数学第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程习题

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》

同步练习题

1．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，则m满足的条件是（　　）

A．m≥﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1

2．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）

A．34 B．30 C．30或34 D．30或36

3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0

5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）

A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 

C．无实数根 D．不能确定

6．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 

B．方程有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

7．若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3

8．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）

A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

9．若一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限．

A．四 B．三 C．二 D．一

10．若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于　 　．

11．一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的根的判别式△　 　0．（填“＞”，“＝”或“＜”）

12．若关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是　 　．

13．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　   　（填序号）．

14．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　 　．

15．若m＞n＞0，m2+n2＝4mn，则的值等于　            　．

17．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

19．解方程：x2﹣5x+3＝0．

20．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．

21．解方程：3x2﹣2x﹣2＝0．

22．解方程：x2+1＝3x．

23．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．

（1）求m的值；

（2）解原方程．

参考答案

1．解：根据题意得Δ＝22﹣4（﹣m）≥0，

解得m≥﹣1．

故选：A．

2．解：当a＝4时，b＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+b＝12，

∴b＝8不符合；

当b＝4时，a＜8，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴4+a＝12，

∴a＝8不符合；

当a＝b时，

∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，

∴12＝2a＝2b，

∴a＝b＝6，

∴m+2＝36，

∴m＝34；

故选：A．

3．解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝4﹣4（kb+1）＞0，

解得kb＜0，

A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；

B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；

C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；

D．k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确；

故选：B．

4．解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，

∴m≠0且Δ＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，

∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．

∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．

故选：D．

5．解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，

∵（k+1）2≥0，

∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

6．解：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

7．解：∵a＝1，b＝m，c＝1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4，

∵关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，

∴m2﹣4＞0，

解得：m＞2或m＜﹣2，

则m的值可以是：﹣3，

故选：D．

8．解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；

B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；

C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；

故选：B．

9．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，

∴Δ＜0，

∴Δ＝4﹣4（﹣m）＝4+4m＜0，

∴m＜﹣1，

∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，

m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，

∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，

故选：D．

10．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，

解得m＝1．

故答案为1．

11．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0．

故答案为＜．

12．解：∵关于x的方程（a+1）x2+（2a﹣3）x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，

∴a+1≠0且Δ＝（2a﹣3）2﹣4（a+1）×（a﹣2）＞0，

解得a＜且a≠﹣1．

把关于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，

解得x＝（a≠﹣3），

∵x≠﹣1，

∴≠﹣1，解得a≠﹣3，

∵x＝（a≠﹣3）为整数，

∴a﹣1＝±1，±2，±4，

∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，

而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，

∴a的值为0，2，

∴满足条件的所有整数a的和是2．

故答案是：2．

13．解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确；

当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；

把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0，

当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确；

故答案为：①③．

14．解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝16﹣4b＝0，

∴AC＝b＝4，

∵BC＝2，AB＝2，

∴BC2+AB2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，

∴AC边上的中线长＝AC＝2；

故答案为：2．

15．解：∵m＞n＞0，m2+n2＝4mn，

∴（m+n）2＝6mn，（m﹣n）2＝2mn，

∴m+n＝，m﹣n＝，

∴＝＝＝2；

故答案是：2．

17．（1）证明：当m≠0时，Δ＝（m+2）2﹣8m

＝m2﹣4m+4

＝（m﹣2）2，

∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，

∴△≥0，

∴方程有实数根，

当m＝0时，方程﹣2x+2＝0，有实数根；

（2）解：解方程得，x＝，

x1＝，x2＝1，

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴m＝1或2，m＝2不合题意，

∴m＝1．

18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：

∵x＝﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，

∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，

∴a﹣b＝0，

∴a＝b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，

∴4b2﹣4a2+4c2＝0，

∴a2＝b2+c2，

∴△ABC是直角三角形．

19．解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝3，

∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0

∵△＝25﹣12＝13，

∴x＝，

则x1＝，x2＝．

20．解：（1）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，

解得m＜6且m≠2；

（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8＝0，

∴（3x+4）（x+2）＝0，

∴x1＝﹣，x2＝﹣2．

21．解：＝

即，

∴原方程的解为，

22．解：由原方程，得

x2﹣3x+1＝0．

∴x＝＝，

∴x1＝，x2＝．

23．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝m2﹣4×m×（m﹣1）＝0，且m≠0，

解得m＝2；

（2）由（1）知，m＝2，则该方程为：x2+2x+1＝0，

即（x+1）2＝0，

解得x1＝x2＝﹣1．