高考数学一轮复习第七章立体几何第五节垂直关系课时规范练含解析文北师大版

第七章　立体几何

第五节　垂直关系

课时规范练

A组——基础对点练

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(　　)

A．a⊥c，b⊥c　　　　　　 B．α⊥β，aα，bβ

C．a⊥α，b∥α  D．a⊥α，b⊥α

解析：对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

答案：C

2.(2020·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)

A．直线AB上  B．直线BC上

C．直线AC上  D．△ABC内部

解析：由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.

答案：A

3. (2020·保定模拟)如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

解析：因BC∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．

答案：D

4.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是(　　)

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

解析：AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.

答案：C

5.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.

答案：C

6. (2020·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是(　　)

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

解析：A中，∵CD∥AF，AF面PAF，CD面PAF，

∴CD∥面PAF成立；B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥面PAF成立；C中，CF∥AB，AB面PAB，CF面PAB，∴CF∥面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.

答案：D

7．(2020·河北衡水模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列命题中：

①若m⊥n，l⊥n，则m∥l；

②若mα，nβ，m⊥n，则α⊥β；

③若m∥l，m⊥α，lβ，则α⊥β；

④若α⊥β，α∩β＝l，mα，m⊥l，则m⊥β.

其中正确命题的序号为(　　)

A．①③  B．③④

C．②④  D．①③④

解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱都相交，故①错；如图，α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，又lβ，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.故选B.

答案：B

8．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是(　　)

A．l1⊥m，l1⊥n  B．m⊥l1，m⊥l2

C．m⊥l1，n⊥l2  D．m∥n，l1⊥n

解析：由m⊥l1，m⊥l2及已知条件可得m⊥β，又mα，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有m⊥l1，m⊥l2，故“m⊥l1，m⊥l2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.

答案：B

9．(2019·北京高考卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．

解析：本题主要考查线面平行、垂直的位置关系，考查了逻辑推理能力和空间想象能力．把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②为结论和②③作为条件，①为结论时，容易证明成立．

答案：若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)

10．在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG垂直的是________．

解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项①，②，③中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项④中的直线BD1与平面EFG不垂直，不满足题意．

答案：①②③

B组——素养提升练

11. (2020·江西赣州联考)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论：

①EF∥平面ABCD；

②平面ACF⊥平面BEF；

③三棱锥E­ABF的体积为定值；

④存在某个位置使得异面直线AE与BF所成的角为30°.

其中正确的是________．(写出所有正确的结论序号)

解析：由正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝知，在①中，由EF∥BD，且EF平面ABCD，BD平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正确；在②中，如图，连接BD，CF，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥平面BDD1B1，而BE平面BDD1B1，BF平面BDD1B1，则AC⊥平面BEF.

又因为AC平面ACF，所以平面ACF⊥平面BEF，故②正确；在③中，三棱锥E­ABF的体积与三棱锥A­BEF的体积相等，三棱锥A­BEF的底面积和高都是定值，故三棱锥E­ABF的体积为定值，故③正确；在④中，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝30°，故存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°，故④正确．

答案：①②③④

12.如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA＝AB＝BC＝a，DF＝2CE＝2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝a.

(1)求多面体ABCDPQ的体积；

(2)求证：平面PBQ⊥平面PBD.

解析：(1)∵DA＝AB＝BC＝a，

∠ABC＝∠BAD＝90°

∴四边形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，CD⊥DP，

又AD∩DP＝D，∴CD⊥平面ADP.

∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADP.

∵AD2＋DP2＝AP2，∴AD⊥DP.

又CD⊥AD，CD∩DP＝D，

∴AD⊥平面CDPQ，又AD∥BC，

∴BC⊥平面CDPQ.

∴VB­CDPQ＝S梯形CDPQ·BC＝××a＝a3，

VB­ADP＝S△ADP·AB＝××a×2a×a＝，

∴多面体ABCDPQ的体积为VB­CDPQ＋VB­ADP＝.

(2)证明：取BP的中点G，连接GQ、DG、DQ，

在△ABP中，BP＝＝2a，

∴BG＝BP＝a，

在△BCQ中，BQ＝＝a.

PQ＝＝a，

∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP.

∴QG＝＝a，

又BD＝AB＝2a＝DP，∴DG⊥BP，

∴DG＝＝a，

又DQ＝＝a，

∴DQ2＝QG2＋DG2，∴QG⊥DG.

又BP∩DG＝G，∴QG⊥平面PBD，

又QG平面PBQ，

∴平面PBQ⊥平面PBD.

13．(2020·河北石家庄质量检测)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.

(1)求证：A1B⊥平面AB1C；

(2)若A1B∩AB1＝O，AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1­COB1的体积．

解析：(1)证明：因为平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，所以AC⊥平面ABB1A1，所以A1B⊥AC.

因为侧面ABB1A1为菱形，所以A1B⊥AB1，又AC∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C.

(2)因为A1C1∥AC，A1C1平面AB1C，AC平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C.

连接A1C，则三棱锥C1­COB1的体积等于三棱锥A1－COB1的体积．因为A1B⊥平面AB1C，所以A1O为三棱锥A1­COB1的高．

因为AB＝2，∠ABB1＝60°，侧面ABB1A1为菱形，所以AB1＝2，A1B＝2，所以OB1＝1，OA1＝，所以S△COB1＝OB1·CA＝×1×2＝1.

所以V三棱锥C1­COB1＝V三棱锥A1­COB1＝A1O·S△COB1＝××1＝.

14．(2020·河南郑州第二次质量预测)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．

解析：(1)证明：连接PF，

∵△PAD是等边三角形，F是AD的中点，

∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，

∴AD⊥平面BFP，又PB平面BFP，∴AD⊥PB.

(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.

又BF平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，

又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，

∴PF⊥平面ABCD.

连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD.

又GH平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.

∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，

∴＝＝，

∴＝＝，∴GH＝PF＝，

∴VD­CEG＝VG­CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.