备战2022高考数学圆锥曲线专题30：抛物线的范围问题27页（含解析）

专题30：抛物线的范围问题

一、单选题

1．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、解答题

2．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.

3．已知直线l1，l2分别于抛物线y2＝x相切于A，B两点．

（1）若点A的坐标为（1，﹣1），求直线l1的方程；

（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y2＝1上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围．

4．已知抛物线的焦点为，经过点作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，且与相交于，两点，若是关于原点的对称点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．

5．如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若点，满足，，求的取值范围．

6．已知抛物线，过不在y轴上的点P作C的两条切线，切点分别为．直线与y轴交于点M，直线（O为坐标原点）与交于点N，且．

（1）证明M是一个定点；

（2）求的最小值．

7．已知抛物线的焦点为，且点是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当直线垂直于直线时，求实数的取值范围．

8．若抛物线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围.

9．如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于.

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标的取值范围．

10．如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，，设.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）求的取值范围.

11．如图，已知抛物线：与圆：有四个不同的公共点，，，.

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

12．已知抛物线：和直线：，是抛物线上的点，且点到轴的距离与到直线的距离之和的最小值

（1）求抛物线的方程；

（2）设，过点作抛物线的两条切线，切点分别记为，，抛物线在点处的切线与，分别交于，两点，求外接圆面积的最小值.

13．已知：抛物线，过外点作的两条切线，切点分别为、.

（Ⅰ）若，求两条切线的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上的动点，求面积的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】设、，根据抛物线的定义，有，结合余弦定理与基本不等式即可求解．

【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，

可知、，

在梯形中，有，

在中，，

又∵，∴，

∴，故的最大值是，

故选：A．

【点评】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．

2．（1）；（2）9.

【分析】（1）由直线经过抛物线的焦点，解得；

（2）联立方程，利用弦长公式表示，分别表示两条切线的方程，得到点坐标，利用点到直线距离公式，表示三角形的高，从而得到三角形的面积表达式，求最值即可.

【解析】解：（1）设抛物线的方程为.

直线经过抛物线的焦点，，解得.

抛物线的方程为.

（2）设、，

由，得.

，，，

.

由得..

抛物线经过点的切线方程是，

将代入上式整理得.

同理可得抛物线经过点的切线方程为.

解方程组得，.

到直线的距离，

的面积.

，.当时，.

面积的最小值为.

3．（1）x+2y+1＝0；（2）.

【分析】（1）设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得直线的方程．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求得直线，直线，得到点，．表示出直线AB方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示，可求得范围．

【解析】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，得ky2﹣y﹣k﹣1＝0．

由△＝1+4k（k+1）＝0，得，则l1的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2＝x联立，得．

由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，．

设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为．

与抛物线方程联立，得y2﹣2y0y+x0＝0，则有y1+y2＝2y0，y1y2＝x0．

则，，所以．

又点P在圆（x+2）2+y2＝1上，所以，即，所以.

所以的取值范围为.

【点评】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.

4．（1）；（2）．

【分析】(1)设出直线的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由弦长公式可得答案.

(2)由直线直线的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由判别式求出参数的范围，设出，两点坐标，表示出，将韦达定理代入，根据参数的范围可求出答案.

【解析】（1）设，．依题意，知直线的方程为，即，

将它代入抛物线的方程中，并整理得．

由韦达定理得，，其对恒成立；

由弦长公式得，

化简得且，解得．故抛物线的方程为．

（2）设，，由（1）易得，则依题意知．

而①；

又因，两点在直线上，

于是，代入①式整理得②．

将的方程代入的方程中，化简得，

由韦达定理得，③，其且，

解得且；

将③式代入②式化简得且 ．

分情况讨论如下：当时，由均值不等式得，

当且仅当，且，即时取等号；

当时，令，

则对恒成立，

从而知在区间上单调递增，所以．

综上得的取值范围为．

【点评】关键点睛：本题考查根据弦长求抛物线的方程和考查直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键是由，两点坐标，表示出，将韦达定理代入可得，从而由参数的范围求解，属于中档题.

5．（1）；（2）．

【分析】（1）根据题意可得，，再根据即可求解.

（2）将直线与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理可得，再将直线与抛物线方程联立设，，利用韦达定理可得，再由从而可得，配方即可求解.

【解析】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，，所以，，

因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即，

所以抛物线的方程为．

（2）由（1）知椭圆，

由得，

，得，．

设，，

则，

所以．

易知，所以．

由得．

，得．

设，，

则，

所以，

所以．

所以

，，

易知函数在上单调递减，

所以．

【点评】方法点睛：求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法：一是建立关系，二是求最值或范围，即先由题设条件建立关于所求目标的函数关系式，再对目标函数求最值，如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立，利用根与系数的关系将，用表示出来，再结合的范围及函数的单调性求的取值范围．

6．（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程，可得直线的方程为，由直线的斜率为，结合可求得，即可得出定点；

（2）由点到直线的距离公式及两点之间的距离公式求得，利用基本不等式的性质即可求得的最大值，进而得出所求.

【解析】解：（1）证明：设，显然，设，

由，求导，

则直线的斜率，直线的方程：，则，即，

同理直线的方程：，

∴由直线过切点P，则，

则A和B的坐标满足，

∴直线的方程为，则直线的斜率为，直线的斜率为，

由，即，，则，

则直线的方程，

与y轴的交点M是定点；

（2）由（1），则为P到直线的距离，

，

由，

由，

，当且仅当，即时，取等号，

则的最小值．

【点评】关键点睛：本题考查抛物线中直线过定点问题，考查最值的求解，解题的关键是利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程，得出直线的方程为，得出，用基本不等式的性质即可求得的最大值.

7．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）由抛物线的焦点为，得，求得，则抛物线方程可求；

（Ⅱ）设，由题意可知，不与轴垂直，设，，分别与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得的纵坐标，得到的斜率，再由直线与圆相切，可得，得到，写出的斜率，再由，结合点在抛物线上，求得，由此求解实数的取值范围.

【解析】（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，所以，则，

所以抛物线方程为：；

（Ⅱ）设，

由题意可知，不与轴垂直，

设，，

由，得，

则，得，同理可得，

所以，

若过M的直线与圆相切，可得，

化简得，

则，

又，，

所以，

所以，即，

将代入，化简得，

即，因为，

所以，即，得，

所以实数的取值范围是.

【点评】方法点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：

（1）结合抛物线的焦点坐标求得的值，得到抛物线的方程；

（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得点的纵坐标，利用斜率坐标公式求得其斜率；

（3）根据直线与圆相切，得到等量关系式；

（4）根据两直线垂直得到其斜率乘积等于；

（5）根据坐标的范围得到不等关系，求得参数的取值范围.

8．

【分析】设是抛物线上关于直线对称的两点，AB的中点，则，两式相减化简得到，再由，求得点P的坐标，然后根据点p在抛物线内部,由求解.

【解析】设是抛物线上关于直线对称的两点，

则，

设AB的中点.

又，

点p在抛物线内部,

，即，

1)当，则，

，即无解；

2)当则

，即

故.

9．（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，转化求解的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为，，可设，，，，设直线，联立消去得，求出的坐标，求出直线，由解得的横坐标是，其中，然后求解即可．

【解析】解：（Ⅰ）由题意可得抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离．

由抛物线的定义得，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的方程为，，可设，，，．

由题知不垂直于轴，可设直线，，

由消去得，

故，所以．

又直线的斜率为，故直线的斜率为，

从而的直线，直线，

由解得的横坐标是，其中，

或．

综上，点的横坐标的取值范围是，，．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

10．（I） ，；（II） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程．（Ⅱ ）设，，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得,故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果．

试题解析：

（Ⅰ）由抛物线定义可得，

∵点M在抛物线上，

∴，即  ①

又由，得

将上式代入①，得

解得

∴

，

所以曲线的方程为，曲线的方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，

由消去y整理得，

设，.

则，

设，，

则，

所以， ②

设直线的方程为 ，

由，解得，

所以，

由②可知，用代替，

可得，

由，解得，

所以，

用代替，可得

所以

，当且仅当时等号成立．

所以的取值范围为.

点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下几个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

11．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）联立抛物线与圆的方程，由题意可得在上有两个不同的解，即，解不等式组可得答案.

（Ⅱ）用半径表示出四边形的面积为，令，此时，构造函数，求导判单调性，由单调性即可得到最值.

【解析】（Ⅰ）联立得.由题可知，

在上有两个不同的解，所以，

得，所以.

（Ⅱ）设，，，，

由韦达定理可知，，.

又.

，

所以.

令，则，此时.

记，.

.

当时，，当时，.

所以在上单调递增，在单调递减.

所以，得四边形的最大值为.

【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.

12．（1）；（2）.

【分析】（1）根据抛物线定义求解方程；

（2）设，抛物线在处的切线，设，，，可得，的方程，将直线方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理及三角形的面积公式及中正弦定理，即可得答案；

【解析】设抛物线焦点为，作轴延长交抛物线准线于点，作于点，作于点，

焦点到直线的距离，，

解得因此抛物线的方程为.

（2）

设

抛物线在处的切线

设，，，，

联立与抛物线：，整理得

相切：，即

同理可得：，因此，是方程的两根，

判别式：，即，成立

韦达定理；，，

到角公式；，

则

联立与，解得，

同理可得：

弦长公式：

在中使用正弦定理：

.

，面积最小值为.

【点评】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性，属于难题.

13．（Ⅰ）和；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）设过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由可求得的值，由此可求得所求切线的方程；

（Ⅱ）设点、、，利用导数求得直线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可得出两个等式，可求得直线的方程，并将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求得以及点到直线的距离，可求得的面积，然后利用椭圆方程可将的面积表示为有关的函数，由此可求得面积的取值范围.

【解析】（Ⅰ）设过点的切线方程为，将其代入，可得，

因为直线与抛物线相切，，解得.

因此，所求的两条切线的方程为和；

（Ⅱ）设、、，由，可得，

则切线的方程为，又，

即.同理，切线的方程为.

又和都过点，.

直线方程为，即.

联立，得.

,

由韦达定理得，.

.

点到直线的距离为，

的面积.

，，，

.

【点评】本题考查抛物线的切线方程的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的求解，考查了抛物线切点弦方程的求解，考查计算能力，属于较难题.