高中数学第三章变化率与导数第3课时圆锥曲线中的定点定值最值范围问题训练含解析北师大版选修1_1

第3课时　圆锥曲线中的定点定值、最值范围问题

1.若直线y=x+m与椭圆=1相切,则实数m的值等于(　　)

A.±6 B.± C.± D.±4

解析:由消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,因此有Δ=-8m2+48=0,解得m=±.

答案:B

2.直线y=2x与双曲线-y2=1公共点的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

解析:双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,焦点在x轴上,由图形知,直线y=2x与该双曲线无公共点.

答案:A

3.过双曲线x2-y2=1的顶点分别作其渐近线的垂线,则两条垂线段与渐近线所围成矩形的面积等于(　　)

A. B. C.1 D.

解析:因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为(1,0),取一条渐近线为y=x,所以点(1,0)到直线y=x的距离为,所以围成矩形的面积是.

答案:A

4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,A,B为左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点.若PA,PB,PO的斜率分别为k1,k2,k3,m=k1k2k3,则m的取值范围为(　　)

A.(0,3) B.(0,) C. D.(0,8)

解析:因为e==2,所以b=a,

设P(x,y),则=1,

k1k2==3,

又双曲线的渐近线为y=±x,所以0<k3<,故0<m<3.

答案:A

5.F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y-2=0(x≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则的值为(　　)

A.2 B.

C.- D.随点P的位置而变化

解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1=,k2=,因此,又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,所以=2.

答案:A

6.设椭圆C:=1的长轴两端点为M,N,P是椭圆C上任意一点,则PM与PN的斜率之积为　　　　　. 

解析:M(-2,0),N(2,0),设P(x0,y0),

于是kPM·kPN=

==-.

答案:-

7.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于　　　　　. 

解析:椭圆右焦点为(,0),

所以整理得5x2-8x+8=0,

所以|AB|=|x1-x2|=.

答案:

8.已知椭圆=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为,过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N.

(1)求椭圆的方程;

(2)若|MN|=,求直线MN的方程.

解(1)由题意有=1,e=,a2-b2=c2,

解得a=,b=,c=,

所以椭圆方程为=1.

(2)由直线MN过点B且与椭圆有两个交点,可设直线MN方程为y=k(x-3),

代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,Δ=24-24k2>0,得k2<1.

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=,

|MN|=

=

=,

解得k=±,满足k2<1,

故所求直线方程为y=±(x-3).

9.导学号01844059已知椭圆Ε:=1(a>b>0)的半焦距为c,原点Ο到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.

(1)求椭圆Ε的离心率;

(2)如图,ΑΒ是圆Μ:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆Ε经过Α,Β两点,求椭圆Ε的方程.

解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,

则原点Ο到直线的距离d=,

由d=c,得a=2b=2,

解得离心率e=.

(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ①

依题意,圆心M(-2,1)是线段ΑΒ的中点,且|AB|=.易知,ΑΒ不与x轴垂直,设其直线方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.

从而x1x2=8-2b2.

于是|AB|=|x1-x2|

=.

由|AB|=,得,解得b2=3.

故椭圆E的方程为=1.

10.

导学号01844060已知椭圆C:=1(a>b>1)的焦距为4,其左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),一条不经过原点的直线l:y=kx+m与该椭圆相交于M,N两点(如图).

(1)求椭圆C的方程.

(2)若m+k=0,直线A1M与NA2的斜率分别为k1,k2.试问:是否存在实数λ,使得k1+λk2=0?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

解(1)因为椭圆C:=1(a>b>0)的焦距为4,所以2c=4,解得c=2.

因为椭圆的左、右顶点分别为A1(-3,0),A2(3,0),所以a=3.又b2=a2-c2=9-8=1,

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由m+k=0知直线l过定点D(1,0).

设直线A1M的方程为y=k1(x+3),直线NA2的

方程为y=k2(x-3).

联立方程消去y,得(1+9)x2+54x+81-9=0,

解得点M的坐标为.

同理,可解得点N的坐标为.

由M,D,N三点共线,可得,

化简得(k2-2k1)(9k1k2+1)=0.

由题设可知k1与k2同号,所以k2=2k1,即k1+k2=0,

即存在λ=-,使得k1+λk2=0.