考向21 三角恒等变换（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

这是一份考向21 三角恒等变换（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用），共41页。主要包含了知识拓展等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】
思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
2．（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【分析】
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】
本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.
4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acs(ωx＋φ)＋t的形式．
（2）利用公式求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）：
（2）：
（3）：
（4）：
（5）：
（6）：
2．二倍角公式
（1）：
（2）：
（3）：
3．公式的常用变形
（1）；
（2）降幂公式：；；
（3）升幂公式：；；；
（4）辅助角公式：，其中，
【知识拓展】
1.三角函数式的化简口诀：
（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角（4）降幂或升幂．
2.角的关系：
（1）已知角表示未知角
例如：，，
，，
，.
（2）互余与互补关系
例如：，.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
1．（2021·全国（理））若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）（多选题）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位
3．（2021·全国高三其他模拟（文））若是区间上的单调函数，则正数的最大值是___________.
4．（2021·陕西西安中学高三其他模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，．已知，则的最小值为_______．
1．（2021·河南高二其他模拟（理））已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2021·全国高三其他模拟（文））（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·辽宁实验中学高三二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2021·全国高三其他模拟（文））函数，若不等式对恒成立，则的最小正值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））若，则___________.
7．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）已知，则__________________．
8．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，为锐角，且，则的最大值是___________.
9．（2021·上海高三其他模拟）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.
10．（2021·浙江高三其他模拟）已知=，且，则__________；__________．
11．（2021·全国高三其他模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求的值及的面积．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，已知，，______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2021·全国高三其他模拟）在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，__________，求在上的单调递减区间．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1．（2017·山东高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2016·山东高考真题（理））函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．D．2π
3．（2020·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
4．（2020·全国高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2019·全国高考真题（文））已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
6．（2021·全国高考真题）（多选题
）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·北京高考真题）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．
8．（2020·江苏高考真题）已知 =，则的值是____.
9．（2020·浙江高考真题）已知，则________；______．
10．（2013·湖南高考真题（理））已知函数．
（I）若是第一象限角，且．求的值；
（II）求使成立的x的取值集合．
1．【答案】C
【分析】
根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.
【详解】
由知，，或，
则，
由知，，或，
则，
，
则
故选：C
2．【答案】BC
【分析】
由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.
【详解】
，
，
∴向左平移个单位或向右平移个单位得到.
故选：BC
3．【答案】
【分析】
先由辅助角公式可得，根据题意可得，由的单调性，所以只要即可得解.
【详解】
，
由且，
所以，
因为在上为增函数，
所以，可得，
所以正数的最大值是.
故答案为：.
4．【答案】
【分析】
化简已知得，所以，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：由题意可知，，
化简得，
所以．
根据正弦定理：，可得①．
，由①可得，
所以，
当时，等号成立．所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
1．【答案】A
【分析】
根据二倍角公式可得，求出，再根据同角三角函数的平方关系可求出答案．
【详解】
解：由题可知，即，
，
，
，
，
故选：A．
2．【答案】C
【分析】
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：因为，所以
故选：C
3．【答案】A
【分析】
由和的正切公式即可求出.
【详解】
.
故选：A.
4．【答案】A
【分析】
分别用和表示出的一半，得出侧棱与底面边长的比，再根据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．
【详解】
设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，，
取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如图所示：
设侧棱长为，底面边长为，
由题意知，，则，解得；
由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，
中，，所以，
由，解得，
所以，
所以，解得，
即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为．
故选:A．
5．【答案】D
【分析】
由诱导公式及二倍角公式可得转化条件为是函数的最小值，由正弦函数的性质即可得解.
【详解】
由题意，
不等式对恒成立，是函数的最小值，
当时，的最小正值为．
故选：D.
6．【答案】
【分析】
先利用两角差的余弦公式展开，可得，两边平方即可求出的值．
【详解】
因为，
两边平方，得，解得.
故答案为：．
7．【答案】
【分析】
由余弦的二倍角公式结合诱导公式即可得解.
【详解】
∵，∴，
∴．
故答案为：．
8．【答案】
【分析】
由可得，两边同除以，化简得，所以，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
两边同除以，得
，
所以，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，
故答案为：
9．【答案】
【分析】
利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.
【详解】
因为，
则有或，，，
解得或，，，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，
所以，，，，，，…，
故，，
所以，即，
则，解得，
故.
故答案为：.
10．【答案】
【分析】
求出的范围可得，利用可得
；利用
可得第二空的答案.
【详解】
因为，所以，由=，
所以，所以
；
.
故答案为：①；②.
11．【答案】选择见解析；；的面积为．
【分析】
利用正弦定理对题中条件变形处理，可得到，，再对角用余弦定理可推出，然后对于所给的条件①、②、③均可快速求出边，，再利用公式求的面积.
【详解】
因为，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以
又，
所以，
所以，
(1) 若选择①，与及联立，
解得，，
所以的面积．
(2) 若选择②，
因为，，所以，，
所以，所以，
所以，
所以的面积．
(3) 若选择③，与联立，
得，，
所以的面积．
12．【答案】选择见解析；单调递减区间为，．
【分析】
利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，
若选①，利用正弦函数的对称性可得，，得，，又，可得，可求；
若选②，由题意可得，可得，，又，可得，可求；
若选③，可求，可得，可得，
利用正弦函数的单调性，结合，即可求解在，上的单调递减区间．
【详解】
解：
．
①若是函数图象的一条对称轴，
则，，即，，
得，，
又，∴当时，，．
②若是函数的一个零点，
则，即，，
得，．
又，∴当时，，所以，．
③若在上单调递增，且的最大值为．
则，故，所以．
由，，
得，，
令，得，令，得，
又，
所以在上的单调递减区间为，．
1．【答案】D
【分析】
根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
【详解】
.
故选：D
【点睛】
本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．【答案】B
【分析】
因为，根据辅助角公式可化简为，根据正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【详解】
,
故最小正周期,
故选：B.
【点睛】
本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等.
3．【答案】D
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
4．【答案】B
【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】
由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
5．【答案】B
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】
，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
6．【答案】AC
【分析】
A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
7．【答案】（均可）
【分析】
根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.
【详解】
因为，
所以，解得，故可取.
故答案为：（均可）.
【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.
8．【答案】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．【答案】
【分析】
利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根据两角差正切公式得
【详解】
，
，
故答案为：
【点睛】
本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．【答案】（I）（II）
【解析】
试题分析：该题属于三角函数的综合问题，在解题的过程中，第一问需要先化简函数解析式，在化简的过程中，应用正余弦的差角公式，化简后利用，从而求得，根据是第一象限角，从而确定出，利用倍角公式建立起所满足的等量关系式，从而求得结果，第二问将相应的函数解析式代入不等式，化简后得到，结合正弦函数的性质，可以求得结果．
试题解析：（1），求得，根据是第一象限角，所以，且；
（2）
．
考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．