新高考数学一轮复习教师用书：第九章　6 第6讲　双曲线学案

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第6讲　双曲线

1．双曲线的定义
条 件
结论1
结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2
M点的
轨迹为
双曲线
F1、F2为双曲线的焦点
|F1F2|为双曲线的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a<|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图 形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线及性质
(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．
4．双曲线中一些常用的结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|max＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为.
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2·，其中θ为∠F1PF2.

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)．(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[教材衍化]
1．(选修2­1P61A组T1改编)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
所以2a＝＝b.
又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2.
所以e2＝＝5，所以e＝.
答案：
2．(选修2­1P62A组T6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1(a＞0)，
把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，
故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
3．(选修2­1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．
解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)．所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
[易错纠偏]
(1)忽视双曲线的定义；
(2)忽视双曲线焦点的位置；
(3)忽视双曲线的渐近线与离心率的关系．
1．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
2．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan ＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝.
答案：2或
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
解析：由条件知y＝－x过点(3，－4)，所以＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以25a2＝9c2，所以e＝.
答案：


　　　　　　双曲线的定义
(1)(2020·宁波高三质检)设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．10　　　　　　　　　 B．8
C．8 D．16
(2)(2020·温州八校联考)△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．
【解析】　(1)依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.
(2)如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝8，|BF|＝|BG|＝2，|CE|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．
【答案】　(1)C　(2)－＝1(x>3)

(变条件)若本例(1)中“|PF1|∶|PF2|＝3∶4”变为“PF1⊥PF2”，其他条件不变，如何求解．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则
解得mn＝16，所以S△PF1F2＝mn＝8.

双曲线定义的应用规律
类型
解读
求方程
由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定2a，2b或2c的值，从而求出a2，b2的值，写出双曲线方程
解焦点三角形
利用双曲线上点M与两焦点的距离的差||MF1|－|MF2||＝2a(其中2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理，解决焦点三角形问题
[提醒]　在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．　

1．已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)
A．48 B．24
C．12 D．6
解析：选B.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，故三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.
2．(2020·衢州调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
解析：选B.由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9.

　　　　　　双曲线的标准方程
(1)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2020·浙江省六市六校联盟模拟)如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
【解析】　(1)根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝　①，又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a2＋b2＝9　②，根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以选B.
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得B(2，0)，C(2，3)，
所以解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
【答案】　(1)B　(2)x2－＝1

(1)求双曲线标准方程的答题模板

(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　
　分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点(4，)．
解：(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，
所以b＝6，c＝10，a＝8.
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0，12)，
所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13.
所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
所以可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，)，
所以λ＝16－4×()2＝4，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.
法二：因为渐近线y＝x过点(4，2)，而<2，
所以点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．

所以双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得解得
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.

　　　　　　双曲线的几何性质(高频考点)
双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：
(1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的离心率(或范围)．
角度一　求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
(2020·义乌模拟)已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(　　)
A．32 B．16
C．84 D．4
【解析】　由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
【答案】　B
角度二　求双曲线的渐近线方程
已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A.x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】　由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a，
所以有|PF2|＜|F1F2|，
所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°，得c＝a，所以b＝＝a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.
【答案】　A
角度三　求双曲线的离心率(或范围)
(1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A. B．1
C. D．2
(2)已知双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
【解析】　(1)因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.故选C.
(2)在△PF1F2中，由正弦定理知＝，又＝，所以＝，所以点P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，
又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝.由双曲线的几何性质知|PF2|>c－a，则>c－a，即e2－2e－1<0，所以1－ 由双曲线e>1，故1 【答案】　(1)C　(2)(1，1＋)

与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．　

1．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.如图所示，连接OA，OB，

设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，
所以△ACO为等边三角形，
所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O相切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝ ＝ ＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±x，即y＝±x.
2．(2020·绍兴诸暨高考模拟)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线上，且满足∠PF2F1＝2∠PF1F2＝60°，则此双曲线的离心率等于(　　)
A．2－2 B.
C.＋1 D．2＋2
解析：选C.设双曲线的焦距长为2c，
因为点P为双曲线上一点，且∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，
所以P在右支上，∠F2PF1＝90°，
即PF1⊥PF2，|PF1|＝2csin 60°＝c，
|PF2|＝2ccos 60°＝c，
所以由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝(－1)c＝2a，所以e＝＝＝＋1.
故选C.
3．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．
解析：因为右焦点到渐近线的距离为b，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，
所以b＝·2c＝c，
平方得b2＝c2＝c2－a2，即a2＝c2，
则c＝2a，则离心率e＝＝2，
因为双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为4，
所以2a＝4，则a＝2，从而b＝＝2.
答案：2　4

　　　　　　直线与双曲线的位置关系
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【解】　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得，a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知
所以k的取值范围为.

(变问法)在本例(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：由(2)得：xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为：y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为 所以m的取值范围为(－∞，－2)．

研究直线与双曲线位置关系问题的方法
(1)直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，利用方程解的个数确定；
(2)若直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝ |x1－x2|.
[提醒]　由方程法判断直线与双曲线位置关系时，应注意当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．　
　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．
解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，
所以解得c＝3，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．
联立得5x2＋6x－27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
所以|AB|＝ × ＝.
[基础题组练]
1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x　　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B.由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.
2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝k，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选C.由已知得
所以a2＝4b2.所以双曲线的方程为－＝1.
3．(2020·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2为等边三角形，则xP＝＝，选项A正确．
4．(2020·杭州中学高三月考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．3
C. D．2
解析：选D.由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b.
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，所以|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，所以OA∥F1M，所以∠F1MF2为直角，
所以△MF1F2为直角三角形，
所以由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，
所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，
所以c＝2a，所以e＝2.
故选D.
5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.
6．(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝20x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝17，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.由题意知F(5，0)，不妨设P点在x轴的上方，由|PF|＝17知点P的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为＝4，设双曲线的另一个焦点为F1(－5，0)，则|PF1|＝＝23，所以2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以a＝3，所以e＝＝，故选B.
7．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，
所以0＜k＜1.
答案：k＜－1或k＞2　0＜k＜1
8．(2020·金华十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为________．
解析：F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2.
答案：2
9．(2020·瑞安四校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，x＝时，y＝±，不妨设A，B，因为60°<∠AFB<90°，所以 答案：(，2)
10．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2＝________．
解析：由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)，|F1F2|＝2.设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×2|y0|＝12.故y＝，将P点坐标代入双曲线方程得x＝，不妨设点P，则＝，＝，可得·＝0，即PF1⊥PF2，故∠F1PF2＝.
答案：
11．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
因而双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，
又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.
所以＝3，得a＝3，b＝4，
所以双曲线G的方程为－＝1.
12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
[综合题组练]
1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于点B，
l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于点C，A(a，0)，
所以＝，＝，
因为＝，
所以b＝2a，
所以c2－a2＝4a2，
所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.
2．(2020·宁波高考模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　)

A．2 B．4
C．2 D．2
解析：选A.F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，
若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，可得A，B，
代入椭圆方程可得＋＝1，可得＋＝1，
可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1.
代入双曲线方程可得：－＝1，
可得：－＝1，
可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1，
则C1与C2的离心率之和为2.
故选A.
3．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________．
解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，将x＝2代入x2－＝1，解得y＝±3，所以|PF2|＝3，所以PF1＝＝5，所以|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又因为|PF1|－|PF2|＝2，两边平方得(|PF1|－|PF2|)2＝4，所以|PF1||PF2|＝6，解得|PF1|＝1＋，|PF2|＝－1＋，所以|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．
答案：(2，8)
4．(2020·温州十五校联合体联考)过点M(0，1)且斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两渐近线交于点A，B，且＝2，则直线l的方程为____________；如果双曲线的焦距为2，则b的值为________．
解析：直线l的方程为y＝x＋1，两渐近线的方程为y＝±x.其交点坐标分别为，.由＝2，得xB＝2xA.若＝－，得a＝3b，由a2＋b2＝10b2＝10得b＝1，若－＝，得a＝－3b(舍去)．
答案：y＝x＋1　1
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
解：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.
6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
解：(1)依题意有＝，c－＝，
因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
所以x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB，
所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，
所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．