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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.6 双曲线
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：8.6 双曲线，共11页。
8.6 双曲线
必备知识预案自诊
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;
(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;
(3)若a c,则点M不存在.
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图 形
续 表
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴: ,对称中心:
顶点
A1 ,A2
A1 ,A2
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
a,b,c
的关系
c2=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
2.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.
4.双曲线中点弦的斜率公式
设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.
5.双曲线的焦半径公式
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.( )
(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=λ(λ≠0).( )
(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2-y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.( )
2.“m>0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为( )
A.x212-y2=1 B.x29-y23=1
C.x2-y23=1 D.x223-y232=1
4.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=( )
A.6 B.4
C.2 D.12
5.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 .
关键能力学案突破
考点
双曲线的定义
【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,则双曲线C的虚轴长为 .
(2)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且|AP|=4,则a的值为 .
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C:x2a2-y29=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在双曲线C上,且|MF2|=6,则|MF1|=( )
A.2或14 B.2
C.14 D.2或10
(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则△BF1F2的面积为 .
考点
双曲线的标准方程
【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x22-y214=1(x≥2) B.x22-y214=1(x≤-2)
C.x22+y214=1(x≥2) D.x22+y214=1(x≤-2)
(2)在平面直角坐标系中,经过点P(22,-2),渐近线方程为y=±2x的双曲线的标准方程为( )
A.x24-y22=1 B.x27-y214=1
C.x23-y26=1 D.y214-x27=1
(3)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)·F1A=0,则双曲线的标准方程可能为( )
A.x24-y23=1 B.x23-y24=1
C.x216-y29=1 D.x29-y216=1
解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板
2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
(1)与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2m+y2n=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).
对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=32x的垂线,垂足为M,若S△OMF=43(O为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )
A.x24-y23=1 B.x28-y26=1
C.x216-y212=1 D.x232-y224=1
(2)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与双曲线C的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C的右焦点F为圆心,4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x27-y29=1
C.x28-y28=1 D.x212-y24=1
(3)经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为 .
考点
双曲线的几何性质(多考向探究)
考向1 求双曲线的渐近线方程
【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±12x
解题心得求双曲线的渐近线方程的方法
依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±2x
考向2 求双曲线的离心率
【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F为双曲线C的右焦点,A为双曲线C的右顶点,过点F作x轴的垂线,交双曲线C于M,N两点.若tan∠MAN=-34,则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.2 C.43 D.2
解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.
对点训练4(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3
C.2 D.5
考向3 与双曲线有关的取值范围问题
【例5】已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点,若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )
A.-33,33 B.-36,36
C.-223,223 D.-233,233
解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.
(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决.
对点训练5已知焦点在x轴上的双曲线x28-m+y24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .
考点
双曲线与圆的综合问题
【例6】已知点P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±43x B.y=±34x
C.y=±35x D.y=±53x
对点训练6过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±22x
8.6 双曲线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)>
3.坐标轴 原点 (-a,0) (a,0) (0,-a)
(0,a) a2+b2 2a 2b
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.A 由“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,
又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.
3.C 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3.
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.
4.D ∵双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+b2,∴a2+1a=5,解得a=12.故选D.
5.53 由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=1+b2a2=1+169=53.
关键能力·学案突破
例1(1)22 (2)2 (1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,所以S△AF1F2=23,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.
又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.
(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.
对点训练1(1)C (2)92 (1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6
|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,
所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.
例2(1)A (2)B (3)D (1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=22<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为22的双曲线的右支上,所以a=2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214=1(x≥2).
(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,所以可设所求双曲线的方程为2x2-y2=k(k≠0).又点P(22,-2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为x27-y214=1.故选B.
(3)由(F2F1+F2A)·F1A=0,可知(F2F1+F2A)·(F2A-F2F1)=0,即|F2A|2-|F2F1|2=0,所以|F2A|=|F1F2|=2c.
又AF2的斜率为247,所以cos∠AF2F1=-725.在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a,即ca=53,所以a∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.
对点训练2(1)C (2)A (3)y225-x275=1
(1)由题意易得|FM|=b,又|OF|=c,FM⊥OM,所以|OM|=|OF|2-|FM|2=a.
联立ba=32,12ab=43,解得a=4,b=23,
所以双曲线的标准方程为x216-y212=1.故选C.
(2)不妨设渐近线y=bax与直线x=a交于点A,则点A(a,b).
依题意,c=4,(4-a)2+b2=4,a2+b2=c2=16,解得a2=4,b2=12,故双曲线的标准方程为x24-y212=1.
(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P(3,27),Q(-62,7),
所以9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125.
故所求双曲线的方程为y225-x275=1.
例3B 不妨设点A,B在直线y=bax上,点F(c,0),则设点Ax0,bax0,B-x0,-bax0.因为以AB为直径的圆过点F,所以AF⊥BF,所以AF·BF=c2-x02-b2a2x02=c2-c2a2x02=0,所以x0=±a.所以S△ABF=12·c·2bax0=bc=8.
由x2+y2=c2,x2a2-y2b2=1,得y=±b2c,
则|MN|=2b2c=2,即b2=c.
所以b=2,c=4,所以a=c2-b2=23.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x.故选B.
对点训练3A 由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12,即x2a22-y2b22=1的焦点相同,可得a2-b2=a22+b22,
即a2=3b2,所以ba=33.所以双曲线的渐近线方程为y=±33x.故选A.
例4B 由题意可知tan∠MAN=2tan∠MAF1-tan2∠MAF=-34,解得tan∠MAF=3.
令x=c,则y=±b2a,
可得tan∠MAF=b2ac-a=c2-a2ac-a=c+aa=3,则e=ca=2.故选B.
对点训练4
A 如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
∴|PA|=c2.
∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=c2.
∴Pc2,c2.
又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=c2a2=2,∴e=2.故选A.
例5A 因为点F1(-3,0),F2(3,0),x022-y02=1,所以MF1·MF2=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=x02+y02-3<0,即3y02-1<0,解得-33
由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc=(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.
对点训练6A 如图,连接OA,OB.
设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).
由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.
因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.
因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,
所以b=c2-a2=(2a)2-a2=3a.
所以双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x.
8.6 双曲线
必备知识预案自诊
知识梳理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 .
集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.
(1)若a c,则点M的轨迹是双曲线;
(2)若a c,则点M的轨迹是两条射线;
(3)若a c,则点M不存在.
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
3.双曲线的性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图 形
续 表
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴: ,对称中心:
顶点
A1 ,A2
A1 ,A2
渐近线
y=±bax
y=±abx
离心率
e=ca,e∈(1,+∞)
a,b,c
的关系
c2=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
1.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
2.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)为双曲线上任意一点,且不与点F1,F2共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为b2tanθ2.
3.若点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内,则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.
4.双曲线中点弦的斜率公式
设点M(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的弦AB(不平行y轴)的中点,则kAB·kOM=b2a2,即kAB=b2x0a2y0.
5.双曲线的焦半径公式
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),当点M(x0,y0)在双曲线右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a;当点M(x0,y0)在双曲线左支上时,|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.
6.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
7.双曲线的同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴所在直线的弦),其长为2b2a;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)双曲线x2m2-y2n2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2m2-y2n2=0,即xm±yn=0.( )
(3)关于x,y的方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(4)与双曲线x2m-y2n=1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2m-y2n=λ(λ≠0).( )
(5)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2-y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1.( )
2.“m>0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C的标准方程为( )
A.x212-y2=1 B.x29-y23=1
C.x2-y23=1 D.x223-y232=1
4.(2019北京,5)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=( )
A.6 B.4
C.2 D.12
5.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 .
关键能力学案突破
考点
双曲线的定义
【例1】(1)已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,则双曲线C的虚轴长为 .
(2)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且|AP|=4,则a的值为 .
解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系.
对点训练1(1)(2020河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C:x2a2-y29=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在双曲线C上,且|MF2|=6,则|MF1|=( )
A.2或14 B.2
C.14 D.2或10
(2)(2020河北廊坊省级示范学校联考)设F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则△BF1F2的面积为 .
考点
双曲线的标准方程
【例2】(1)已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.x22-y214=1(x≥2) B.x22-y214=1(x≤-2)
C.x22+y214=1(x≥2) D.x22+y214=1(x≤-2)
(2)在平面直角坐标系中,经过点P(22,-2),渐近线方程为y=±2x的双曲线的标准方程为( )
A.x24-y22=1 B.x27-y214=1
C.x23-y26=1 D.y214-x27=1
(3)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(F2F1+F2A)·F1A=0,则双曲线的标准方程可能为( )
A.x24-y23=1 B.x23-y24=1
C.x216-y29=1 D.x29-y216=1
解题心得1.求双曲线标准方程的答题模板
2.利用待定系数法求双曲线方程的常用方法
(1)与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(2)若双曲线的渐近线方程为y=±bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0);
(3)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2m+y2n=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).
对点训练2(1)(2020河南安阳模拟)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=32x的垂线,垂足为M,若S△OMF=43(O为坐标原点),则双曲线的标准方程为( )
A.x24-y23=1 B.x28-y26=1
C.x216-y212=1 D.x232-y224=1
(2)过双曲线C:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与双曲线C的一条渐近线相交于点A.若以双曲线C的右焦点F为圆心,4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x27-y29=1
C.x28-y28=1 D.x212-y24=1
(3)经过点P(3,27),Q(-62,7)的双曲线的标准方程为 .
考点
双曲线的几何性质(多考向探究)
考向1 求双曲线的渐近线方程
【例3】(2020福建厦门一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,点A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过点F且交双曲线C的左支于M,N两点,若|MN|=2,△ABF的面积为8,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±12x
解题心得求双曲线的渐近线方程的方法
依据题设条件,求出双曲线方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
对点训练3(2020山东德州高三第二次模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12的焦点相同,则双曲线渐近线方程为( )
A.y=±33x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±2x
考向2 求双曲线的离心率
【例4】(2020广东汕尾一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F为双曲线C的右焦点,A为双曲线C的右顶点,过点F作x轴的垂线,交双曲线C于M,N两点.若tan∠MAN=-34,则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.2 C.43 D.2
解题心得求双曲线离心率的值或取值范围的方法
(1)求a,b,c的值,由e=ca=1+b2a2直接求出e.
(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后转化为关于e的方程(或不等式)求解.
对点训练4(2019全国2,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3
C.2 D.5
考向3 与双曲线有关的取值范围问题
【例5】已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是双曲线C的两个焦点,若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )
A.-33,33 B.-36,36
C.-223,223 D.-233,233
解题心得与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化为不等式求解.
(2)若条件中没有明显的不等关系,则要善于发现隐含的不等关系来解决.
对点训练5已知焦点在x轴上的双曲线x28-m+y24-m=1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 .
考点
双曲线与圆的综合问题
【例6】已知点P为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点,若|PF1|=|F1F2|,且直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±43x B.y=±34x
C.y=±35x D.y=±53x
对点训练6过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±33x
C.y=±2x D.y=±22x
8.6 双曲线
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)< (2)= (3)>
3.坐标轴 原点 (-a,0) (a,0) (0,-a)
(0,a) a2+b2 2a 2b
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.A 由“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”得m(m+2)>0,即m>0或m<-2,
又“m>0”是“m>0或m<-2”的充分不必要条件,故“m>0”是“方程x2m-y2m+2=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.
3.C 由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得2a2-3b2=1,ba=3,解得a=1,b=3.
故双曲线C的标准方程为x2-y23=1.
4.D ∵双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+b2,∴a2+1a=5,解得a=12.故选D.
5.53 由题意知直线y=-bax过点(3,-4),所以3ba=4,即ba=43,所以e=ca=1+b2a2=1+169=53.
关键能力·学案突破
例1(1)22 (2)2 (1)设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形,因为∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,所以S△AF1F2=23,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则4c2=r12+r22-2r1r2cosπ3,又|r1-r2|=2a,故r1r2=4b2.
又S△AF1F2=12r1r2sinπ3=23,所以b2=2,所以该双曲线的虚轴长为22.
(2)由题意知|BM|=|BN|,|PF2|=|NF2|,|AM|=|AP|=4.根据双曲线的定义,知|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|AM|+|AF1|-|NF2|=|AM|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.
对点训练1(1)C (2)92 (1)由题意知3a=34,故a=4,则c=5.由|MF2|=6
|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
所以|AF2|+|BF2|-|AB|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.
又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,
所以∠F2AB=90°,所以S△BF1F2=12|BF1||AF2|=12×3×3=92.
例2(1)A (2)B (3)D (1)设动圆M的半径为r,由题意可得|MC1|=r+2,|MC2|=r-2,|C1C2|=8,所以|MC1|-|MC2|=22<|C1C2|,所以由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为22的双曲线的右支上,所以a=2,c=4,所以b2=16-2=14,故动圆圆心M的轨迹方程为x22-y214=1(x≥2).
(2)因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,所以可设所求双曲线的方程为2x2-y2=k(k≠0).又点P(22,-2)在双曲线上,所以k=16-2=14,所以双曲线的方程为2x2-y2=14,所以双曲线的标准方程为x27-y214=1.故选B.
(3)由(F2F1+F2A)·F1A=0,可知(F2F1+F2A)·(F2A-F2F1)=0,即|F2A|2-|F2F1|2=0,所以|F2A|=|F1F2|=2c.
又AF2的斜率为247,所以cos∠AF2F1=-725.在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|=165c.由双曲线的定义得165c-2c=2a,即ca=53,所以a∶b=3∶4.所以此双曲线的标准方程可能为x29-y216=1.故选D.
对点训练2(1)C (2)A (3)y225-x275=1
(1)由题意易得|FM|=b,又|OF|=c,FM⊥OM,所以|OM|=|OF|2-|FM|2=a.
联立ba=32,12ab=43,解得a=4,b=23,
所以双曲线的标准方程为x216-y212=1.故选C.
(2)不妨设渐近线y=bax与直线x=a交于点A,则点A(a,b).
依题意,c=4,(4-a)2+b2=4,a2+b2=c2=16,解得a2=4,b2=12,故双曲线的标准方程为x24-y212=1.
(3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0).因为所求双曲线经过点P(3,27),Q(-62,7),
所以9m+28n=1,72m+49n=1,解得m=-175,n=125.
故所求双曲线的方程为y225-x275=1.
例3B 不妨设点A,B在直线y=bax上,点F(c,0),则设点Ax0,bax0,B-x0,-bax0.因为以AB为直径的圆过点F,所以AF⊥BF,所以AF·BF=c2-x02-b2a2x02=c2-c2a2x02=0,所以x0=±a.所以S△ABF=12·c·2bax0=bc=8.
由x2+y2=c2,x2a2-y2b2=1,得y=±b2c,
则|MN|=2b2c=2,即b2=c.
所以b=2,c=4,所以a=c2-b2=23.
所以双曲线C的渐近线方程为y=±33x.故选B.
对点训练3A 由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2a2-y2b2=12,即x2a22-y2b22=1的焦点相同,可得a2-b2=a22+b22,
即a2=3b2,所以ba=33.所以双曲线的渐近线方程为y=±33x.故选A.
例4B 由题意可知tan∠MAN=2tan∠MAF1-tan2∠MAF=-34,解得tan∠MAF=3.
令x=c,则y=±b2a,
可得tan∠MAF=b2ac-a=c2-a2ac-a=c+aa=3,则e=ca=2.故选B.
对点训练4
A 如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
∴|PA|=c2.
∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=c2.
∴Pc2,c2.
又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=c2a2=2,∴e=2.故选A.
例5A 因为点F1(-3,0),F2(3,0),x022-y02=1,所以MF1·MF2=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)=x02+y02-3<0,即3y02-1<0,解得-33
由已知得|PF1|=|F1F2|=2c.因为直线PF2与以双曲线C的实轴为直径的圆相切,设切点为M,所以|OM|=a,OM⊥PF2,所以|MF2|=c2-a2=b.由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=2a+2c,所以cos∠OF2M=bc=(2c)2+(2a+2c)2-(2c)22×2c×(2a+2c),整理得c=2b-a.又c2=a2+b2,解得ba=43.所以双曲线C的渐近线方程为y=±43x.故选A.
对点训练6A 如图,连接OA,OB.
设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c(c>0),则点C(-a,0),F(-c,0).
由双曲线和圆的对称性,可知点A与点B关于x轴对称,则∠ACO=∠BCO=12∠ACB=12×120°=60°.
因为|OA|=|OC|=a,所以△ACO为等边三角形,所以∠AOC=60°.
因为FA与圆O相切于点A,所以OA⊥FA.在Rt△AOF中,因为∠AOC=60°,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,
所以b=c2-a2=(2a)2-a2=3a.
所以双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x.
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