鲁科版（新教材）2022版高考一轮复习第4章功和机械能第3讲机械能守恒定律及其应用（物理 学案）

第3讲　机械能守恒定律及其应用

一、重力做功与重力势能

1．重力做功的特点

(1)重力做功与运动路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力势能

(1)表达式：Ep＝mgh。

(2)重力势能的特点

①系统性：重力势能是物体和地球共有的；

②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增加。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。

二、弹性势能

1．物体由于发生弹性形变而具有的能，叫弹性势能，弹性势能的大小与形变量和劲度系数有关。

2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W弹＝－ΔEp。

重力势能以及弹性势能都具有相对性，和零势能点位置的选取有关，但势能的变化只取决于重力或弹力做功的多少，是绝对的，与零势能点的位置无关。

三、机械能守恒定律

1．内容

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

2．表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。

3．机械能守恒的条件

对单个物体，只有重力做功；对系统，只有重力或系统内的弹力做功。

考点1　单个物体和弹簧的机械能守恒问题(能力考点)

考向1　机械能守恒的判断

典例　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒

B．图乙中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．图丁中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒

【自主解答】

CD　解析：题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能减小，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为0，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；题图丁中小球在竖直平面内来回摆动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确。

【技法总结】

机械能是否守恒的三种判断方法

(1)利用做功及守恒条件判断。

(2)利用机械能的定义判断：若物体或系统的动能、势能之和保持不变，则机械能守恒。

(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，内部也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。

考向2　单个物体的机械能守恒

典例　(2020·福州模拟)质量为m的小球在竖直向上的恒定拉力作用下，由静止开始从水平地面向上运动，经一段时间，拉力做功为W，此后撤去拉力，小球又经相同时间回到地面，以地面为零势能面，不计空气阻力。求：

(1)小球回到地面时的动能Ek；

(2)撤去拉力前小球的加速度大小a及拉力的大小F；

(3)小球动能为  时的重力势能Ep。

【自主解答】

解析：(1)撤去拉力时小球的机械能为W，由机械能守恒定律，小球回到地面时的动能Ek1＝W。

(2)设拉力作用时间为t，在此过程中小球上升h，末速度为v，则

h＝at2

v＝at

由题意有－h＝vt－gt2

联立各式解得a＝g

根据牛顿第二定律有F－mg＝ma

解得F＝mg。

(3)小球动能为  时的位置可能在h的下方或上方。设小球的位置在h下方离地 h′处，则有

(F－mg)h′＝W

而(F－mg)h＝W

解得h′＝h

重力势能Ep＝mgh′＝W

设小球的位置在h上方离地h″处

由机械能守恒定律有 W＋mgh″＝W

因此重力势能Ep＝mgh″＝W。

答案：(1)W　(2)g　mg　(3)W或 W

【技法总结】

机械能守恒问题的分析方法

(1)三种思路

(2)一般步骤

考向3　单个物体和弹簧的机械能守恒

典例　(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．小球的机械能守恒

B．小球的机械能减少

C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒

【自主解答】

BD　解析：小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故A错误，B正确；在此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

【技法总结】

系统机械能是否守恒的判断方法

(1)系统机械能守恒的条件是只有重力和弹力做功。

(2)根据参与转化的能量来判断系统机械能是否守恒，如果只有动能、重力势能和弹性势能相互转化，没有其他形式的能量参与转化，则机械能守恒。

1．(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)

A．运动员到达最低点前重力势能始终减小

B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加

C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒

D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关

ABC　解析：运动员在降到最低点之前重力一直做正功，所以重力势能一直在减小，A正确；蹦极绳张紧后运动员继续下落，蹦极绳的形变量一直增大，所以弹性势能增加，B正确；蹦极过程中只有重力势能、动能以及弹性势能相互转化，所以系统机械能守恒，C正确；重力势能的变化只取决于重力做功，与零势能点的位置无关，D错误。

2．如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块的落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　　)

A．  B．  C．  D．

B　解析：设小物块从轨道上端水平飞出的速度为vx，根据机械能守恒定律有  mv2＝mg·2R＋mv，小物块从轨道上端水平飞出做平抛运动，有 2R＝gt2和x＝vxt，联立解得x＝＝，得水平距离最大时，对应的轨道半径为 ，故选项B正确。

3．(多选)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　)

A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g

B．小球从B点运动到C点的过程中，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大

C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大

D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大

AD　解析：在B点时，小球的加速度为g，在B、C两点间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向上除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；小球从B点运动到C点的过程中，小球做加速运动，即动能增大，由机械能守恒可知，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为0，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段距离，所以小球在C点时的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为0，弹簧的形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。

4．如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周上的C点，OC水平，OD竖直，sAB＝2 m，滑块可视为质点，取 g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)滑块在斜面上运动的时间；

(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远。

解析：(1)设滑块到达A点时的速度为vA，由滑块从A点运动到C点的过程中机械能守恒，有mv＝mgRcos 37°

滑块从B点运动到A点的过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知v＝2axAB

vA＝at

联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s。

(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，有

mg＝m

滑块从A点运动到D点，由机械能守恒有

mv′＝mgR(1＋cos 37°)＋mv

v′＝2ax′

联立各式解得x′＝5.75 m。

答案：(1)1 s　(2)5.75 m

考点2　多个物体的机械能守恒问题(能力考点)

考向1　连接体的机械能守恒问题

典例　(2020·阜阳模拟)(多选)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m，开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且物体A与地面的距离为h，物体B静止在地面上，放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　)

A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒

B．弹簧的劲度系数为

C．物体A着地时的加速度大小为

D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2

【自主解答】

AC　解析：由题意知，物体A下落过程中，物体B一直静止不动。对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体B对地面的压力恰好为0，故弹簧的拉力为T＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知T＝kh，得弹簧的劲度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，细绳对物体A的拉力也等于mg，对物体A，根据牛顿第二定律得 2mg－mg＝2ma，得a＝，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mgh＝Ep＋×2mv2，所以Ep＝2mgh－mv2，故D错误。

【技法总结】

多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路

(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。

(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE1＝－ΔE2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少。

考向2　机械能守恒解决非质点类问题

典例　如图所示，总长为l的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质滑轮(忽略滑轮的大小)，开始时底端对齐，当略有振动时，其一端下落，铁链开始滑动，当铁链脱离滑轮瞬间，铁链的速度为(　　)

A．  B．  C．  D．2

确定初始状态下重心的位置以及脱离滑轮时的重心位置，运用机械能守恒求解铁链的速度。

【自主解答】

B　解析：从开始到脱离滑轮的过程中，铁链重心下降的高度为 l，铁链下落过程中，由机械能守恒定律，得mg·＝mv2，计算得v＝，故B正确，A、C、D错误。

【技法总结】

软体类物体机械能守恒问题的分析方法

(1)对“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点处理。

(2)明确初、末状态物体重心高度的变化，从而确定其重力势能的变化及重力做功的情况，根据机械能守恒定律列方程。

1．如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两边液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　解析：如图所示，当两边液面高度相等时，减少的重力势能转化为管中所有液体的动能，根据功能关系有 mg·h＝mv2，解得v＝，A正确。

2．如图所示，两物块a、b的质量分别为m、2m，用细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦。开始时，两物块a、b距离地面的高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直至物块a、b间高度差为h(物块b尚未落地)。在此过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物块b的重力势能减少了2mgh

B．物块b的机械能减少了 mgh

C．物块a的机械能逐渐减小

D．物块a重力势能的增加量小于其动能的增加量

B　解析：物块a、b间高度差为h时，物块a上升的高度为 ，物块b下降的高度为 ，物块b的重力势能减少了2mg·＝mgh，A错误；物块b的机械能减少了ΔEb＝2mg·－×2mv2，对物块a、b整体根据机械能守恒定律有0＝－2mg·＋mg·＋×3mv2，得mv2＝mgh，ΔEb＝mgh，B正确；物块a的机械能逐渐增加mgh，C错误；物块a重力势能的增加量 ΔEpa＝mg·＝mgh，其动能的增加量ΔEka＝mv2＝mgh，得ΔEpa＞ΔEka，D错误。

3．如图所示，A、B两球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A球放在固定的光滑斜面上，B、C两球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A球，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A球的质量为4m，B、C两球的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计。开始时整个系统处于静止状态，释放A球后，A球沿斜面下滑至速度最大时，C球恰好离开地面。求：

(1)斜面的倾角α；

(2)A球获得的最大速度vm。

解析：(1)由题意可知，当A球沿斜面下滑至速度最大时，C球恰好离开地面，A球的加速度此时为0。

由牛顿第二定律得4mgsin α－2mg＝0

则sin α＝，α＝30°。

(2)由题意可知，开始时mg＝kΔx1

C球恰好离开地面时mg＝kΔx2

B球上升的高度x＝Δx1＋Δx2＝

A、B两球及弹簧组成的系统在初始时和A球沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，由A、B、C三球和弹簧组成的系统机械能守恒，得

4mgxsin α－mgx＝(5m)v

联立解得vm＝2g。

答案：(1)30°　(2)2g

4．如图所示，AB为光滑的水平面，BC是倾角为α的足够长的光滑斜面，斜面体固定不动，AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相连，一条长为L的均匀柔软链条开始时静置在ABC面上，其一端D至B的距离为L－a，现自由释放链条，则：

(1)链条下滑过程中，系统的机械能是否守恒？简述理由。

(2)链条的D端滑到B点时，链条的速率为多大？

解析：(1)链条在下滑过程中机械能守恒，因为斜面BC和水平面AB均光滑，链条下滑时只有重力做功，符合机械能守恒的条件。

(2)设链条质量为m，可以认为始、末状态的重力势能变化是由L－a段下降引起的，如图所示。

该部分高度的减少量

h＝sin α＝sin α

该部分的质量为m′＝(L－a)

由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2

解得v＝。

答案：(1)机械能守恒，理由见解析

(2)