2020-2021学年山东省日照高二（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山东省日照高二（下）5月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若函数f(x)的导函数为f′(x)=−2x2+1，则f(x)可能是( )
A.−2x3+1B.−x+1C.−4xD.−23x3+x

2. 在等差数列an中， a3+a7=10，a8+a10=14，则S13=( )
A.60B.64C.78D.84

3. 设an是等比数列，且a1+a2+a3=1 ，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=( )
A.12B.24C.30D.32

4. 已知函数fx=x2−alnx+1在1,3内是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A.2,18B.2,18
C.−∞,2∪18,+∞D.[2,18)

5. 函数f(x)=2x−lnx−1的大致图像是（ ）
A.B.
C.D.

6. 已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a1−a5+S66=0，则a4S5=( )
A.−3B.935C.1145D.119

7. 已知fx是定义在0,+∞上的函数，且f1=1，导函数f′x满足f′xA.1,+∞B.0,12C.12,1D.0,1

8. 若函数y=ax+b为函数fx=lnx−1x图象的一条切线，则2a+b的最小值为( )
A.ln2B.ln2−12C.1D.2
二、多选题

已知函数fx=xcsx的导函数为f′x，则( )
A.f′x为偶函数B.f′x为奇函数
C.f′0=1D.fπ2+f′π2=π2

已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则下列选项中错误的是( )

A.x=1是函数fx的极值点
B.函数fx在x=−1处取得极小值
C.fx在区间−2,3上单调递减
D.fx的图象在x=0处的切线斜率小于零

已知数列an满足a1=12， anan−1−an−1+1=0n≥2,n∈N∗，Sn是其前n项和，则( )
A.a6=2B.S12=6
C.a112=a10⋅a12D.2S11=S10+S12

已知函数fx=esinx−ecsx，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是( )
A.fx在0,π2是增函数
B.fx+π4是奇函数
C.fx在0,π上有两个极值点
D.设gx=fxx，则满足gn4π>9n+14π的正整数n的最小值是2
三、填空题

在等差数列an中， a3=−2，a7=2，则a2021=______.

已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在处有极值0，则m+n=________.

数列an满足a1=1，a1+2a2+…+2n+1an=2n+1an+1n∈N+，则数列an的通项公式an=________.

已知函数fx=x2+x−1ex，若方程fx=k有且只有三个实数根，则k的取值范围是________.
四、解答题

已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=92．
1求{an}的通项公式；

2设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}的前n项和Tn．

已知函数fx=ex−x−1（e是自然对数的底数）．
(1)求曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)判断函数fx是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由．

已知函数fx=x3−x2−x−1的图像与直线y=c有三个不同的交点，求实数c的取值范围．

已知数列 {an} 的前n项和为Sn，且 a1=12，an+1=n+12nan(n∈N∗).
(1)证明 {ann} 是等比数列，并求 {an} 的通项公式；

(2)求 Sn.

已知函数fx=x2−4alnx+2a−2x，a∈R.
(1)当a=1时，求证： fx≥−4ln2；

(2)当a≤0时，讨论函数fx的单调性．

设数列an的前n项和为Sn，已知Sn+n=2an .
(1)证明：数列an+1为等比数列，并求数列an的通项公式；

(2)设bn=nan+n，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式Tn−2n>2020的正整数n的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省日照市高二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
【解析】
先根据f′(x)的解析式表示出函数f(x)的一般表达式，再对选项逐一验证即可．
【解答】
解：∵ f′(x)=−2x2+1，
∴ f(x)=−23x3+x+c（c为常数），
∴ f(x)可能是f(x)=−23x3+x.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
根据题意，由等差中项的性质可得a5,a9的值，结合等差数列的前n项和公式可得S13=a1+a13×132=a5+a9×132，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，等差数列an中，
a3+a7=2a5=10，
则a5=5，
a8+a10=2a9=14，
则a9=7，
则S13=a1+a13×132
=a5+a9×132
=5+7×132=78.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
先利用等比数列的通项公式和已知条件求出公比q，进而利用转化的方法进行最后求解.
【解答】
解：设等比数列an的公比为q，
则a1+a2+a3
=a11+q+q2
=1，
a2+a3+a4
=a1q+a1q2+a1q3
=a1q1+q+q2
=2，
故q=2，
因此 a6+a7+a8
=a1q5+a1q6+a1q7
=a1q5(1+q+q2)
=q5
=32.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=2x−ax，
当fx=x2−alnx+1在1,3内是单调递增函数时，
f′x=2x−ax≥0，
化简得a≤2x2，
所以a≤2；
当fx=x2−alnx+1在1,3内是单调递减函数时，
f′x=2x−ax≤0，
化简得a≥2x2，
所以a≥18，
所以实数a的取值范围是a≤2或a≥18．
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据题意，分析函数的定义域，令g(x)=x−lnx−1，求出g(x)的导数，利用函数的导数与函数的单调性分析可得g(x)的单调性以及最小值，据此分析函数f(x)的单调性以及值域，分析选项即可得答案．
【解答】
解：根据题意，f(x)=2x−lnx−1，有x>0，且x−lnx−1≠0，解可得x≠1，
则函数的定义域为{x|x>0且x≠1}，
令g(x)=x−lnx−1，
其导数g′(x)=1−1x=x−1x，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1, +∞)上为增函数，
则当x=1时，g(x)取得最小值，且g(x)min=g(1)=0，则有g(x)≥0，
对于函数f(x)=2x−lnx−1，有f(x)>0，
f(x)在区间(0, 1)上为增函数，在区间(1, +∞)上为减函数，
分析选项，D符合.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
利用等差数列的通项公式及前n项和公式将已知等式化简可得a1=32d, 从而计算可得结论．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，首项为a1，
因为a1−a5+S66=0，
所以a1−(a1+4d)+6a1+6×5d26=0，
所以a1=32d，
所以a4S5=a45a3=a1+3d5a1+2d=935.
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
不等式
【解析】
设gx=fxex,x∈0,+∞，可得g1=f1fx<1e ，则不等式f(x)【解答】
解：设gx=fxex，x∈0,+∞，
因为f1=1，
所以g1=f1e<1e ，
所以不等式f(x)因为g′x=f′xex−fxexe2x=f′x−fxex<0，
所以gx是0,+∞上的单调递减函数，
所以由不等式gx1，
所以不等式f(x)故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
设函数f(x)=lnx−1x的图像在点Pt,lnt−1tt>0 处的切线方程为y=ax+b，求出f′x，可得函数fx的图象在点P处的切线方程为y=(1t+1t2)x+lnt−2t−1，则a=1t+1t2b=lnt−2t−1，即2a+b=lnt+2t2−1，令gt=lnt+2t2−1，其中t∈0,+∞，求出其导数，根据函数的单调性可得gtmin=g2，进而得解2a+b的最小值．
【解答】
解：函数fx的定义域为0,+∞，
设函数f(x)=lnx−1x的图象在点Pt,lnt−1tt>0 处的切线方程为y=ax+b，
因为f′x=1x+1x2，
所以f′t=1t+1t2，即为函数fx的图象在点Pt,lnt−1tt>0处切线的斜率，
所以函数fx的图象在点Pt,lnt−1tt>0处的切线方程为：
y−(lnt−1t)=(1t+1t2)(x−t)，
即y=(1t+1t2)x+lnt−2t−1，
则a=1t+1t2，b=lnt−2t−1，
所以2a+b=21t+1t2+lnt−2t−1=lnt+2t2−1，
令gt=lnt+2t2−1，其中t∈0,+∞，
则g′t=1t−4t3=t2−4t3=t−2t+2t3，
故当0当t>2时，g′t>0，
故gt在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
故gtmin=g2=ln2+222−1=ln2−12，
即2a+b的最小值为ln2−12.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
简单复合函数的导数
函数奇偶性的判断
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=xcsx，所以f′x=csx−xsinx，
因为f′−x=cs(−x)−(−x)sin(−x)=csx−xsinx=f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，故A正确，B错误；
f′0=1，故C正确；
fπ2+f′π2=0−π2=−π2，故D错误．
故选AC．
【答案】
A,B
【考点】
函数的图象
导数的概念
【解析】
由题意，根据导数的知识对选项逐一分析，由此确定选项即可.
【解答】
解：对于选项A，由图可知，x=1左右两侧导数都为负数，故x=1不是fx的极值点，选项A错误；
对于选项B，由图可知，x=−1左右两侧导数都为负数，故x=−1不是fx的极值点，选项B错误；
对于选项C，由图可知，当x∈−2,3时，f′(x)≤0， fx单调递减，选项C正确；
对于选项D，由图可知，f′(0)<0 ，选项D正确.
故选AB．
【答案】
A,B,C
【考点】
数列递推式
数列的应用
【解析】
由题意，分别令n=2，3，4，可得an是以3为周期的周期数列，可得S3=a1+a1+a3 ，在分别检验四个选项的正误即可得正确选项.
【解答】
解：当n=2时，有a2a1−a1+1=0 ，
即12a2−12+1=0 ，
解得a2=−1；
当n=3时，有a3a2−a2+1=0 ，
即−a3−−1+1=0 ，
解得a3=2；
当n=4时，有a4a3−a3+1=0 ，
即2a4−2+1=0 ，
解得a4=12，
由以上可得数列{an}是以3为周期的周期数列，
且S3=a1+a2+a3=12−1+2=32，
所以a6=a3=2 ，故选项A正确；
S12=4S3=4×32=6 ，故选项B正确；
因为a12=a3=2 ，a11=a2=−1 ，a10=a1=12，
所以a112=a10⋅a12 ，故选项C正确；
2S11=2s9+a10+a11
=23×32+12−1=8，
S10+S12=S9+a10+S12
=3S3+4S3+a10
=7×32+12=11 ，
所以2S11≠S10+S12 ，故选项D不正确.
故选ABC.
【答案】
A,B,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数的零点
命题的真假判断与应用
奇偶性与单调性的综合
【解析】
利用导数，奇偶性定义对选项逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，f′(x)=esin xcs x+ecs xsin x，
当x∈0,π2，f′(x)>0，
所以f(x)在0,π2是增函数，故正确；
对于B，令ℎ(x)=fx+π4=esin(x+π4)−ecs(x+π4)，
则ℎ(−x)=f(−x+π4)
=esin(−x+π4)−ecs(−x+π4)
=e−sin(x−π4)−ecs(x−π4)
=e−sin(x+π4−π2)−ecs(x+π4−π2)
=ecs(x+π4)−esin(x+π4)=−ℎ(x)，
所以fx+π4是奇函数，故正确；
对于C，由f′(x)=esin xcs x+ecs xsin x，
当x=π2时，f′(π2)=1≠0，所以不是极值点，
当x∈0,π2∪π2,π时，f′(x)=ecsxcsx(e​​2sin(x−π4)+tanx)，
通过函数y=e2sin (x−π4）与y=−tanx的草图可知，
此时f′(x)=0仅有一个根x0，且π2对于D，当x∈0,x0时，函数fx单调递增，
x∈x0,π时，函数fx单调递减，
当n=1时，fπ4=0，fπ2=e−1，
显然gπ4当n=2时，fπ2=e−1，f3π4=e22−e−22，
显然gπ4gx=fxx的几何意义为点x,fx与坐标原点连线的斜率，
因为3π4=32×π2，
故只需比较32f(π2)与f3π4的大小，
32f(π2)−f3π4=32e−1−e22−e−22
>1.5×1.7−e−1e>0，故正确．
故选ABD.
三、填空题
【答案】
2016
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由题意，根据等差数列的性质求出首项和公差，再求解即可.
【解答】
解：已知数列{an}为等差数列，设其公差为d，
因为a3=a1+2d=−2，a7=a1+6d=2，
解得a1=−4，d=1，
所以a2021=a1+2020d=−4+2020=2016.
故答案为：2016.
【答案】
11
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
对函数进行求导，根据函数fx在x=−1有极值0，可以得到f−1=0f−1=0，代入求解可得m=2n=9或m=1n=3，经检验
，即可求出结果
【解答】
解：∵ fx=x3+3mx2+nx+m2，
∴ f′x=3x2+6mx+n，
依题意可得f−1=0，f′−1=0，
即−1+3m−n+m2=0，3−6m+n=0，，
解得m=2，n=9，或m=1，n=3，
当m=1，n=3时，函数fx=x3+3x2+3x+1，
f′x=3x2+6x+3=3x+12≥0，
∴ 函数fx在R上单调递增，
故函数fx无极值，
∴ m=1，n=3舍去；
∴ m=2，n=9，
∴ m+n=11.
故答案为：11.
【答案】
an=1, n=1,14⋅34n−2, n≥2.
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知，a1=1，
a1+2a2+⋯+2n−1an=2n+1an+1，①
∴当n=1时，a1=4a2，a2=14a1=14；
当n≥2时，
a1+2a2+⋯+2n−2an−1=2nan , ②
由①−②得：
2n−1an=2n+1an+1−2nan，
于是，an+1=34an.
∴ 数列an中，从第二项开始成等比数列，公比为34，
∴当n≥2时，an=a2×34n−2=14⋅34n−2.
当n=1时，a1=1不符合上式，
因此，an=1，n=1，14⋅34n−2，n≥2.

故答案为：1，n=1，14⋅34n−2,n≥2.
【答案】
(0,5e2)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
由题意，对函数进行求导，得到函数的单调性和最值，将问题转化成其与函数最值间的问题，结合k<0时不满足条件，即可求出答案.
【解答】
解：已知函数f(x)=x2+x−1ex，函数定义域为R，
f′(x)=−x2−x−2ex=−(x+1)(x−2)ex，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当−10，f(x)单调递增；
当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以极小值f(x)min=f(−1)=(−1)2−1−1e−1=−e，
极大值f(x)max=f(2)=22+2−1e2=5e2，
若f(x)=k有且仅有三个实数根，
则f(x)min又当k<0时，方程有且仅有两个实数根，
所以k的取值范围为(0,5e2).
故答案为：(0,5e2).
四、解答题
【答案】
解：1设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
a1+2d=2，3a1+3×22d=92，解得a1=1，d=12，
代入等差数列的通项公式得：an=1+n−12=n+12；
2由1得，b1=1，b4=a15=15+12=8．
设{bn}的公比为q，则q3=b4b1=8，从而q=2，
故{bn}的前n项和Tn=b1(1−qn)1−q=1×(1−2n)1−2=2n−1．
【考点】
等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）求出b1=1，b4=a15=15+12=8，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．
【解答】
解：1设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
a1+2d=2，3a1+3×22d=92，解得a1=1，d=12，
代入等差数列的通项公式得：an=1+n−12=n+12；
2由1得，b1=1，b4=a15=15+12=8．
设{bn}的公比为q，则q3=b4b1=8，从而q=2，
故{bn}的前n项和Tn=b1(1−qn)1−q=1×(1−2n)1−2=2n−1．
【答案】
解：(1)由题可得f′x=ex−1，
所以f′1=e−1，
又由题可得f1=e−2，
所以曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−f1=f′(1)(x−1)，
即e−1x−y−1=0 .
(2)由(1)知f′x=ex−1，令f′x=0，得x=0，
当x变化时，f′x的符号变化情况及fx的单调性如下表所示：
由上表可知：函数fx存在极小值，且极小值为f0=0，不存在极大值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可得f′x=ex−1，
所以f′1=e−1，
又由题可得f1=e−2，
所以曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−f1=f′(1)(x−1)，
即e−1x−y−1=0 .
(2)由(1)知f′x=ex−1，令f′x=0，得x=0，
当x变化时，f′x的符号变化情况及fx的单调性如下表所示：
由上表可知：函数fx存在极小值，且极小值为f0=0，不存在极大值．
【答案】
解：令gx=x3−x2−x−1−c，
则g′x=3x2−2x−1，
令g′x=0，
可得x=−13或x=1．
当x变化时，g′x在各区间上的正负，以及g(x)的单调性如下表所示．
从上表可以看出，当x=−13时，gx取极大值，g−13=−2227−c；
当x=1时，gx取极小值，g1=−2−c．
当x→−∞时，gx→−∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．
所以，要使gx有三个零点，
应满足g−13=−2227−c>0，g1=−2−c<0，
解得−2【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
【解答】
解：令gx=x3−x2−x−1−c，
则g′x=3x2−2x−1，
令g′x=0，
可得x=−13或x=1．
当x变化时，g′x在各区间上的正负，以及g(x)的单调性如下表所示．
从上表可以看出，当x=−13时，gx取极大值，g−13=−2227−c；
当x=1时，gx取极小值，g1=−2−c．
当x→−∞时，gx→−∞；当x→+∞时，g(x)→+∞．
所以，要使gx有三个零点，
应满足g−13=−2227−c>0，g1=−2−c<0，
解得−2【答案】
解：(1)设 cn=ann(n∈N∗) ，则由已知得 cn≠0，
所以cn+1cn=an+1n+1ann=nan+1(n+1)an=n×n+12nan(n+1)an=12为常数，
所以数列{cn}是以 c1=12 为首项，以12为公比的等比数列，
所以cn=(12)n，
所以an=n2n.
(2)由(1)知 Sn=12+222+323+⋯+n2n，
12Sn=122+223+324+⋯+n2n+1，
两式相减得，
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1
=12[1−(12)n]1−12−n2n+1.
所以 Sn=2−n+22n.
【考点】
数列的求和
等比关系的确定
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设 cn=ann(n∈N∗) ，则由已知得 cn≠0，
所以cn+1cn=an+1n+1ann=nan+1(n+1)an=n×n+12nan(n+1)an=12为常数，
所以数列{cn}是以 c1=12 为首项，以12为公比的等比数列，
所以cn=(12)n，
所以an=n2n.
(2)由(1)知 Sn=12+222+323+⋯+n2n，
12Sn=122+223+324+⋯+n2n+1，
两式相减得，
12Sn=12+122+123+⋯+12n−n2n+1
=12[1−(12)n]1−12−n2n+1.
所以 Sn=2−n+22n.
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=x2−4lnx−2x，该函数的定义域为0,+∞，
f′x=2x−4x−2
=2x2−2x−4x=2x+1x−2x，
当0当x>2时，f′(x)>0，此时函数fx单调递增，
所以，fxmin=f2=−4ln2，
因此，当a=1时，fx≥−4ln2.
(2)当a≤0时，函数fx=x2−4alnx+2a−2x的定义域为0,+∞，
f′x=2x−4ax+2a−2
=2x2+2a−2x−4ax=2x+ax−2x．
①当−a=0时，即当a=0时，则f′x=2x−2．
由f′x<0可得0由f′x>0，可得x>2．
此时，函数fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞；
②当0<−a<2时，即当−2由f′x<0可得−a由f′x>0可得02．
此时，函数fx的单调递减区间为−a,2，单调递增区间为0,−a，2,+∞；
③当−a=2时，即当a=−2时，
则f′x=2x−22x≥0对任意的x>0恒成立，
此时，函数fx的单调递增区间为0,+∞；
④当−a>2时，即当a<−2时，
由f′x<0可得2由f′x>0可得0−a．
此时，函数fx的单调递减区间为2,−a，单调递增区间为0,2，−a,+∞．
综上所述，当a=0时，函数fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞；
当−2当a=−2时，函数fx的单调递增区间为0,+∞；
当a<−2时，函数fx的单调递减区间为2,−a，单调递增区间为0,2，−a，+∞．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】


【解答】
解：(1)当a=1时，fx=x2−4lnx−2x，该函数的定义域为0,+∞，
f′x=2x−4x−2
=2x2−2x−4x=2x+1x−2x，
当0当x>2时，f′(x)>0，此时函数fx单调递增，
所以，fxmin=f2=−4ln2，
因此，当a=1时，fx≥−4ln2.
(2)当a≤0时，函数fx=x2−4alnx+2a−2x的定义域为0,+∞，
f′x=2x−4ax+2a−2
=2x2+2a−2x−4ax=2x+ax−2x．
①当−a=0时，即当a=0时，则f′x=2x−2．
由f′x<0可得0由f′x>0，可得x>2．
此时，函数fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞；
②当0<−a<2时，即当−2由f′x<0可得−a由f′x>0可得02．
此时，函数fx的单调递减区间为−a,2，单调递增区间为0,−a，2,+∞；
③当−a=2时，即当a=−2时，
则f′x=2x−22x≥0对任意的x>0恒成立，
此时，函数fx的单调递增区间为0,+∞；
④当−a>2时，即当a<−2时，
由f′x<0可得2由f′x>0可得0−a．
此时，函数fx的单调递减区间为2,−a，单调递增区间为0,2，−a,+∞．
综上所述，当a=0时，函数fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞；
当−2当a=−2时，函数fx的单调递增区间为0,+∞；
当a<−2时，函数fx的单调递减区间为2,−a，单调递增区间为0,2，−a，+∞．
【答案】
1证明：当n=1时，a1+1=2a1，
则a1=1．
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2an−n−2an−1−n+1
=2an−2an−1−1，
即an=2an−1+1，
即an+1=2an−1+1，
所以数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列．
因为an+1=2n，
所以an=2n−1．
2解：由题设，bn=n2n−1+n=n⋅2n，
则Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
从而2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1，
两式相减，得−Tn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=22n−12−1−n⋅2n+1
=2n+1−2−n⋅2n+1
=1−n2n+1−2，
所以Tn=n−12n+1+2，
令cn=Tn−2n=n−12n+1n，
则当n≥2时，cn−cn−1=n−12n+1n−n−22nn−1
=n−122n+1−nn−22nnn−1
=2nn2−2n+2nn−1>0，
所以数列cn为递增数列，
因为c10=910×211=1843.2<2020，
c11=1011×212=2011×2048>2020，
所以满足不等式Tn−2n>2020的n的最小值为11．
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
数列与不等式的综合
数列的求和
【解析】


【解答】
1证明：当n=1时，a1+1=2a1，
则a1=1．
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2an−n−2an−1−n+1
=2an−2an−1−1，
即an=2an−1+1，
即an+1=2an−1+1，
所以数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列．
因为an+1=2n，
所以an=2n−1．
2解：由题设，bn=n2n−1+n=n⋅2n，
则Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n，
从而2Tn=1×22+2×23+⋯+n−1×2n+n×2n+1，
两式相减，得−Tn=21+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1
=22n−12−1−n⋅2n+1
=2n+1−2−n⋅2n+1
=1−n2n+1−2，
所以Tn=n−12n+1+2，
令cn=Tn−2n=n−12n+1n，
则当n≥2时，cn−cn−1=n−12n+1n−n−22nn−1
=n−122n+1−nn−22nnn−1
=2nn2−2n+2nn−1>0，
所以数列cn为递增数列，
因为c10=910×211=1843.2<2020，
c11=1011×212=2011×2048>2020，
所以满足不等式Tn−2n>2020的n的最小值为11．x
−∞,0
0
0,+∞
f′x
−
0
+
fx
减函数
极小值f0
增函数
x
−∞,0
0
0,+∞
f′x
−
0
+
fx
减函数
极小值f0
增函数