江苏省盐城 、淮安、 宿迁 、如东等地2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学【试卷+答案】

2022届高三第一次大联考

数  学

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑﹔如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案﹔然后再写上新答案﹔不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求怍答无效.

4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数满足，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

2. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（    ）倍.

A.  B.  C.  D.

5. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

6. 已知向量，满足，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知双曲线的离心率为，，是的两个焦点，为上一点，且，若的面积为，则双曲线的实轴长为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

8. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（    ）

A.   B.

C.   D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 数据显示，全国城镇非私营单位就业人员平均工资在2011年为40000元，到了2020年，为97379元，比上年增长.根据下图提供的信息，下面结论中正确的是（    ）

A. 2011年以来，全国城镇非私营单位就业人员平均工资逐年增长

B. 工资增速越快，工资的绝对值增加也越大

C. 与2011年相比，2019年全国城镇非私营单位就业人员平均工资翻了一番多

D. 2018年全国城镇非私营单位就业人员平均工资首次突破90000元

10. 已知函数，，若，则（    ）

A.

B.

C.

D.

11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ）

A.   B.

C. ， D.

12. 已知函数，若存在实数，，，（）满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若随机变量，且，写出一个符合条件的__________.

14. 直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则__________.

15. 已知，，则__________.

16. 现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径__________时，圆柱的体积最大，且最大值为__________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在中，已知，，.

（1）求；

（2）若点在边上，且满足，求.

18.（12分）2021年1至4月，教育部先后印发五个专门通知，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

（1）求，，的值，并根据题中的列联表，判断是否有的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？

（2）学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率.

附：.

19.（12分）已知为数列的前项的积，且，为数列的前项的和，若.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求的通项公式.

20.（12分）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点.

（1）记平面与平面的交线为，证明：；

（2）求二面角的正弦值.

21.（12分）已知函数，其导函数为.

（1）当时，求的最大值；

（2）若有两个极值点，求的取值范围.

22.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过点的直线交于，两点，线段的中点为.分别过，作的切线，，且与交于点，证明：，，三点共线.

2022届高三第一次大联考

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1-5：DCAAC 6-8：BBD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. AC   10. AC   11. ACD    12. BCD

12.【解析】结合函数的图像，可知，故A错误；

当时，的对称轴为，所以，B正确；

当时，，所以，

所以，

所以，所以，C正确；

因为，所以，所以，

，所以，等号不成立，所以D正确.

选BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 3，6，9等（3的正整数倍均可）   14. 8    15.

16.【答案】，

【解析】目标所求为挖掉一个体积最大的正三棱柱的内切圆柱，设挖掉的三棱柱的底面边长为，高为，由于原正四面体的棱长为9，所以高为，所以，即，所以挖掉的三棱柱的体积.所以，令，得，且时，；时，，所以当时，取最大值，该正三棱柱的内切圆柱体积也最大，此时圆柱的底面圆半径为，体积为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解】（1）在中，由余弦定理得，

，

所以.

（2）在中，由正弦定理得，，

所以，

.

因为，所以，

所以

.

18.【解】（1），，.

因为，

所以没有的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关.

（2）9人中男生4人，女生5人.

记“男生人数大于女生为事件”，

则.

答：（1），，；没有的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；（2）男生人数大于女生的概率为.

19.【解】（1）证明：因为为数列的前项积，为数列的前项和，

所以，.

又因为，

所以，

若，则，即，不合题意，故，

所以，

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）知，，

所以，，

所以，

所以，

所以，当时，.

由于，即，

所以.

综上，.

20.【解】（1）在直三棱柱中，，

又因为平面，平面，

所以平面.

又因为平面平面，

平面，所以.

（2）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

所以，，，.

设为平面的法向量，

则，，得，，

取，所以为平面的一个法向量.

设为平面的法向量，

则，，得，，

取，所以为平面的一个法向量.

则，

所以.

所以二面角的正弦值为.

21.【解】（1）因为，

所以.设.

当时，，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以.

（2）因为，所以.

当时，，则在上单调递减，

此时至多1个零点，至多1个极值点，不合题意.

当时，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，

当，则，

至多1个零点，至多1个极值点，不合题意.

当时，因为，，

且在上单调递增，

所以存在唯一，使得.

由（1）可知，在单调递减，

所以，所以，

又因为，且在上单调递减，

所以存在唯一，使得.

列表如下：

此时满足题意.

综上可知，.

22.【解】（1）设椭圆的焦距为，则.

因为椭圆的离心率为，所以，解得.

因为，所以椭圆的标准方程.

（2）当直线斜率不存在时，显然成立.

当直线斜率存在且为0时，与平行，不合题意.

当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为.

由，得，

所以，，

所以，，

所以，

所以.

设直线的方程为.

由，

得，

因为是椭圆的切线，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，得，

化简得直线的方程为.

同理得直线的方程为.

由，解得，

所以，

所以、、三点共线.