新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：3.2　第1课时　利用导数研究函数的单调性

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3.2　导数在研究函数中的应用
第1课时　利用导数研究函数的单调性
必备知识预案自诊　
知识梳理
函数的单调性与导数的关系
(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,
①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　　　; 
②如果f'(x)0(f'(x)0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.










考点
函数单调性的应用(多考向探究)

考向1　比较大小或解不等式
【例3】(1)(2020湖南长郡中学四模,11)若0x+1ex
B.x2+1ex2>x+1ex>ln3+13
C.ln3+13>x+1ex>x2+1ex2
D.ln3+13>x2+1ex2>x+1ex
(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)>ex+2 019的解集为(　　)
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2 019,+∞)
C.(2 019,+∞)
D.(0,+∞)
解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧
利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.
对点训练3(1)设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>g'(x),则当ag(x)+f(b)
(2)(2021年1月8省适应测试)已知a0,
所以F(x)在定义域上单调递增.
所以F(1)>F(0),即2ef(1)>2f(0),
所以f(1)>f(0)e.故选A.
【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)f'(x)tan x成立,则(　　)
A.3fπ4>2fπ3 B.f(1)>2fπ6sin 1
C.2fπ60.
由f(x)>f'(x)tanx,得f(x)cosx-f'(x)sinx>0.
设F(x)=f(x)sinx,则F'(x)=f'(x)sinx-f(x)cosxsin2xFπ3,
即3fπ4>2fπ3.故选A.
数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1和例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).由此可见,对于含有f(x)和f'(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f'(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f'(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.

在例1中,f(x)+xf'(x)0,根据导数的积运算法则,可以看出f(x)的导数为f'(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到y=ex,但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数y=e12x,给上述不等式两边同乘e12x,则

从而构造出函数F(x)=2e12xf(x).

在例3中,由f(x)0,构造函数g(x)=xf(x).
(3)对于不等式xf'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=f(x)x(x≠0).
(4)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0,构造函数g(x)=xnf(x).
(5)对于不等式xf'(x)-nf(x)>0,构造函数g(x)=f(x)xn(x≠0).
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x).
(7)对于不等式f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=f(x)ex.
(8)对于不等式f'(x)+kf(x)>0,构造函数g(x)=ekxf(x).
(9)对于不等式f'(x)+2xf(x)>0,构造函数g(x)=ex2f(x).
(10)对于不等式f'(x)+lnaf(x)>0(a>0),构造函数g(x)=axf(x).
(11)对于不等式f(x)+f'(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)sinx.
(12)对于不等式f'(x)-f(x)tanx>0,构造函数g(x)=f(x)cosx.
(13)对于不等式f'(x)f(x)>0(f(x)>0),构造函数g(x)=lnf(x).
(14)对于不等式f'(x)lnx+f(x)x>0(x>0),构造函数g(x)=f(x)lnx.








3.2　导数在研究函数中的应用
第1课时　利用导数研究函数的单调性
必备知识·预案自诊
知识梳理
(1)①单调递增　②单调递减
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.AC
3.D　由题意知,f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,解得x>1.故选D.
4.D　由题意,得f'(x)=3-2sinx,所以f'(x)在R上恒为正,所以f(x)是R上的增函数.又因为2=log240).
则切线斜率k=f'(1)=2.
又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)f'(x)=1+1-lnxx2=x2+1-lnxx2(x>0).
令g(x)=x2+1-lnx(x>0),则g'(x)=2x2-1x(x>0).
当00.
即g(x)在区间0,22上单调递减,在22,+∞上单调递增.
故g(x)min=g22=32-ln22>0,
所以f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立.
所以,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
例2解f(x)的定义域是(0,+∞).
f'(x)=1x+2a(1-a)x-2(1-a)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x.
令g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1,为确定函数g(x)的函数类型,对a进行分类讨论.
(1)当a=1时,g(x)是常数函数,此时g(x)=1>0,f'(x)=1x>0,于是f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实数根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1).
①当Δ0,即00,x2>0.
由x1与x2的表达式知x11时,h'(x)g'(x),∴[f(x)-g(x)]'>0.
∴f(x)-g(x)在[a,b]上单调递增.
∴f(a)-g(a)g(x)+f(a).
(3)设F(x)=f(x)ex,则F'(x)=f'(x)-f(x)ex.
∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.
∵ex-1f(x)0;
当x∈lna3,+∞时,g'(x)0恒成立;
当00,所以g(t)在[-1,0)上单调递增.
所以g(t)min=g(-1)=13.
所以a≤13.
综上,-13≤a≤13.
变式发散1(-1,+∞)　h(x)=lnx-12ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=1x-ax-2.
由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间得,当x∈(0,+∞)时,1x-ax-21x2-2x有解.设G(x)=1x2-2x,所以只要a>G(x)min即可.
而G(x)=1x-12-1,
所以G(x)min=-1.所以a>-1.
变式发散2解h(x)=lnx-12ax2-2x,x∈(0,+∞),
所以h'(x)=1x-ax-2=-ax2-2x+1x.
当a=0时,h'(x)=-2x+1x,则h(x)在0,12上单调递增,在12,+∞上单调递减;
当a≤-1时,Δ≤0,则h'(x)≥0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增;
当-1