高考数学一轮复习解题思维3高考中三角函数解三角形解答题的提分策略作业试题含解析新人教版

解题思维3　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略

1.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且==,a2+λbc=b2+c2.

(1)求实数λ的值;

(2)若a=,求△ABC的面积.

2.[12分]如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为,点M是弧AB上异于A,B的点.

(1)若点C(1,0),且CM=,求点M的横坐标;

(2)求△MAB面积的最大值.图3-1

3.[2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考,14分]已知f(x)=sin x(sin x+cos x),在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

(1)求f(x)的单调递减区间;

(2)若f(A)=,a=2,求△ABC周长的取值范围.

4.[2021八省市新高考适应性考试,12分]在四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BD=CD=1.

(1)若AB=,求BC;

(2)若AB=2BC,求cos∠BDC.

答  案

解题思维3　高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略

1.(1)依题意和正弦定理得=,=,

所以tan B=,tan C=,则

tan A=-tan(B+C)=-=-1,所以A=. (5分)

由余弦定理得,λ==2cos A=-,所以λ=-. (6分)

(2)由tan B=,tan C=,易得cos B=,cos C=,

依题意及(1)得==2,所以b=,c=, (10分)

则S△ABC=×××=. (12分)

2.(1)连接OM,依题意可得,在△OCM中,OC=1,CM=,OM=2,

所以cos∠COM==, (3分)

所以点M的横坐标为2×=. (6分)

(2)连接OM,设∠AOM=θ,θ∈(0,),则∠BOM=-θ,

S△MAB=S△OAM+S△OBM-S△OAB=×2×2[sin θ+sin(-θ)]-×2×2×=2sin(θ+)-,

因为θ∈(0,),所以θ+∈(,), (10分)

所以当θ+=,即θ=时,△MAB的面积取得最大值,最大值为. (12分)

3.(1)f(x)=sin x(sin x+cos x)=+sin 2x=sin(2x-)+, (3分)

令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z. (6分)

(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-)+=,则sin(2A-)=1,

∵0<A<π,

∴-<2A-<,

∴2A-=,解得A=. (8分)

解法一　由a=2,A=及余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-4=bc, (10分)

∴(b+c)2-4=3bc≤3()2,即b+c≤4,

当且仅当b=c时等号成立, (12分)

又b+c>a=2,∴2<b+c≤4,4<a+b+c≤6, (13分)

∴△ABC周长的取值范围是(4,6] (14分)

解法二　由正弦定理==得,b=sin B=sin B,c=sin C=sin C,

∴b+c=(sin B+sin C). (10分)

∵A=,∴C=π-A-B=π-B,

∴sin B+sin C=sin B+sin(π-B)=sin B+cos B=sin(B+), (12分)

又B∈(0,),∴B+∈(,π),sin(B+)∈(,1],

∴b+c∈(2,4],a+b+c∈(4,6], (13分)

∴△ABC周长的取值范围是(4,6]. (14分)

4.(1)因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC. (1分)

在△ABD中,由余弦定理,得

cos∠ABD==, (3分)

在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC==cos∠ABD=,解得BC=. (6分)

(2)设BC=x,则AB=2x,在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ABD==x, (8分)

在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC==, (10分)

由(1)知∠BDC=∠ABD,所以cos∠BDC=cos∠ABD,所以x=,解得x=-1,则cos∠BDC=-1. (12分)