2022年高考数学一轮复习考点练习53《不等式证明》(含答案详解)

一轮复习考点练习53《不等式证明》

1.已知函数f(x)=|x＋3|＋|x－1|，其最小值为t.

(1)求t的值；

(2)若正实数a，b满足a＋b=t，求证：＋≥.

2.设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.　

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.

3.已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立.

(1)求实数m的值；

(2)若α，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.

4.已知函数f(x)=2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=m，求证：＋＋≥3.

5.已知函数f(x)=|2x－1|－|x－a|，a∈R.

(1)当a=1时，解不等式f(x)＜1；

(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解，求a的取值范围.

6.设函数f(x)=|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.

(1)求m；

(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2=m，求ab＋bc的最大值.

7.已知函数f(x)=m－|x－1|，m∈R，且f(x＋2)＋f(x－2)≥0的解集为[－2,4].

(1)求m的值；

(2)若a，b，c为正数，且＋＋=m，求证：a＋2b＋3c≥3.

8.已知函数f(x)=|x＋m|＋|2x－1|(m∈R).

(1)当m=－1时，求不等式f(x)≤2的解集；

(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且[,2]⊆A，求实数m的取值范围.

0.答案解析

1.解：(1)因为|x＋3|＋|x－1|=|x＋3|＋|1－x|≥|x＋3＋1－x|=4，

所以f(x)min=4，即t=4.

(2)由(1)得a＋b=4，故＋=1，＋==＋1＋＋

≥＋2=＋1=，

当且仅当b=2a，即a=，b=时取等号，故＋≥.

2.解：(1)记f(x)=|x－1|－|x＋2|=

由－2<－2x－1<0解得－<x<，则M=.

所以≤|a|＋|b|<×＋×=.

(2)由(1)得a2<，b2<.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2=(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)=(4a2－1)(4b2－1)>0.

所以|1－4ab|2>4|a－b|2，

故|1－4ab|>2|a－b|.

3.解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|=|m|.

要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.

因为m∈N*，所以m=1.

(2)因为α，β≥1，f(x)=2x－1(x≥1)，

所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，

所以＋=(α＋β)=≥=3.

(当且仅当=，即α=2，β=1时等号成立)故＋≥3.

4.解：(1)当x<－1时，f(x)=－2(x＋1)－(x－2)=－3x∈(3，＋∞)；

当－1≤x<2时，f(x)=2(x＋1)－(x－2)=x＋4∈[3,6)；

当x≥2时，f(x)=2(x＋1)＋(x－2)=3x∈[6，＋∞).

综上，f(x)的最小值m=3.

(2)a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c=3，

因为＋＋＋(a＋b＋c)=＋＋

≥2=2(a＋b＋c).

(当且仅当a=b=c=1时，取等号)

所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.

5.解：(1)当a=1时，

f(x)=|2x－1|－|x－1|=

当x≤时，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；

当＜x≤1时，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；

当x＞1时，x＜1，无解.

综上所述，不等式f(x)＜1的解集为{x|－1＜x＜1}.

(2)当x∈(－1,0)时，f(x)＞1有解

⇔|x－a|＜－2x有解

⇔2x＜x－a＜－2x有解

⇔3x＜a＜－x有解，

∵3x＞－3，－x＜1，

∴－3＜a＜1，即实数a的取值范围是(－3,1).

6.解：(1)当x≤－1时，f(x)=3＋x≤2；

当－1＜x＜1时，f(x)=－1－3x＜2；

当x≥1时，f(x)=－x－3≤－4.

故当x=－1时，f(x)取得最大值m=2.

(2)因为2=a2＋2b2＋c2=(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc=2(ab＋bc)，

当且仅当a=b=c=时取等号，

此时，ab＋bc取得最大值1.

7.解：(1)由f(x＋2)＋f(x－2)≥0可得|x＋1|＋|x－3|≤2m.

设g(x)=|x＋1|＋|x－3|，则

当x≤－1时，g(x)=－2x＋2；

当－1＜x＜3时，g(x)=4；

当x≥3时，g(x)=2x－2.

所以g(－2)=g(4)=6=2m，m=3.

(2)由(1)得＋＋=3，

由柯西不等式，得(a＋2b＋3c)(＋＋)

≥2=32，

当且仅当a=2b=3c=1时等号成立，所以a＋2b＋3c≥3.

8.解：(1)当m=－1时，f(x)=|x－1|＋|2x－1|，由f(x)≤2，得|x－1|＋|2x－1|≤2，

∴或

或

解得或或

∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤.

∴原不等式的解集为.

(2)∵[,2]⊆A，

∴当x∈[,2]时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，

即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈[,2]上恒成立，

∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2，

∴－2≤x＋m≤2，

∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈[,2]上恒成立，

∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，

∴－≤m≤0，

∴实数m的取值范围是[－,0].