中考数学压轴题剖析与精炼（含解析）：08 二次函数的图象性质与应用问题试卷

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08 二次函数的图象性质与应用问题

【典例分析】
【考点1】二次函数的图象与性质
【例1】二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）

A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】
解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴，故A选项正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项正确；
当时，由图象知此时
即
∴，故C选项不正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
【变式1-1】
抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
【变式1-2】已知抛物线与轴有两个不同的交点.
(1)求的取值范围；
(2)若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】(1) 的取值范围是； (2). 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
【详解】
(1).
由题意，得，
∴
∴的取值范围是.
(2). 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，随的增大而增大.
∵，∴.
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
【考点2】抛物线的平移与解析式的确定
【例2-1】将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：，即抛物线的顶点坐标为，
把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，
所以平移后得到的抛物线解析式为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【例2-2】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【变式2-1】把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（　）
A．向左平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向上平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向下平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】
抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，
所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，
即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象．
故选：C．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【变式2-2】已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
【答案】．
【解析】
【分析】
设原来的抛物线解析式为：．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得，
故原来的抛物线解析式是：，
设平移后的抛物线解析式为：，
把代入，得，
解得(舍去)或，
所以平移后抛物线的解析式是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故选B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式2-4】将抛物线向左平移_______个单位后经过点．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【详解】
解：∵将抛物线向左平移后经过点，
∴设平移后解析式为：，
则，
解得：或（不合题意舍去），
故将抛物线向左平移3个单位后经过点．
故答案为：3．
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系
【例3】已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图象可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
【变式3-1】小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1 A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】
【分析】
把顶点坐标代入y=-x+1即可判断①；根据勾股定理即可判断②；根据在对称轴的右边y随x的增大而减小可判断③；；根据在对称轴的右边y随x的增大而增大可判断④.
【详解】
把（m，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故①正确；
当-(x-m)2-m+1=0时，x1=, x2=,
若顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形，
则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，即m2-m=0，
∴m=0或1时，∴存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确；
当x1 ∵-1<0, ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，即y1>y2，故③错误；
∵-1<0, ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴m≥2，故④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本体的关键. 对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为直线x=h.
【变式3-2】已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．

【答案】①③④．
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式，再根据对称性判断出②的正误；把 中即可判断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
【详解】
解：根据图象可得： ，
对称轴：


，
故①正确；
把 代入函数关系式
由抛物线的对称轴是直线，可得当
故②错误；


即： 故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于．
【考点4】二次函数的应用
【例4】某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【解析】
【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得，
解得：，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
【变式4-1】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
【变式4-3】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）


A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则
∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出得出，又梯形面积公式求出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.
【详解】
解：如图，过点C作CE⊥AB于E， 

则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，


∴梯形ABCD面积
∴当x=4时，S最大=24． 
即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24 m2；
故选C．
【点睛】
此题考查了梯性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键
【变式4-3】某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】（1）该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒；（2）当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题
（2）根据题意，可设种礼盒降价元/盒，则种礼盒的销售量为：（）盒，再列出关系式即可．
【详解】
解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，
则有，解得
故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．
（2）设A种湘莲礼盒降价元/盒，利润为元，依题意
总利润
化简得
∵
∴当时，取得最大值为1307，
故当种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【达标训练】
1．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
2．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】
解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；
故选．
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
3．二次函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵，
∴二次函数图像顶点坐标为：.
故答案为：A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
4．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
5．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
【答案】D
【解析】
【分析】
由点A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2< y3< y1；
【详解】
解答：解：∵经过A（m，n）、C（3−m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，
∴y2< y3< y1；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
6．已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图象可知：，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
7．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
①对称轴为，得；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得；
③当时，，当时，，得；
④由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，当时
【详解】
解：由图象可知，对称轴为，
，
，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
，
②正确；
当时，，
当时，，


③正确；
由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，
∴当时，



④错误；
故选：A．
【点睛】
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
8．已知的图象如图，则和的图象为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【详解】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
∴C是正确的．
故选C．
【点睛】
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
9．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
10．已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
采用赋值法，选取符合图形条件的未知数的值，再采用排除法即可确定答案.
【详解】
解答本题可采用赋值法. 取，可知A选项是可能的；取，可知B选项是可能的；取，可知C选项是可能的，那么根据排除法，可知D选项是不可能的.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
11．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
12．在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案.
【详解】
对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），
∵，所以有2个交点，故
对于函数
①，交点为，此时
②，交点为，此时
③，交点为，此时
综上所述，或
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论a，b.
13．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案.
【详解】
，
抛物线与轴没有公共点，
，解得，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
14．已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在实数k，使得为等腰三角形
B．存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60°
C．任意实数k，使得都为直角三角形
D．存在实数k，使得为等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
通过二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定可解答．
【详解】
解：A、如图1，可以得C为等腰三角形，正确；

B、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为30°和60°，正确；

C、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；

D、不存在实数k，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定，正确画图是关键．
15．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【解析】
【分析】
直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【详解】
观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点睛】
本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
16．如图，在直角三角形中，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，设正方形的边长为，当移动的距离时，如图1，；当移动的距离时，如图2，，根据函数关系式即可得到结论；
【详解】
解：∵在直角三角形中，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴四边形是矩形，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
设正方形的边长为，
如图1当移动的距离时，

；
当移动的距离时，如图2，

，
∴关于的函数图象大致为C选项，
故选：C．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
17．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____．

【答案】4．
【解析】
【分析】
根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间.
【详解】
解：依题意，令得：
∴
得：
解得：（舍去）或
∴即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
18．二次函数的最大值是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
二次函数的顶点式在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在时有最大值.
【详解】
解：∵，
∴有最大值，
当时，有最大值8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.
19．二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”)

【答案】<
【解析】
【分析】
由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】
当时，，
当时，，

，
即，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B．二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）

【答案】
【解析】
【分析】
先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.
【详解】
解：点，反比例函数经过点B，则点，
则，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，故点，
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
21．二次函数的最大值是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
将二次函数化为顶点式，即可求解.
【详解】
解：，
即二次函数的最大值是7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
22．某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式_____.
【答案】或或等.
【解析】
【分析】
由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．
【详解】
符合题意的函数解析式可以是或或等，(本题答案不唯一)
故答案为如或或等.
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.
23．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．

【答案】．
【解析】
【分析】
根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决．
【详解】
联立得，
解得，或，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，
点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，得，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
即点的坐标为，
将代入直线中，得，
∵直线与轴的夹角是，
∴点到直线的距离是：，
∴的面积是：，
故答案为．

【点睛】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点．为抛物线的顶点．若直线交直线于点，且为线段的中点，则的值为_____．

【答案】2
【解析】
【分析】
先根据抛物线解析式求出点坐标和其对称轴，再根据对称性求出点坐标，利用点为线段中点，得出点坐标；用含的式子表示出点坐标，写出直线的解析式，再将点坐标代入即可求解出的值．
【详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为，点坐标为
∵点为线段的中点，
∴点坐标为
设直线解析式为（为常数，且）
将点代入得
∴
将点代入得
解得
故答案为：2
【点睛】
考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
25．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，由勾股定理可得，和，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；
【详解】
①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，
∴，，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为：①②④；
【点睛】
本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
26．如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是______.

【答案】3
【解析】
【分析】
令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知△OPE的面积恒为2，故当△OEQ面积最大时△的面积最大.设Q（a，）则S△OEQ= ×a×（）==，可知当a=2时S△OEQ最大为1，即当Q为AB中点时△OEQ为1，则求得△面积的最大值是是3.
【详解】

∵交x轴为B点，交y轴于点A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即OB=4，OA=2
令PQ与x轴的交点为E
∵P在曲线C上
∴△OPE的面积恒为2
∴当△OEQ面积最大时△的面积最大
设Q（a, ）
则S△OEQ= ×a×（）==
当a=2时S△OEQ最大为1
即当Q为AB中点时△OEQ为1
故△面积的最大值是是3.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
27．某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是____（只要写出一个符合题意的答案即可）
【答案】
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】
某个函数具有性质：当>0时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是，
故答案为：(答案不唯一).
【点睛】
本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
28．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】
解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用中，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
29．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为元(为正整数)，每月的销售量为条．
(1)直接写出与的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1)；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解析】
【分析】
(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出与的函数关系式；
(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
(3)利用总利润，求出的值，进而得出答案．
【详解】
解：(1)由题意可得：整理得；
(2)由题意，得：



∵，
∴有最大值，
即当时，，
∴应降价(元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：

解之，得：，，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．
30．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；
【解析】
【分析】
（1）点，代入，求出；联立与，则有，即可求解；
（2）根据题意可得，，当时，有，或；①在左侧，随的增大而增大，时，有最大值，；
②在对称轴右侧，随最大而减小，时，有最大值；
（3）①时，时，，即；
②时，时，，即，直线的解析式为，抛物线与直线联立：，，则，即可求的范围.
【详解】
解：（1）点，代入，
，
，
；
联立与，则有，
抛物线与直线有交点，
，
a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，，
，
抛物线开口向下，对称轴，
时，有最大值，
∴当时，有，
或，
①在左侧，随的增大而增大，
时，有最大值，
；
②在对称轴右侧，随最大而减小，
时，有最大值；
综上所述：m=-3或m=3；
（3）①时，时，，
即；
②时，时，，
即，
直线的解析式为，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
的取值范围为或a≤-2.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
31．有一块形状如图的五边形余料，，，，，.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在上，并使所截矩形的面积尽可能大.

（1）若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由.
【答案】（1）S=30；（2）能，的最大值为30.25.
【解析】
【分析】
（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于F，得出S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰三角形，得出AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，求出BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出S2=AE•AG=6×5=30；
（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰三角形，得出MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设AM=x，则BM=6-x，FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】
（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：

过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，
则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE•AG=6×5=30；
（2）能；理由如下：
在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，
则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，

∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设AM=x，则BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，
∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
32.已知函数（，为常数）的图象经过点.
（1）求，满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是，当的值变化时，求关于的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．
【答案】（1）c=2b（2）（3）2或6
【解析】
【分析】
（1）把点代入函数即可得到结论；
（2）根据顶点坐标即可求解；
（3）把函数化为，根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解.
【详解】
（1）将点代入，
得，
∴；
（2），，
∴，
∴，
（3），
对称轴，
当时，，函数不经过第三象限，则；
此时，当时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当时，，函数不经过第三象限，则，
∴，
∴，
当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
当时，函数有最大值；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值时，，
∴或，
∵，
∴；
当最大值时，，
∴或，
∵，
∴；
综上所述或；
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
33．如图，已知二次函数的图象经过点.

（1）求的值和图象的顶点坐标。
（2）点在该二次函数图象上.
①当时，求的值；
②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围.
【答案】（1）；（2）① 11；②.
【解析】
【分析】
（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
【详解】
（1）解：把代入，得，
解得.
∵，
∴顶点坐标为.
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
34．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【详解】
（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
35．2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
月份x
…
3
4
5
6
…
售价y1/元
…
12
14
16
18
…


（1）求y1与x之间的函数关系式．
（2）求y2与x之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y1＝2x+6；（2）y2＝x2﹣x+；（3）w＝﹣x2+x﹣，7月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大，最大利润是77元7．
【解析】
【分析】
（1）设与x之间的函数关系式为，将（3，12）（4，14）代入解方程组即可得到结论；
（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设与x之间的函数关系式为：＝，将（5，10）代入＝得＝10，解方程即可得到结论；
（3）由题意得到w＝−＝2x＋6−＋x−＝−＋x−，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入y1得，，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a＝，
∴y2＝（x﹣3）2+9＝x2﹣x+；
（3）由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6﹣x2+x﹣＝﹣x2+x﹣，
∵﹣＜0，
∴w由最大值，
∴当x＝﹣＝﹣＝7时，w最大＝﹣×72+×7﹣＝7．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
36.某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【解析】
【分析】
（1）设与之间的函数关系式为，根据题意得到方程组，于是得到结论；
（2）设利润为元，列不等式得到，根据题意得到函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
（1）设与之间的函数关系式为，
根据题意得，，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）设利润为元，
，
，
根据题意得，，
，对称轴，
当时，，
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
37．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1） （2），，144元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】
（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
38．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；（2）10元；（3）x为12时，日销售利润最大，最大利润960元
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得，，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
∴当时，w随x的增大而增大，
当时，，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
39．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？

【答案】（1）；（2）时，w最大；（3）时，每天的销售量为20件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．