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全国通用理科数学【一轮复习】25《 统计、统计案例与概率》 A卷
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这是一份全国通用理科数学【一轮复习】25《 统计、统计案例与概率》 A卷，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第13单元 统计、统计案例与概率
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、标识“再来一瓶”以及标识“品牌纪念币一枚”，每箱中印有标识的饮料数量之比为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ）
A．39人 B．49人 C．59人 D．超过59人
3．某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为从中抽取个样本，如下提供随机数表的第行到第行：
若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号（ ）
A． B． C． D．
4．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．
其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）
A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1．5倍
C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲型号手机在外观方面比较好 B．甲、乙两型号的系统评分相同
C．甲型号手机在性能方面比较好 D．乙型号手机在拍照方面比较好
8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量（万件）
单位成本（元/件）
若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）
A． B．
C． D．
10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
根据表中数据，得到的观测值，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ）
A． B． C． D．
11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．函数，在其定义域内任取一点，使的概率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某公司对年月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
月份
利润/万元
利用线性回归分析思想，预测出年月份的利润为万元，则关于的线性回归方程为__________．
14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．
参考公式：
15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．
16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：
（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．
①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；
年龄
人数
②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率．
18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：
分组
频数
9
23
40
22
6
规定：实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
（1）求，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；
（2）现在从实心球投掷距离在，之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率．
19．（12分）已知某商品每件的生产成本（元）与销售价格（元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：
（元）
5
6
7
8
（元）
15
17
21
27
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）若该商品的月销售量（千件）与生产成本（元）的关系为，，
根据（1）中求出的线性回归方程，预测当为何值时，该商品的月销售额最大．
附：，．
20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，
学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；
（2）求50名学员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”、
“非常满意”两个等级．
①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?
②根据茎叶图填写下面的列联表：
并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?
附：，．
21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．
（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足在上的投影大于的概率；
（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求大于等于的概率．
22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程
①
②
30407
14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
②刻画回归效果的相关指数．
③参考数据：，．
5．5
449
6．05
83
4195
9．00
表中．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第13单元 统计、统计案例与概率 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即．
2．【答案】A
【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，，，，…，每组抽取的人数，理论上应均等；
又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，，，四组中各有两个，
因此该班学生总数应为40左右，故选A．
3．【答案】D
【解析】第行第列的数开始的数为，不合适，，不合适，，，，不合适，不合适，，重复不合适，合适，
则满足条件的个编号为，，，，，，
则第个编号为，故选D．
4．【答案】B
【解析】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：
年份
A
B
C
D
E
2016
2018
由图可知A，C，D选项错误，B选项正确，故本小题选B．
5．【答案】A
【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，
故．故选A．
6．【答案】A
【解析】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为，
，本题正确选项A．
7．【答案】C
【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，
故A正确；
甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B正确；
甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C错误；
甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D正确；
故选C．
8．【答案】B
【解析】，，
在线性回归方程上，，
则，解得，故选B．
9．【答案】D
【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D．
10．【答案】B
【解析】由观测值，对照临界值得4．8443．841，
由于P（X2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B．
11．【答案】C
【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，
其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，
概率是，故选C．
12．【答案】C
【解析】由题意，知，即，解得，
所以由长度的几何概型可得概率为，故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】设线性回归方程为，因为，，
由题意可得，解得，，即，故答案为．
14．【答案】5%
【解析】由题意，计算观测值，
参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．
故答案为5%．
15．【答案】
【解析】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．
而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，
∴直线不过第三象限的概率，故答案为．
16．【答案】
【解析】如图，正方形面积，
因为，故，所以，
同理，所以，
又，∴．
∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为．
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）平均数60，中位数；（2）①详见解析，②．
【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数
．
设中位数为，由，解得（或答55．57）．
（2）①每组应各抽取人数如下表：
年龄
抽取人数
1
2
3
7
4
3
②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是，在第二组的是，，在第三组的是，，，列举选出2人的所有可能如下：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况．
设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，
则．
18．【答案】（1）平均值，百分比；（2）．
【解析】（1）根据平均值的定义得，
因为实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，所以．
（2）实心球投掷距离在，之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．
从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在的总数为，
所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率为．
19．【答案】（1）；（2）预计当时，该商品的销售额最大为162元．
【解析】（1）根据题意，，，，，
所以，所以，
所以关于的线性回归方程．
（2）依题意，销售额．
其对称轴为，
又因为为开口向下的抛物线，故当时最大，
最大值．
答：预计当时，该商品的销售额最大为162元．
20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①人，②有把握．
【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：
①由茎叶图可知：在线上培训中，有的学员满意度评分至多分，在线下培训中，有的学员评分至少分．因此学员对线下培训满意度更高．
②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为分，线下评分的中位数为分．因此学员对线下培训满意度更高．
③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于分；线下培训的平均分低于分，因此学员对线下培训满意度更高．
④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知．
①参加线上培训满意度调查的名学员中共有名对线上培训非常满意，频率为，
又本次培训共名学员，所以对线上培训满意的学员约为人．
②列联表如下：
基本满意
非常满意
线上培训
线下培训
于是，
因为，所以有的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），在上的投影为
，
当P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，在上的投影大于，
在上的投影大于的概率．
（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于，
选出的两个点不相邻有9种，（A，C），(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，
(D，F)，(C，F)；
六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，
(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)；
．
22．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）对取对数，得，
设，，先建立关于的线性回归方程，
，，，
模型②的回归方程为．
（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，
即，，
模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．
2021年时，，预测旅游人数为（万人）．
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第13单元 统计、统计案例与概率
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、标识“再来一瓶”以及标识“品牌纪念币一枚”，每箱中印有标识的饮料数量之比为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ）
A．39人 B．49人 C．59人 D．超过59人
3．某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为从中抽取个样本，如下提供随机数表的第行到第行：
若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号（ ）
A． B． C． D．
4．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．
其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ）
A．获得A等级的人数减少了 B．获得B等级的人数增加了1．5倍
C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A． B． C． D．
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲型号手机在外观方面比较好 B．甲、乙两型号的系统评分相同
C．甲型号手机在性能方面比较好 D．乙型号手机在拍照方面比较好
8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：
产量（万件）
单位成本（元/件）
若根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
9．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（ ）
A． B．
C． D．
10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
根据表中数据，得到的观测值，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（ ）
A． B． C． D．
11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．函数，在其定义域内任取一点，使的概率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．某公司对年月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
月份
利润/万元
利用线性回归分析思想，预测出年月份的利润为万元，则关于的线性回归方程为__________．
14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：
参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．
参考公式：
15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．
16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：
（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数和中位数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．
①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；
年龄
人数
②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在的概率．
18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：
分组
频数
9
23
40
22
6
规定：实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
（1）求，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；
（2）现在从实心球投掷距离在，之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率．
19．（12分）已知某商品每件的生产成本（元）与销售价格（元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：
（元）
5
6
7
8
（元）
15
17
21
27
（1）求出关于的线性回归方程；
（2）若该商品的月销售量（千件）与生产成本（元）的关系为，，
根据（1）中求出的线性回归方程，预测当为何值时，该商品的月销售额最大．
附：，．
20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，
学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；
（2）求50名学员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”、
“非常满意”两个等级．
①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?
②根据茎叶图填写下面的列联表：
并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?
附：，．
21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．
（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足在上的投影大于的概率；
（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求大于等于的概率．
22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：
第年
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
旅游人数（万人）
300
283
321
345
372
435
486
527
622
800
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（精确到个位，精确到0．01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程
①
②
30407
14607
参考公式、参考数据及说明：
①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．
②刻画回归效果的相关指数．
③参考数据：，．
5．5
449
6．05
83
4195
9．00
表中．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）
第13单元 统计、统计案例与概率 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即．
2．【答案】A
【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以，，，，…，每组抽取的人数，理论上应均等；
又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，，，四组中各有两个，
因此该班学生总数应为40左右，故选A．
3．【答案】D
【解析】第行第列的数开始的数为，不合适，，不合适，，，，不合适，不合适，，重复不合适，合适，
则满足条件的个编号为，，，，，，
则第个编号为，故选D．
4．【答案】B
【解析】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：
年份
A
B
C
D
E
2016
2018
由图可知A，C，D选项错误，B选项正确，故本小题选B．
5．【答案】A
【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，
故．故选A．
6．【答案】A
【解析】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为，
，本题正确选项A．
7．【答案】C
【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，
故A正确；
甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B正确；
甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C错误；
甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D正确；
故选C．
8．【答案】B
【解析】，，
在线性回归方程上，，
则，解得，故选B．
9．【答案】D
【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D．
10．【答案】B
【解析】由观测值，对照临界值得4．8443．841，
由于P（X2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B．
11．【答案】C
【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，
其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，
概率是，故选C．
12．【答案】C
【解析】由题意，知，即，解得，
所以由长度的几何概型可得概率为，故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】设线性回归方程为，因为，，
由题意可得，解得，，即，故答案为．
14．【答案】5%
【解析】由题意，计算观测值，
参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．
故答案为5%．
15．【答案】
【解析】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．
而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，
∴直线不过第三象限的概率，故答案为．
16．【答案】
【解析】如图，正方形面积，
因为，故，所以，
同理，所以，
又，∴．
∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为．
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）平均数60，中位数；（2）①详见解析，②．
【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数
．
设中位数为，由，解得（或答55．57）．
（2）①每组应各抽取人数如下表：
年龄
抽取人数
1
2
3
7
4
3
②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是，在第二组的是，，在第三组的是，，，列举选出2人的所有可能如下：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况．
设“这2人至少有一人的年龄在区间”为事件，
则．
18．【答案】（1）平均值，百分比；（2）．
【解析】（1）根据平均值的定义得，
因为实心球投掷距离在之内时，测试成绩为“良好”，所以．
（2）实心球投掷距离在，之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．
从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在的总数为，
所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率为．
19．【答案】（1）；（2）预计当时，该商品的销售额最大为162元．
【解析】（1）根据题意，，，，，
所以，所以，
所以关于的线性回归方程．
（2）依题意，销售额．
其对称轴为，
又因为为开口向下的抛物线，故当时最大，
最大值．
答：预计当时，该商品的销售额最大为162元．
20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①人，②有把握．
【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：
①由茎叶图可知：在线上培训中，有的学员满意度评分至多分，在线下培训中，有的学员评分至少分．因此学员对线下培训满意度更高．
②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为分，线下评分的中位数为分．因此学员对线下培训满意度更高．
③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于分；线下培训的平均分低于分，因此学员对线下培训满意度更高．
④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图知．
①参加线上培训满意度调查的名学员中共有名对线上培训非常满意，频率为，
又本次培训共名学员，所以对线上培训满意的学员约为人．
②列联表如下：
基本满意
非常满意
线上培训
线下培训
于是，
因为，所以有的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），在上的投影为
，
当P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，在上的投影大于，
在上的投影大于的概率．
（2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于，
选出的两个点不相邻有9种，（A，C），(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，
(D，F)，(C，F)；
六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，
(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)；
．
22．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）对取对数，得，
设，，先建立关于的线性回归方程，
，，，
模型②的回归方程为．
（2）由表格中的数据，有30407>14607，即，
即，，
模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．
2021年时，，预测旅游人数为（万人）．
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