2021年高考数学一轮复习《参数与极坐标》精选练习（含答案）

这是一份2021年高考数学一轮复习《参数与极坐标》精选练习（含答案），共11页。
在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0，其中0≤α＜π).
在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2eq \r(3)csθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，
在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为
eq \f(\r(2),2)ρcs(θ+eq \f(π,4))=－1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值.
在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1.))(t为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33=0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值.
已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为：
ρ=2eq \r(2)cs (θ－eq \f(π,4))，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，
直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2=1，曲线C2的参数方程为：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)射线y=eq \f(\r(3),3)x(x≥0)与C1异于原点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|.
已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋tcsα，,y＝1＋tsinα))(t为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcsθ＋2.
(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
(2)若α=eq \f(π,4)，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标.
已知曲线C的参数方程为 (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，
(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
(2)若直线l的极坐标方程为，求曲线C上的点到直线l的最大距离．
在平面角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D.
（1）求曲线D的参数方程；
（2）已知P为曲线D上的动点，A,B两点的极坐标分别为，求的最大值.
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设点P(-1,0) ，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．
在直角坐标系中，过点P(1,1)的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A,B两点，求的最小值．
在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0).
（1）若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；
（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值。
\s 0 答案解析
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y=0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x=0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α).
所以|AB|=|2sin α－2eq \r(3)cs α|=4|sin(α-eq \f(π,3))|.
当α=eq \f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))消去参数t，得
(x＋5)2＋(y－3)2=2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2=2.
由eq \f(\r(2),2)ρcs(θ+eq \f(π,4))=－1，得ρcs θ－ρsin θ=－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2=0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，
化为极坐标为A(2，π)，B(2,eq \f(π,2))，
设P点的坐标为(－5＋eq \r(2)cs t,3＋eq \r(2)sin t)，则P点到直线l的距离d=eq \f(|－5＋\r(2)cs t－3－\r(2)sin t＋2|,\r(2))=eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－6＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4)))))),\r(2))，
所以dmin=eq \f(4,\r(2))=2eq \r(2)，又|AB|=2eq \r(2)，
所以△PAB面积的最小值为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)=4.
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1，))可得其普通方程为y=k(x－1)，
它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线.
由ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33=0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33=0，
整理得(x＋5)2＋(y－3)2=1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆.
(2)因为圆心(－5,3)到直线y=k(x－1)的距离d=eq \f(|－6k－3|,\r(1＋k2))=eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))，
故|PQ|的最小值为eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1，
故eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1=2，得3k2＋4k=0，解得k=0或k=－eq \f(4,3).
解：(1)ρ=2eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))=2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2=2(ρcs θ＋ρsin θ)，
可得x2＋y2－2x－2y=0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2=2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2=0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，
以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d=eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))=eq \f(3＋\r(3),2)，
所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2 \r(2),2).
解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)=1.
当csα≠0时，l的直角坐标方程为
y=tanα·x＋2－tanα，
当csα=0时，l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2csα＋sinα)t－8=0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，
设为t1，t2，则t1＋t2=0.
又由①得t1＋t2=－eq \f(42csα＋sinα,1＋3cs2α)，
故2csα＋sinα=0，于是直线l的斜率k=tanα=－2.
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入曲线C1的方程：(x－1)2＋y2=1，
可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2csθ，
曲线C2的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2=1，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ))代入，
得到C2的极坐标方程为ρ2(1＋sin2θ)=2.
(2)射线的极坐标方程为θ=eq \f(π,6)(ρ≥0)，与曲线C1的交点的极径为ρ1=2cseq \f(π,6)=eq \r(3)，
射线θ=eq \f(π,6)(ρ≥0)与曲线C2的交点的极径满足ρeq \\al(2,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋sin2\f(π,6)))=2，
解得ρ2=eq \f(2\r(10),5)，所以|AB|=|ρ1－ρ2|=eq \r(3)－eq \f(2\r(10),5).
解：(1)直线l经过定点(－1,1)，
由ρ=ρcsθ＋2得ρ2=(ρcsθ＋2)2，
得曲线C的普通方程为x2＋y2=(x＋2)2，化简得y2=4x＋4.
(2)若α=eq \f(π,4)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))的普通方程为y=x＋2，
则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcsθ＋2，
联立曲线C：ρ=ρcsθ＋2.
因为ρ≠0得sinθ=1，取θ=eq \f(π,2)，得ρ=2，
所以直线l与曲线C的交点为（2，eq \f(π,2)）.
解：
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