第八章 第九节 抛物线原卷版

这是一份第八章 第九节 抛物线原卷版，共10页。试卷主要包含了抛物线的概念，抛物线的标准方程和几何性质，抛物线C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
第九节 抛物线
知识回顾
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
课前检测
1.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1,则P点的轨迹方程是(　　)
A．y2＝－16x B．y2＝－32x
C．y2＝16x D．y2＝32x
2.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴且经过点(－2,3)的抛物线方程(　　)
A．y2＝x
B．x2＝y
C．y2＝－x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝y
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
4．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)
A．2 B. C. D．3
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是(　　)
A. B. C. D.
6．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM＝________.
7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______________．
课中讲解
考点一. 抛物线的定义及应用
例1． (1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．1
C. D．2
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
变式1（1）(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
（2）．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

例2.抛物线y2＝8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为______．
变式2.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________．
变式3．(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
考点二. 抛物线的标准方程
例1.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合,则实数p的值为________．
变式1.如图所示,过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A,B,C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,则拋物线的方程为(　　)

A．y2＝8x　　　　　　　B．y2＝4x
C．x2＝2x D．y2＝x
例2.(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
(2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

变式2.（1）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为(　　)
A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x




(2)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
例3.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
变式3.(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x
D．y2＝8x或y2＝32x
考点三.抛物线的几何性质
例1.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,A(x1,y1) ,B(x2,y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证：
(1)y1y2＝－p2,x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆到与抛物线的准线相切．
















变式1.　(1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．4 B．9 C．10 D．18
(2)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．

例2.(1)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足PF＝m·PA，则m的最小值为________．
变式2.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB＝90°,则k＝________．
考点三. 直线与抛物线的位置关系
例1.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．









变式1.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8

二． 多选题
10．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若AF＝4，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．F为AD中点
C．BD＝2BF D．BF＝2
11．(多选)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是(　　)
A．8 B．8.5 C．9 D．10
三． 填空题
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
14．(2019·贵阳模拟)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
15．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．
16．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值为________．
17．(2020·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
18．过点(0,3)的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则AF＋BF的值为________．
19．过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(＋)·＝0，则弦AB的长为________．
20．已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为AB和AC，则AB＋AC＝________.
四． 解答题
21.设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB＝1.

(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．


22.已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足·＝97，其中Q(－1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在请说明理由．









23.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l被E截得的线段长为8.

(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－相交于A，B两点. 求FA·FB的取值范围．