2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第三讲　三角函数的图象与性质学案

这是一份2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第三讲　三角函数的图象与性质学案，共19页。

第三讲　三角函数的图象与性质


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[改编题]下列说法正确的是(　　)
A.正切函数y=tan x在定义域上是增函数
B.已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1
C.将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx - φ)的图象
D.y=sin|x|是偶函数
2.[多选题]将函数y=sin x的图象向左平移π2个单位长度,得到函数y=f (x)的图象,则下列说法正确的是(　　)
A.y=f (x)是偶函数
B.y=f (x)的最小正周期为π
C.y=f (x)的图象关于直线x=π2对称
D.y=f (x)的图象关于点( - π2,0)对称
3.[2019全国卷Ⅱ]若x1=π4,x2=3π4是函数f (x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.32 C.1 D.12
4.[2019全国卷Ⅱ]下列函数中,以π2为周期且在区间(π4,π2)上单调递增的是(　　)
A.f (x)=|cos 2x| B.f (x)=|sin 2x|
C.f (x)=cos|x| D.f (x)=sin|x|
5.[2020大同市高三调研]已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图4 - 3 - 1所示,则ω,φ的值分别为(　　)
A.2, - π3 B.2, - π6 C.4, - π6 D.4,π3

6.[2019天津高考]已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f (x)的最小正周期为π,将y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(π4)=2,则
f (3π8)=(　　)
A. - 2 B. - 2 C.2 D.2
7.[2019北京高考]函数f (x)=sin22x的最小正周期是　　　　. 
8.[2018北京高考]设函数f (x)=cos(ωx - π6)(ω>0).若f (x)≤f (π4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. 

考法1 三角函数的图象变换及其应用
1(1)要得到函数y=sin(5x - π4)的图象,只需将函数y=cos 5x的图象　　　　　　　　　　　　　　　　
A.向左平移3π20个单位长度 　B.向右平移3π20个单位长度
C.向左平移3π4个单位长度 　D.向右平移3π4个单位长度
(2)如图4 - 3 - 2所示的是函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)在区间[ - π6,5π6]上的图象,若将该函数图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于直线x=5π12对称,则m的最小值为
A.7π6 B.π6 C.π8 D.7π24
(1)函数y=cos 5x=sin(5x+π2)=sin 5(x+π10),(将变换前后的两个函数名化为同名)
y=sin(5x - π4)=sin 5(x - π20),设平移|φ|个单位长度,则π10+φ= - π20,(方程思想)
解得φ= - 3π20,故把函数y=cos 5x的图象向右平移3π20个单位长度,可得函数y=sin(5x - π4)的图象.
(2)解法一　(直接法)由函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象, 可得周期T=2πω=5π6 - ( - π6)=π,所以ω=2.
又点( - π6,0)在函数f (x)的图象上,所以sin[2×( - π6)+φ]=0,所以φ - π3=2kπ(k∈Z),所以φ=π3+2kπ(k∈Z),
又0<φ<π2,所以k=0,φ=π3.
故函数f (x)的解析式为 f (x)=sin(2x+π3).(由图定式)
把f (x)=sin(2x+π3)的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半(纵坐标不变),再向右平移m(m>0)个单位长度后,得到g(x)=sin(4x - 4m+π3)的图象,(依据变换规律求解析式)
因为所得图象关于直线x=5π12对称,所以4×5π12 - 4m+π3=π2+kπ(k∈Z),解得m=38π - 14kπ,k∈Z,(依据对称轴列方程求m)
所以由m>0,可得当k=1时,m取得最小值,且最小值为π8.(范围定最值)
解法二　(特征值法)由函数图象可知P( - π6,0)和Q(5π6,0)是函数f (x)的图象的两个对称中心,得线段PQ的中点M(π3,0)也是函数
f (x)的图象的对称中心.
显然,函数f (x)的周期T=5π6 - ( - π6)=π.(定周期)
显然PM的中点(π12,0)在函数f (x)的图象的一条对称轴上,即直线x=π12是该函数图象的一条对称轴.(由相邻对称中心定对称轴)
所以该函数图象的对称轴的方程为x=π12+k·π2(k∈Z).(结合周期性定对称轴的方程)
根据题意,将f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移m个单位长度后,所得函数图象的对称轴的方程为x=12(π12+k·π2)+m=π24+kπ4+m(k∈Z),(根据图象变换规律求变换后所得函数图象的对称轴方程)
令π24+kπ4+m=5π12(k∈Z),解得m=3π8-kπ4(k∈Z).(列方程求值)
因为m>0,所以当k=1时,m取得最小值,最小值为3π8-π4=π8.
(1)B　 (2)C
对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把x的系数提取出来,如由y=sin( - x)变为
y=sin( - x - 1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的描述应该是向左平移一个单位长度.
1.[2020湖北部分重点中学高三测试]将函数f (x)=sin(2x+φ),φ∈(0,π)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象,已知g(x)是偶函数,则tan(φ - π6)= (　　)
A. - 3 B.3 C. - 33 D.33
考法2 由三角函数的图象求解析式
2已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图4 - 3 - 3所示,则f (x)的解析式为

图4 - 3 - 3
A.f (x)=2 3sin(π8x+π4)
B.f (x)=2 3sin(π8x+3π4)
C.f (x)=2 3sin(π8x - π4)
D.f (x)=2 3sin(π8x - 3π4)


由图象可得,函数的最大值为23,最小值为 - 23,故A=23.(最值定A)
由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为( - 2,0),(6,0),
所以函数的周期T=2×[6 - ( - 2)]=16,(对称中心定周期)
所以ω=2πT=2π16=π8.(周期定ω)
所以f (x)=23sin(π8x+φ).
解法一　(由对称中心定φ)由点( - 2,0)在函数图象上可得f ( - 2)=23sin[π8×( - 2)+φ]=23sin(φ - π4)=0,(代坐标列方程)
又( - 2,0)在函数图象的下降段上,所以φ - π4=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+5π4(k∈Z).　
因为|φ|<π,
所以k= - 1,φ= - 3π4.
所以函数的解析式为f (x)=23sin(π8x - 3π4).
解法二　(由最值点定φ)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为( - 2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2, - 23).(求最低点坐标)
代入函数解析式可得f (2)=23sin(π8×2+φ)= - 23,
即sin(π4+φ)= - 1,
所以π4+φ=2kπ - π2(k∈Z),
解得φ=2kπ - 3π4(k∈Z).
因为|φ|<π,
所以k=0,φ= - 3π4.
故函数的解析式为f (x)=23sin(π8x - 3π4).
D
考法3 三角函数的单调性
3 [2018全国卷Ⅱ]若f (x)=cos x - sin x在[ - a,a]上是减函数,则a的最大值是
A.π4 B.π2 C.3π4 D.π
解法一　(一角一函数——模型解法)f (x)=2cos(x+π4),
由2kπ≤x+π4≤2kπ+π(k∈Z),得2kπ - π4≤x≤2kπ+3π4(k∈Z).
即f (x)的单调递减区间为[ - π4+2kπ,3π4+2kπ](k∈Z),
又函数f (x)在[ - a,a]上是减函数,则[ - a,a]⊆[2kπ - π4,2kπ+3π4](k∈Z),
显然当k=0时,上述关系才能成立.则易得a的最大值是π4.
解法二　(导数法——转化为不等式恒成立模型)由已知得, f ' (x)= - sin x - cos x= - (sin x+cos x)= - 2sin(x+π4).
由题意知,在[ - a,a]上f ' (x)≤0,即 - 2sin(x+π4)≤0在区间[ - a,a]上恒成立.
也就是sin(x+π4)≥0在区间[ - a,a]上恒成立.
由sin(x+π4)≥0得,2kπ≤x+π4≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ - π4≤x≤2kπ+3π4(k∈Z).
所以[ - a,a]⊆[2kπ - π4,2kπ+3π4](k∈Z),
显然当k=0时,上述关系才能成立,即[ - a,a]⊆[ - π4,3π4],
此时-a≥-π4,a≤3π4,解得a≤π4.
所以a的最大值为π4.
A
2.[2019山东师大附中二模]若将函数f (x)=12sin(2x+π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.[kπ+π4,kπ+3π4](k∈Z) 　B.[kπ - π4,kπ+π4](k∈Z)
C.[kπ - 2π3,kπ - π6](k∈Z) 　D.[kπ - π12,kπ+5π12](k∈Z)
考法4 求三角函数的最值(值域)
4 (1)[2019山东济南模拟]已知函数f (x)=sin(ωx - π6)(ω>0),x∈[0,π],f (x)的值域为[ - 12,1],则ω的最小值为
A.23 B.34 C.43 D.32
(2)[2019全国卷Ⅰ]函数f (x)=sin(2x+3π2) - 3cos x的最小值为　　　　. 
(1)因为0≤x≤π,所以 - π6≤ωx - π6≤ωπ - π6.
而f (x)的值域为[ - 12,1],且f (0)=sin( - π6)= - 12,sin 7π6= - 12,
结合函数y=sin t的图象(如图4 - 3 - 4所示)可得π2≤ωπ - π6≤7π6,解得23≤ω≤43.

则ω的最小值为23.故选A.
(2)f (x)=sin(2x+3π2) - 3cos x= - cos 2x - 3cos x=1 - 2cos2x - 3cos x=
- 2(cos x+34)2+178,因为cos x∈[ - 1,1],所以当cos x=1时,f (x)取得最小值,f (x)min= - 4.
3.(1)[2017全国卷Ⅱ]函数f (x)=sin2x+3cos x - 34(x∈[0,π2])的最大值是　　　. 
(2)[2018全国卷Ⅰ]已知函数f (x)=2sin x+sin 2x,则f (x)的最小值是　　　　. 
考法5 三角函数的奇偶性、周期性、图象的对称性
命题角度1　三角函数的周期性
5求下列函数的周期:
(1)y=2|sin(4x - π3)|;
(2)y=|tan x|;
(3)y=2cos xsin(x+π3) - 3sin2x+sin xcos x.
(1)(公式法)y=2|sin(4x - π3)|的最小正周期是y=2sin(4x - π3)的最小正周期的一半,即T=12×2π4=π4.
(2)(图象法)画出y=|tan x|的图象,如图4 - 3 - 5所示.

图4 - 3 - 5

由图象易知T=π.
(3)(转化法)y=2cos x(12sin x+32cos x) - 3sin2x+sin xcos x
=sin x cos x+3cos2x - 3sin2x+sin xcos x
=sin 2x+3cos 2x
=2sin(2x+π3),
故该函数的最小正周期T=2π2=π.
命题角度2　三角函数的奇偶性
6函数f (x)=3sin(2x - π3+φ),φ∈(0,π)满足f (|x|)=f (x),则φ的值为　　　　. 
由题意知f (x)为偶函数,其图象关于y轴对称,
∴f (0)=3sin(φ - π3)=±3,∴φ - π3=kπ+π2,k∈Z.
又0<φ<π,∴φ=5π6.
命题角度3　三角函数图象的对称性
7 [2019湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4,将函数y=f (x)的图象向左平移3π16个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f (x)的图象　　　　　　　　
A.关于点( - π16,0)对称 B.关于点(π16,0)对称
C.关于直线x=π16对称 D.关于直线x= - π4对称
因为函数y=f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4,所以函数的周期T=π2,(相邻两条对称轴之间的距离是12个最小正周期)
所以ω=2πT=4,所以f (x)=sin(4x+φ).
将函数y=f (x)的图象向左平移3π16个单位长度后,得到函数y=sin[4(x+3π16)+φ]的图象,
因为所得图象关于y轴对称,
所以4×3π16+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ - π4,k∈Z.
又|φ|<π2,所以φ= - π4,
所以f (x)=sin(4x - π4).
令4x - π4=kπ,k∈Z,(根据y=sin t的性质求对称中心)
解得x=kπ4+π16,k∈Z,令k=0,得f (x)的图象关于点(π16,0)对称,故B正确,易得A不正确.
令4x - π4=π2+kπ,k∈Z,(根据y=sin t的性质求对称轴)
解得x=3π16+kπ4,k∈Z,
所以函数f (x)的图象的对称轴方程为x=3π16+kπ4,k∈Z,易得C,D均不正确.
B
考法6 三角函数的综合问题
8 [2016天津高考] 已知函数f (x)=4tan x·sin(π2 - x)cos(x - π3) - 3.
(1)求f (x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f (x)在区间[ - π 4,π4]上的单调性.
(1)f (x)的定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}.(由正切函数定义域得f (x)的定义域)
f (x)=4tan xcos xcos(x - π3) - 3
=4sin xcos(x - π3) - 3
=4sin x(12cos x+32sin x) - 3
=2sin xcos x+23sin2x - 3
=sin 2x+3(1 - cos 2x) - 3
=sin 2x - 3cos 2x
=2sin(2x - π3).(化为一角一函数)
所以f (x)的最小正周期T=2π2=π.(利用公式法求周期)
(2)令z=2x - π3,函数y=2sin z的单调递增区间是[ - π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z.
由 - π2+2kπ≤2x - π3≤π2+2kπ,(利用整体代换法求解f (x)的单调递增区间)
得 - π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.
设A=[ - π4,π4],B={x| - π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z},易知A∩B=[ - π12,π4].
所以,当x∈[ - π4,π4]时, f (x)在区间[ - π12,π4]上单调递增,在区间[ - π4, - π12]上单调递减.
4.[2019全国卷Ⅰ]关于函数f (x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:
①f (x)是偶函数;②f (x)在区间(π2,π)上单调递增;
③f (x)在[ - π,π]上有4个零点;④f (x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
考法7 三角函数模型的应用
9 [湖北高考]某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f (t)=10 - 3cosπ12t - sinπ12t,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差;
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?
(1)因为f (t)=10 - 2(32cos π12t+12sin π12t)=10 - 2sin(π12t+π3),又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,所以 - 1≤sin(π12t+π3)≤1.
当t=2时,sin(π12t+π3)=1;
当t=14时,sin(π12t+π3)= - 1.
于是f (t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
(2)依题意,当f (t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f (t)=10 - 2sin(π12t+π3),
故有10 - 2sin(π12t+π3)>11,
即sin(π12t+π3)< - 12.
又0≤t<24,因此7π6<π12t+π3<11π6,所以10 故在10时至18时实验室需要降温.
5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为　　　　元. 
考法8 三角函数与其他知识的交汇
10 [2019安徽淮南二模]已知函数y=A' sin(ωx+φ)(|φ|<π2,ω>0)图象的一部分如图4 - 3 - 6所示.

A,B,D是此函数图象与x轴的三个相邻交点,C是图象的最高点,点D的坐标是(11π12,0),则数量积 AB·AC=
A.π22 B.π24 C.π26 D.π28
先根据函数图象确定函数解析式中各个参数的值,从而确定点A,B,C的坐标,然后求出两个向量的坐标,代入公式求解即可.
由函数图象可知A' =2,且f (0)=1,故sin φ=12.
又|φ|<π2,故φ=π6.
观察图象知x=11π12在函数的单调递增区间内,
所以ω×11π12+π6=2kπ,k∈Z,
解得ω=24k-211,k∈Z.
由函数图象可知2πω>11π12,
故0<ω<2411,故ω=2,
所以f (x)=2sin(2x+π6). (求函数解析式)
故A( - π12,0),B(5π12,0),C(π6,2), (求点的坐标)
因此 AB=(π2,0),AC=(π4,2),
故 AB·AC=π28.
D
解后反思　
该题中点D的坐标的应用是解题的关键,该点的坐标说明两个问题:一是函数最小正周期的取值范围,显然T>11π12;二是根据x=11π12在函数的单调递增区间内,可知ω×11π12+π6=2kπ(k∈Z).这样便可以得到ω的值.若x=11π12在函数的单调递减区间内,则ω×11π12+π6=2kπ+π(k∈Z).
6.已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2), 其图象与直线y= - 1相邻两个交点的距离为π,若f (x)>1对任意的x∈( - π12,π3)恒成立,则φ的取值范围是(　　)
A.(π6,π3) B.[π12,π3] C.[π12,π2] D.[π6,π3]



数学探究　三角函数中有关ω的求解
1.三角函数的单调性与ω的关系
11 [2019湖南师大附中模拟]若函数f (x)=23sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos 2ωx在区间[ - 3π2,3π2]上单调递增,则正数ω的最大值为
A.18 B.16 C.14 D.13
解法一　因为f (x)=23sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos 2ωx=3sin 2ωx+1在区间[ - 3π2,3π2]上单调递增,
所以-3ωπ≥-π2,3ωπ≤π2, (由端点值大小构建不等关系)
解得ω≤16,所以正数ω的最大值是16.
解法二　易知f (x)=3sin 2ωx+1,可得f (x)的最小正周期T=πω,所以-π4ω≤-3π2,π4ω≥3π2,
解得ω≤16,所以正数ω的最大值是16.
B
素养探源 　
核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
子集关系的判定,不等关系的建立.
二
数学运算
三角恒等变换,不等式的解法.
二
解后反思　
本题中因为指定区间含有0,所以可以直接利用 - 3ωπ与 - π2的大小关系及3ωπ与 π2的大小关系建立参数所满足的不等关系.若指定区间不含0,则需要先求出函数的单调递增区间,再利用子集关系建立参数所满足的不等关系.
2.三角函数的最值、图象的对称性与ω的关系
12 [2016全国卷Ⅰ]已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x= - π4为f (x)的零点,直线x=π4为y=f (x)图象的对称轴,且f (x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为
A.11 B.9 C.7 D.5
由条件中的“零点”和“对称轴”列等式→根据“f (x)在(π18,5π36)上单调”推导→验证
解法一　因为x= - π4为函数f (x)的零点,直线x=π4为y=f (x)图象的对称轴,
所以π4 - ( - π4)=π2=kT2+T4(k∈Z,T为最小正周期),(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得)
化简得T=2π2k+1(k∈Z),即ω=2πT=2k+1(k∈Z).
又f (x)在(π18,5π36)上单调,所以T2≥5π36-π18,(单调区间的长度不大于半个最小正周期)
结合T=2π2k+1(k∈Z)可得,k≤112且k∈Z.
当k=5时,ω=11,φ= - π4,f (x)在(π18,5π36)上不单调;当k=4时,ω=9,φ=π4,f (x)在(π18,5π36)上单调,满足题意,故ω的最大值为9.
解法二　依题意,有ω·(-π4)+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m,n∈Z),
解得ω=2(n-m)+1,φ=2(m+n)+14π.(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解)
又|φ|≤π2,所以m+n=0或m+n= - 1.
由f (x)在(π18,5π36)上单调,得πω≥5π36-π18,所以0<ω≤12.
当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,
取n=2,得ω=9,f (x)=sin(9x+π4),符合题意.
当m+n= - 1时,φ= - π4,ω=4n+3,
取n=2,得ω=11,f (x)=sin(11x - π4),此时,当x∈(π18,5π36)时,11x - π4∈(1336π,2318π),f (x)不单调,不合题意.
故ω的最大值为9.
B
(1)求ω的取值范围,还可采用如下思路:
因为f (x)在(π18,5π36)上单调,
所以π2+kπ≤π18ω+φ,π2+(k+1)π≥5π36ω+φ(k∈Z),利用同向不等式相加,得0<ω≤12.
(2)当ω=11时,验证f (x)在(π18,5π36)上是否单调有以下三个思路.
思路1:直接求单调区间,f (x)在(π18,3π44)上单调递增,在(3π44,5π36)上单调递减,所以不满足条件.
思路2:整体换元法,当x∈(π18,5π36)时,11x - π4∈(13π36,23π18),而正弦函数在区间(13π36,23π18)上不单调,所以不满足条件.
思路3:f (x)=sin(11x - π4)的图象的对称轴方程是x=4k+344π,通过赋值发现x=3π44在区间(π18,5π36)内,则f (x)在这个区间上不可能单调,所以ω=11不满足条件.
素养探源 　

核心素养
考查途径
素养水平
逻辑推理
函数的零点、图象的对称轴与函数的周期的关系,单调区间的长度与周期间的关系,ω的最大值的选取等.
二
数学运算
求ω,φ的值,求函数的单调区间.
二

试题评析　
本题以y=sin(ωx+φ)为背景设置问题,考查三角函数的图象、性质等核心知识,也考查了数形结合、转化与化归的思想方法,同时对学生的逻辑推理和数学运算素养要求较高.仔细审题,可发现解答此题的关键有三步:一是零点和对称轴的处理,二是函数在区间上单调的处理,三是验证.厘清思路后解题就简单多了.
本题的易错点是在运用转化与化归的数学思想方法时不等价:例如误认为对称中心与对称轴只能是相邻的,通过在相应区间上单调求出0<ω≤12,误选A.
7.[2016天津高考]已知函数f (x)=sin2ωx2+12sin ωx - 12(ω>0),x∈R.若f (x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,18] B.(0,14]∪[58,1) C.(0,58] D.(0,18]∪[14,58]
284














1.D　y=tan x在( - π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数,故A错误;对于y=ksin x+1,x∈R,因为k的正负不确定,所以y的最大值不确定,故B错误;图象左右平移是针对x本身而言的,如果系数不是1,需要先提取系数再求解,明显C是错误的.选D.
2.AD　将函数y=sin x的图象向左平移π2个单位长度,得到函数y=f (x)=sin(x+π2)=cos x的图象,所以y=f (x)是偶函数,A正确;y=f (x)的最小正周期T=2π1=2π,B错误;y=f (x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,关于点(kπ+π2,0)(k∈Z)对称,C错误,D正确.故选AD.
3.A　依题意得函数f (x)的最小正周期T=2πω=2×(3π4 - π4)=π,解得ω=2,故选A.
4.A　对于A,作出y=|cos 2x|的图象如图D 4 - 3 - 1所示,由图象知,其周期为π2,在区间(π4,π2)上单调递增,A正确;

图D 4 - 3 - 1

对于B,作出y=|sin 2x|的图象如图D 4 - 3 - 2所示,由图象知,其周期为π2,在区间(π4,π2)上单调递减,B错误;

图D 4 - 3 - 2
对于C,y=cos|x|=cos x,周期为2π,C错误;
对于D,作出y=sin|x|的图象如图D 4 - 3 - 3所示,由图象知,其不是周期函数,D错误.

图D 4 - 3 - 3
故选A.
5.A　记y=sin(ωx+φ)的最小正周期为T,由题图可知T2=11π12 - 5π12=π2,得T=π,由T=2πω=π,得ω=2,所以y=sin(2x+φ).由函数图象过点(5π12,1),得2×5π12+φ=2kπ+π2(k∈Z),则φ=2kπ - π3(k∈Z),又|φ|<π2,所以φ= - π3,故选A.
6.C　因为f (x)为奇函数,所以f (0)=Asin φ=0,所以φ=kπ,k∈Z.
又|φ|<π,所以k=0,φ=0.
易知g(x)=Asin12ωx,所以g(x)的最小正周期T=2π12ω=2π,所以ω=2,所以g(x)=Asin x.
又g(π4)=2,所以A=2,所以f (x)=2sin 2x,所以f (3π8)=2.故选C.
7.π2　∵f (x)=sin22x=1-cos4x2,∴f (x)的最小正周期T=2π4=π2.
8.23　由于对任意的实数x都有f (x)≤f (π4)成立,故当x=π4时,函数f (x)有最大值,故f (π4)=1,∴πω4 - π6=2kπ(k∈Z),∴ω=8k+23(k∈Z),又ω>0,∴ωmin=23.

1.D　将函数f (x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π12个单位长度,得到g(x)=sin(2x+π6+φ)的图象,
因为g(x)是偶函数,所以π6+φ=π2+kπ,k∈Z,又φ∈(0,π),所以φ=π3,所以tan(φ - π6)=tan π6=33,故选D.
2.A　将函数f (x)=12sin(2x+π3)图象上的每一个点都向左平移π3个单位长度,
得到函数g(x)=12sin[2(x+π3)+π3]=12sin(2x+π)= - 12sin 2x的图象,令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ(k∈Z),可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ(k∈Z),因此函数g(x)的单调递增区间为[kπ+π4,kπ+3π4](k∈Z),故选A.
3.(1)1　f (x)=sin2x+3cos x - 34= - cos2x+3cos x+14= - (cos x - 32)2+1.
因为x∈[0,π2],所以cos x∈[0,1],因此当cos x=32时,f (x)max=1.
(2) - 332　解法一　因为f (x)=2sin x+sin 2x,
所以f ' (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x - 2=4(cos x - 12)·(cos x+1).
由f ' (x)≥0得12≤cos x≤1,即2kπ - π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,
由f ' (x)≤0得 - 1≤cos x≤12,即2kπ - 5π3≤x≤2kπ - π3,k∈Z,
所以当x=2kπ - π3,k∈Z时,f (x)取得最小值,
且f (x)min=f (2kπ - π3)=2sin(2kπ - π3)+sin 2(2kπ - π3)= - 332.
解法二　因为f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=4sinx2·cosx2·2cos2x2=8sinx2cos3x2=±833sin2x2cos6x2,
所以[f (x)]2=643×3sin2x2cos6x2≤643×(3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x24)4=274,
当且仅当3sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14时取等号,
所以0≤[f (x)]2≤274,所以 - 332≤f (x)≤332,
所以f (x)的最小值为 - 332.
解法三　因为f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
所以[f (x)]2=4sin2x(1+cos x)2=4(1 - cos x)(1+cos x)3,
设cos x=t,则y=4(1 - t)(1+t)3( - 1≤t≤1),
所以y' =4[ - (1+t)3+3(1 - t)(1+t)2]=4(1+t)2(2 - 4t),
所以当 - 10;当12 所以函数y=4(1 - t)(1+t)3( - 1≤t≤1)在( - 1,12)上单调递增,在(12,1)上单调递减,
所以当t=12时,ymax=274;当t=±1时,ymin=0.
所以0≤y≤274,即0≤[f (x)]2≤274,所以 - 332≤f (x)≤332,
所以f (x)的最小值为 - 332.
解法四　因为f (x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),
所以[f (x)]2=4sin2x(1+cos x)2=4(1 - cos x)(1+cos x)3≤43·[3(1-cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)+(1+cosx)4]4=274,
当且仅当3(1 - cos x)=1+cos x,即cos x=12时取等号.
所以0≤[f (x)]2≤274,所以 - 332≤f (x)≤332,
所以f (x)的最小值为 - 332.
4.C　因为f ( - x)=sin| - x|+|sin( - x)|=sin|x|+|sin x|=f (x),所以f (x)为偶函数,故①正确;当x∈(π2,π)时,f (x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,所以f (x)在区间(π2,π)上单调递减,故②错误;当x∈(0,π)时,f (x)=2sin x,结合函数f (x)为偶函数可画出f (x)在[ - π,π]上的大致图象(如图D 4 - 3 - 4所示),

图D 4 - 3 - 4
由图可知f (x)在[ - π,π]上有3个零点,故③错误;因为y=sin|x|与y=|sin x|的最大值都为1且可以同时取到,所以f (x)的最大值为2,故④正确.故选C.
5.6 000　三角函数模型为y=f (x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2),
可作出函数简图如图D 4 - 3 - 5所示.

由题意知,A=2 000,B=7 000,T=2×(9 - 3)=12,
∴ω=2πT=π6.
则f (x)=2 000sin(π6x+φ)+7 000,
则有π6×3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<π2,∴φ=0,
故f (x)=2 000sinπ6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*),
∴f (7)=2 000×sin7π6+7 000=6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元.
6.D　由题意知,函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤π2),其图象与直线y= - 1相邻两个交点的距离为π,故函数的最小正周期为T=2πω=π,解得ω=2.
所以f (x)=2sin(2x+φ)+1.
由题意,f (x)>1对任意的x∈( - π12,π3)恒成立,即当x∈( - π12,π3)时,sin(2x+φ)>0恒成立.
令t=2x+φ,因为x∈( - π12,π3),所以t∈(φ - π6,φ+2π3).
故要使sin t>0恒成立,只需φ-π6≥2kπ,φ+2π3≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ+π6≤φ≤2kπ+π3(k∈Z).
显然,当k=0时,π6≤φ≤π3,故选D.
7.D　f (x)=12(1 - cos ωx)+12sin ωx - 12=12sin ωx - 12cos ωx=22sin(ωx - π4).
当ω=12时, f (x)=22sin(12x - π4),x∈(π,2π)时,f (x)∈(12,22],无零点,排除A,B;
当ω=316时,f (x)=22sin(316x - π4),x∈(π,2π)时,当x=43π时,f (x)=0,所以f (x)有零点,排除C.选D.