备战2022高考数学圆锥曲线专题14：双曲线的定义与方程23页（含解析）

专题14：双曲线的定义与方程

一、单选题

1．点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是

A． B． C． D．

2．已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，给出下列四个命题：

①点的横坐标为        ②的周长为

③大于           ④的内切圆半径为

其中所有正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ）

A．x21 B．

C． D．

4．已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为（    ）

A．7 B．8 C． D．

5．设是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，则以线段为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．外切 C．内切或外切 D．不相切

6．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

7．设F为双曲线E：的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆与E在第一象限的交点是P，且，则双曲线E的方程是　　

A． B． C． D．

8．设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是

A． B． C． D．

10．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

11．已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，存在一点，点关于点的对称点是点，点关于点的对称点是点，线段的中点在双曲线上，则

A． B．4 C． D．8

12．设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为

A． B． C． D．无法确定

13．过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为

A．10 B．13 C．16 D．19

14．已知分别是双曲线的左，右焦点，过引圆的切线交双曲线的右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则

A．1 B．2 C．3 D．4

15．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝8，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为

A． B．

C．2 D．3

16．已知平面上两点和,若直线上存在点P使,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是(    )
①;    ②;   ③;   ④.（ ）

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④

二、填空题

17．为双曲线右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值是_________________.

18．已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为____________．

19．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.

① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；

③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；

④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）

20．如图，圆的圆心为点，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为__________．

参考答案

1．A

【解析】如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义 ，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，

考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.

2．C

【分析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.

【解析】设的内心为，连接，

双曲线：中的，，，

不妨设，，，

由的面积为20，可得，即，

由，可得，故①符合题意；

由，且，，

则，

则的周长为，故②符合题意；

可得，，

则，

则，故③不符合题意；

设的内切圆半径为，可得，

可得，解得，故④符合题意．

故选：C.

【点评】关键【点评】本题关键借助P点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.

3．D

【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．

【解析】解：由题可知，，

若，即为，

可得，即有，

由双曲线的定义可知，

可得，

由于过F2的直线斜率为，

所以在等腰三角形中，，

则，

由余弦定理得：，

化简得：，

即，，

可得，，

所以此双曲线的标准方程可能为：.

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．

4．A

【分析】根据题意，利用双曲线的定义化简，转化为不等式，则有当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号，计算即可求解.

【解析】双曲线中，，，，

圆半径为，，，（当且仅当，，共线且在，之间时取等号.）

当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7.

故选：A.

【点评】本题考查双曲线与直线相交的最值问题，考查几何法解决双曲线问题，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度.

5．C

【分析】利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点分别在左、右两支时，两圆相内切、外切.

【解析】设以实轴为直径的圆的圆心为，其半径，
线段为直径的圆的圆心为，其半径为，
当在双曲线左支上时，　，

，
∴两圆内切.
当在双曲线右支上时，，

，

∴两圆外切.
故选：C.

【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综合性强，难度大，易错点是容易只考虑点在一个分支上而导致丢解，是高考的重点.解题时要认真审题，仔细解答.

6．A

【分析】点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.

【解析】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，

因为，，

所以，

当且仅当，即当时，等号成立，

此时最大，此时的外接圆面积取最小值，

点的坐标为，代入可得，．

所以双曲线的方程为．

故选：

【点评】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7．D

【分析】根据题意可得，，结合选项可知，只有D满足，因为本题属于选择题，可以不用继续计算了，另外可以求出点P的坐标，根据点与点的距离公式求a的值，可得双曲线的方程．

【解析】由题意，双曲线E：的渐近线方程为，

由过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，且四边形OAFB为菱形，

则对角线互相平分，所以，，所以结合选项可知，只有D满足，

由，解得，，

因为，所以，解得，则，

故双曲线方程为，

故选D．

【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及菱形的性质和距离公式的应用，其中解答中合理应用菱形的性质，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．

8．D

【解析】分析：根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．

详解：∵为圆上的点，

∴是 的中点，又是的中点，

且 ，
又

是圆的切线， 又

∴双曲线方程为．
故选D．

【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，双曲线标准方程的求法，属于中档题．

9．B

【解析】设双曲线方程为，，将代入双曲线方程，整理得，由韦达定理得，则.又，所以，所以双曲线的方程是.故选B.

考点：双曲线的标准方程.

10．A

【分析】设圆与的三边、、分别相切于点，连接 ,，，可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．

【解析】

如图，设圆与的三边、、分别相切于点，

连接，

则，，，它们分别是

，，的高，

，

，

，

其中是的内切圆的半径．

，

，

两边约去得：，

，

根据双曲线定义，得，，

，，，

可得双曲线的渐近线方程为 ,

即为，故选A．

【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.

11．C

【分析】由题意画出图形，将其转化为三角形中位线，结合双曲线的定义求出结果

【解析】如图所示，线段的中点在双曲线的左支上，

中，是中位线，，

同理，中，是中位线，，结合双曲线的.

同理线段中点在双曲线的右支上，，

则所求，故选C.

【点评】本题考查了结合双曲线定义求出线段的差值，题目中的条件需要进行转化为三角形的中位线，是解题的关键

12．B

【解析】由题意，易得，直线的方程为：，

设P，则

=

∴

故选B

13．B

【解析】 由题可知，，

因此

，故选B．

考点：圆锥曲线综合题．

14．A

【解析】 由题意是中位线，所以又知，是圆的切线，所以，，

，故选A.

【点评】本题主要考查双曲线的性质及定义和三角形中位线及圆的切线的性质，属于难题.本题考查知识点较多，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱，更不能因贪快而审题不清.本题首先根据中位线得，根据几何意义得有勾股定理求出，最后可得，进而利用双曲线的定义可求解.

15．C

【解析】 如下图所示，.又，所以离心率，选C.

考点：双曲线与圆.

16．A

【分析】根据双曲线的定义,可得点P的轨迹是以M、N为焦点,的双曲线,由此算出双曲线的方程为.再分别判断双曲线与四条直线的位置关系,可得只有①②的直线上存在点P满足B型直线的条件,由此可得答案.

【解析】点点P使,
点P的轨迹是以M、N为焦点,的双曲线
可得,双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线没有公共点,
直线经过点斜率,与双曲线也没有公共点
而直线与直线都与双曲线有交点，
因此,在与上存在点P使,满足B型直线的条件
只有①②正确，
故选A.

【点评】本题给出“B型直线”的定义,判断几条直线是否为B型直线,着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识,属于基础题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

17．5

【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求的最大值.

【解析】

如图，双曲线的两个焦点为：为两个圆的圆心，半径分别为

故的最大值为：

故答案为：5

【点评】本题考查了双曲线中的最值问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

18．.

【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解．

【解析】设点，则，，

则，

又，则，

点的轨迹方程为，即，

同理可得点也在轨迹上，

注意到点恰为双曲线的左焦点，

如图：

设双曲线的右焦点为，

则由双曲线的定义可得，

的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合运用，考查化简求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．

19．②④

【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.

【解析】设点P的坐标为：P（x，y），

依题意，有：，

整理，得：，

对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，

椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；

对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，

椭圆方程为：，则，解得：，符合；

对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；

对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，

不可能成为焦点在y轴上的双曲线，

所以，不存在满足题意的实数a，正确.

所以，正确命题的序号是②④.

【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．

【解析】由题设可知，又因为，故，由双曲线定义可知点在以为焦点的双曲线上，由于，所以，故点的轨迹方程是，应填答案．

【点评】本题重在考查双曲线的定义及标准方程的求法，检查运用所学知识去分析问题解决问题的能力．求解时借助垂直平分线上的点所满足的条件，进而依据线段之间的数量关系得到，最后再依据双曲线的定义知道点在以为焦点的双曲线上，从而求得双曲线的标准方程使得问题巧妙获解．