，﹣6，6），（2，1，2），
∴由题知：3，•0，∴⊥，∥．
故选：D．
6．（5分）某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
其中a：b：c＝2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（ ）
A．6人B．12人C．18人D．24人
【解答】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为10040人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为4012人．
故选：B．
7．（5分）已知点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），则P点关于x轴对称的点R与点Q的距离为（ ）
A．2B．2C．2D．2
【解答】解：点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），
由题意得点P关于x轴对称的点坐标为R（1，﹣2，﹣3），
故利用空间两点的距离公式的点R与点Q两点距离为：
|RQ|．
故选：D．
8．（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，
基本事件总数n20，
所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m12，
则所选3人中恰有1名女生的概率为p．
故选：C．
9．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2
C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+2
【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“”内不能输入“A＞1000”，
又要求n为偶数，且n的初始值为0，
所以“”中n依次加2可保证其为偶数，
所以D选项满足要求，
故选：D．
10．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为（ ）
A．B．1C．D．
【解答】解：根据题意，设△ABF1内切圆的半径为r；
椭圆的方程为，
其中a2，b，c1，则||F1F2|＝2c＝2，
AB与x轴垂直，
则有|AF1|2﹣|AF2|2＝4，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，
解可得：|AF1|，|AF2|，
△ABF1的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝4+2c＝8，
其面积S|AB|×|F1F2|＝3，
由内切圆的性质可知，有r×l＝S，解可得r．
故选：D．
11．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则异面直线PC与BD的距离为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵S﹣ABCD为正四棱锥且O是S在底面ABCD内的正投影，
∴SO⊥面ABCD，
连接AC、BD，则AC⊥BD且交于O，
∵OC、BD⊂面ABCD，
∴SO⊥OC、SO⊥OD，
∴以OC、OD、OS为x、y、z轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
∵，
∴，
∴，
设异面直线BD与PC的公垂线向量为，
则有即，
得不妨令x＝1，则，
又∵，
∴异面直线BD与PC的距离，
∴异面直线BD与PC的距离为．
故选：B．
12．（5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：由题意可知：|MF2|＝2a，
csα．
，
可得：，
可得：8e，
解得e或e（舍去）．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）已知命题p：∀x∈[0，]，sinx＜x，那么命题￢p是 ∃x∈[0，]，sinx≥x ．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题p：∀x∈[0，]，sinx＜x，
其否定为：∃x∈[0，]，sinx≥x．
故答案为：∃x∈[0，]，sinx≥x．
14．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是 ．
【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：
S＝﹣1，k＝1，
满足条件k＜5，执行循环体，S，k＝2
满足条件k＜5，执行循环体，S＝2，k＝3
满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，k＝4
满足条件k＜5，执行循环体，S，k＝5
此时，不满足条件k＜5，退出循环．输出S的值为．
故答案为：．
15．（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 ．
【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y，
则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5；
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2；
三个不等式联立，
则该事件即为x﹣y＝2和y﹣x＝2在的正方形中围起来的图形，
即图中阴影区域；
而所有事件的集合即为正方形面积是52＝25，
阴影部分的面积为25﹣2（5﹣2）2＝16，
所以阴影区域面积和正方形面积比值，
即为手机受到干扰的概率P．
16．（5分）点P（x，y）满足等式2，过点（2，0）的直线l交动点P的轨迹曲线E于A，B两点，若曲线E上存在点C，使四边形AOBC（O为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为 ±1
【解答】解：设F1（﹣2，0），F2（2，0），
则由2等价为|PF1|+|PF2|＝2
由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆，椭圆方程为1，其中a，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，
所以动点P的轨迹方程为：1．
若直线l垂直x轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线l对称，此时点C坐标为（4，0）．
因为4，所以点C在椭圆E外，所以直线与x轴不垂直，
故可设直线的方程为y＝k（x﹣2），
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得（3+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣30＝0，
则由题知x1+x2，y1+y2，
因为四边形AOBC为平行四边形，
所以，所以点C的坐标为（，），
代入椭圆方程得1，解得k2＝1，所以k＝±1．
故答案为：±1
三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）$\begin{array}{l}
17．（10分）已知抛物线C：y2＝2px经过点M（1，2）．
（1）求C的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
【解答】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y2＝2px得22＝2p，解得p＝2，
所以，抛物线C的标准方程为 y2＝4x，
所以，抛物线的焦点为（1，0），
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得直线l的方程为 y＝x﹣1，
联立方程消去y得 x2﹣6x+1＝0，
解得，，
所以 x1+x2＝6（也可以由韦达定理直接得到x1+x2＝6），
于是|AB|＝x1+x2+2＝8．
18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．若选取的是用1月与6月的两组数据检验．
（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？
（参考公式：线性回归方程x其中）
【解答】解：（1）由数据求得
由公式求得再由求得
所以y关于x的线性回归方程为
（2）当＝10，得y，|22|2
令x＝6，得y，|12|2，
所以，该小组所得线性回归方程是理想的．
19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝2，AA1＝AB＝4，E为棱AA1的中点．
（1）求证：B1C1⊥CE；
（2）若点M为线段C1E的中点，求直线A1M与平面B1CE所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）如图，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1}中，
侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，
∴AD，AA1，AB两两垂直．
∴以A为原点，以AD，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…（1分）
则A（0，0，0），B（0，0，4），C（2，0，2），B1（0，4，4），C1（2，4，2），E（0，2，0）
∵（2，0，﹣2），（﹣2，2，﹣2）…（3分）
∴•4+0+4＝0，∴B1C1⊥CE…（4分）
解：（2）∵（2，﹣4，﹣2），设平面B1CE的一个法向量为（x，y，z），
∴，令x＝3，得（3，2，﹣1），
∵M为C1E的中点，∴M（1，3，1），∴（1，﹣1，1），
设直线A1M与平面B1CE所成的角为θ，
则sinθ＝|cs，|＝||＝0，
直线A1M与平面B1CE平行．
∴直线A1M与平面B1CE所成的角的正弦值为0．
20．（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：
（1）分别求出n，a，b，x，y的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．
（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．
【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，
再结合频率分布直方图可知n100，…（1分）
a＝100×（0.010×10）×0.5＝5，
b＝100×（0.030×10）×9＝27，…（2分）
x0.9，…（3分）
y0.2．…（4分）
（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），
且有0.010×10+0.020×10+（x﹣35）×0.030＝05，
解得x≈41.67，…（6分）
故估计这组数据的中位数为41.67，
估计这组数据的平均数为：
20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10＝41.5．…（8分）
（3）由（1）知a＝5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，
男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，
共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，
记“至少抽中一名女性”为事件A，
共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，
∴至少抽中一名女性的概率p．
21．（12分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝4，AD＝2，Q为AD的中点，M是棱PC上的一点，且PMPC．
（1）求证：PA∥平面BMQ；
（2）求二面角M﹣BQ﹣P的余弦值．
【解答】证明：（1）由已知PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PQ⊂面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD，…（2分）
连接AC，交BQ于N，连接MN，
∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，
∴△ANQ∽△BCN，，∴3，
又，∴，∴MN∥PA，…（3分）
又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ．…（4分）
解：（2）连结BD，∵
∴△ABD是正三角形，∴
由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，
以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），
设平面BMQ的法向量（x，y，z），
∴，由（1）知MN∥PA，∴，
∴，取z＝1，得（，0，1），
平面BQP的法向量（1，0，0），
设二面角M﹣BQ﹣P的平面角为θ，
则csθ，
∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值为．
22．（12分）已知F1、F2分别为椭圆C：1（a＞b＞0）的上、下焦点，A为左顶点，过点F1、A的直线与椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m与椭圆交于E、F两点，且线段EF的中点在直线y＝1上，求|EF|的最大值．
【解答】解：（1）因∠BAF2＝90°，所以△OF2A为等腰直角三角形，则，
又|F2A|＝a，，由定义，
所以，解得，
∴椭圆方程为
（2）将直线方程y＝kx+m代入椭圆方程2x2+y2﹣2＝0得到：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则，△＝8（k2+2﹣m2），
则，得到2m＝2+k2，
，
∵，
∴，
令t＝2+k2，则，由△＞0知k2＜2，
所以2≤t＜4，
则由基本不等式知（当t＝2，k＝0取到）．
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日期：2019/12/27 12:17:31；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（0C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25）
a
0.5
第2组
[25，35）
18
x
第3组
[35，45）
b
0.9
第4组
[45，55）
9
0.36
第5组
[55，65]
3
y
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（0C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15，25）
a
0.5
第2组
[25，35）
18
x
第3组
[35，45）
b
0.9
第4组
[45，55）
9
0.36
第5组
[55，65]
3
y