数学人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质随堂练习题

A级　基础巩固

一，选择题

1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　C　)

A．有1个　　　　　　　 B．有2个

C．有无数个  D．不存在

[解析]　经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．

2．已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列表述：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．

其中表述正确的个数是(　B　)

A．1　　　　 B．2　　　　

C．3　　　　 D．4

[解析]　①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．

3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　C　)

A．60°  B．30°

C．45°  D．15°

[解析]　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，

∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．

4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(　C　)

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

[解析]　可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．

5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(　B　)

A．AC  B．BD

C．A1D1  D．A1A

[解析]　在正方体中，AA1⊥平面ABCD，

∴AA1⊥BD．

又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，

∴BD⊥平面AA1C1C．

∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，

∴CE⊂平面AA1C1C，

∴BD⊥CE．

二，填空题

6．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.

[解析]　∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，

∴PA⊥平面PBC，

∵PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，

∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证：平面PAB⊥平面PAC．

7．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则∠SCB＝__90°__.

[解析]　因为AC⊥平面SBC，SC，BC⊂平面SBC，

∴AC⊥SC，AC⊥BC，又BC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°．

三，解答题

8．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.

(1)求证：DE＝DA；

(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；

[解析]　(1)取EC的中点F，连接DF．

∵CE⊥平面ABC，

∴CE⊥BC．易知DF∥BC，∴CE⊥DF．

∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中

EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，

∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE＝DA．

(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN与CF平行且相等．

∵BD与CF平行且相等，∴MN与BD平行且相等，

∴N∈平面BDM．

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．

又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA．

又∵BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA．

9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(3)求二面角P－AC－D的正切值．

[解析]　(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，

∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．

同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD．

(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB．

同时，AC⊂平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

(3)设AC∩BD＝O，连接PO．

由PA＝PC，知PO⊥AC．

又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝a．

在Rt△PDO中，tan∠POD＝＝＝．

B级　素养提升

一，选择题

1．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列结论，正确的有(　C　)

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．

A．①②  B．②③

C．①④  D．③④

[解析]　①由平行的传递性知正确；②a⊥b，b⊥c，则a，c可能相交，平行，异面，故②错误；③a∥γ，b∥γ，则a，b可能相交，平行，异面，故③错误；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b正确．

2．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个结论中正确的是(　D　)

A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β

B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

C．若m⊥n，m⊥β，则n∥β

D．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β

[解析]　A中，m⊥n可得α与β相交，故A错；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n⊂α，故B错；C中，m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故C错；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β，故D正确．

3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为(　D　)

A．30°  B．60°

C．30°或150°  D．60°或120°

[解析]　如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，

∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，

设平面ABC∩l＝D，

则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，

∵AB＝6，BC＝3，

∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，

∴二面角大小为60°或120°．

4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　A　)

A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面

C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面

[解析]　由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．

二，填空题

5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为__60°__.

[解析]　取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝＝1，

同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°．

6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD．底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD．(注：只要填写一个你认为正确的即可)

[解析]　∵四边形ABCD的边长相等，

∴四边形为菱形．∵AC⊥BD，

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．

若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线．

∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．

∴平面PCD⊥平面BDM．

C级　能力拔高

1．如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．

[解析]　(1)如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以AE⊥BB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，

所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，而AE⊂平面AEF，

所以平面AEF⊥平面B1BCC1．

(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝AB＝，

在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，

所以FC＝AA1＝，

故三棱锥F－AEC的体积V＝S×FC＝××＝．

2．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.连接BD，AC交于E.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)连接PE，求∠PEA的大小．

[解析]　(1)连接BD，AC交于E，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD．

∴BD⊥PA．

又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝．

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC．

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．

(2)∵BD⊥平面PAC．

∴BD⊥PE，BD⊥AE，

在Rt△AEB中，AE＝AB·sin∠ABD＝，

∴tan∠AEP＝＝，∴∠AEP＝60°．