河北省唐山市2022届高三上学期开学摸底演练+数学+Word版含答案

这是一份河北省唐山市2022届高三上学期开学摸底演练+数学+Word版含答案，共8页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知圆O，下列结论正确的是，82，则P＝0等内容，欢迎下载使用。

唐山市2021－2022学年度高三年级摸底演练
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合4＝{x|15}，则A∪B＝
A.{x|15} C.{x|15} D.{x|x<4或x>5}
2.已知i是虚数单位，若z＝(1＋i)(2－i)，则|z|＝
A. B. C.10 D.2
3.设a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.22，则
A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c
4.已知单位向量a，b满足(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为
A. B. C. D.
5.现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有
A.10种 B.14种 C.20种 D.28种
6.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，m)，B(m，4)，则cosα＝
A.± B. C.± D.
7.已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，设直线l：x＋2y－8＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足|AP|＝|BP|，则r的最小值为
A. B. C.2 D.3
8.若(2x＋1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8，则a3＝
A.56 B.448 C.－56 D.－448
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论正确的是
A.若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则E(X)＝
B.若随机变量Y的方差D(Y)＝3，则D(2Y＋1)＝6
C.若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则P(ξ＝3)＝
D.若随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，P(η<2)＝0.82，则P(0<η<2)＝0.64
10.已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若△F1PF2是直角三角形，则△F1PF2的面积可能为
A.5 B.4 C. D.
11.声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的。已知纯音的数学模型是函数y＝Asinωt。我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音。若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x，则
A.f(x)的最大值为 B.2π为f(x)的最小正周期
C.x＝为曲线y＝f(x)的对称轴 D.(π，0)为曲线y＝f(x)的对称中心
12.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝2DD1＝4。
A.在棱AB上存在点P，使得D1P//平面A1BC1
B.在棱BC上存在点P，使得D1P//平面A1BC1
C.若P在棱AB上移动，则A1D⊥D1P
D.在棱A1B1上存在点P，使得DP⊥平面A1BC1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.圆台的轴截面上、下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是 。
14.若函数f(x)＝log2(4x＋a)－x为偶函数，则a＝ 。
15.不过原点的直线l与曲线f(x)＝x3相切于A(x1，y1)，相交于点B(x2，y2)，则＝ 。
公式：a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)
16.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my－1与C交于A，B，若AF⊥BF，则m＝ ，|AF|＋|BF|＝ 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，数列{bn}是首项为1的等比数列，4b2－b3＝4，b4＝a4＋4a1，2S15＝15b5。
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{anb2n＋1}的前n项和。
18.(12分)
数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价。截至2021年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域。为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：

(1)如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的2×2列联表；

(2)若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；
(3)根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：。

19.(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c－b＝a(sinC－cosC)。
(1)求A；
(2)若a＝2，l，S分别表示△ABC的周长和面积，求的最大值。
20.(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，AD＝2，且PB与面PAD所成角为45°。

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值。
21.(12分)
已知双曲线E：(a>0，b>0)的离心率为2，点P(2，3)在E上。
(1)求E的方程；
(2)过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B(均异于点P)，求直线PA，PB的斜率之和。
22.(12分)
已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－lna。
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)证明：f(x)有唯一极值点t，且f(t)≥1。

唐山市2021—2022学年度高三年级摸底演练
数学参考答案
一．选择题：
1－4 DACC 5－8 BBAD
二．选择题：
9．AD 10．BC 11．BD 12．ABC
三．填空题：
13． 14．1 15．－2 16．±，8（第一空3分，第二空2分）
四．解答题：
17．解：
（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知4b2－b3＝4，得b1(4q－q2)＝4，而b1＝1，所以q2－4q＋4＝0，
解得q＝2，所以bn＝2n－1． …2分
由b4＝a4＋4a1得5a1＋3d＝8． ①，
由2S15＝15b5得a1＋7d＝8． ②，
联立①②解得a1＝d＝1，所以an＝n．
故{an}的通项公式为an＝n，{bn}的通项公式为bn＝2n－1． …5分
（2）设数列{anb2n＋1}的前n项和为Tn，
由an＝n，b2n＋1＝4n得anb2n＋1＝n×4n．
Tn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
4Tn＝ 1×42＋2×43＋3×44＋…＋n×4n＋1，
上述两式相减，得－3Tn＝1×4＋1×42＋1×43＋…＋1×4n－n×4n＋1，
所以－3Tn＝－n×4n＋1＝，
即Tn＝ ． …10分
18．解：
（1）2×2列联表如下：

低学历
高学历
合计
不了解数字人民币
150
125
275
了解数字人民币
250
275
525
合计
400
400
800
…4分
（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，
抽取的8人中，不了解数字人民币的有150×＝3人，了解数字人民币的有
250×＝5人， …6分
从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率P＝1－＝． …8分
（3）根据列联表得
k＝＝≈3.463＜3.841． …10分
故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关． …12分
19．解：
（1）由正弦定理得2sinC－sinB＝sinA·sinC－sinA·cosC，
由sinB＝sin(A＋C)可得2sinC＝sinA·sinC＋cosA·sinC，
即sin(A＋)＝1，因为0＜A＜π，所以A＝． …4分
（2）由余弦定理可得b2＋c2－bc＝4，所以(b＋c)2－4＝3bc．……（*）
l＝a＋b＋c＝2＋b＋c，S＝bcsinA＝bc， …6分
所以＝．
将（*）式代入，可得＝＝(b＋c－2)． …8分
因为bc≤，所以由（*）式可得(b＋c)2－4≤，
即b＋c≤4．（等号当且仅当b＝c＝2时成立）
故的最大值为． …12分
20．解：
（1）过B作BO⊥AD于O，连接OP．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，BO⊥AD，BOÌ平面ABCD，
∴BO⊥平面PAD，
∴∠OPB即为PB与面PAD所成的角，于是∠OPB＝45°，
∴OB＝OP． …3分
又∵底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，
∴△PAO≌△BAO，
∴PO⊥AD，故O为AD中点，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交线为AD，PO⊥AD，POÌ平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，由题意得PO＝BO＝AD＝．
∴四棱锥P-ABCD的体积V＝Sh＝×2××＝2． …6分
A
B
C
P
D
z
y
O
x
（2）以O为坐标原点，，，分
别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间
直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，D(－1，0，0)．
＝(－1，0，)，＝(0，，－)，
＝＝(2，0，0) …7分
设平面APB的法向量m＝(x1，y1，z1)，
由得取m＝(，1，1)． …9分
设平面PBC的法向量n＝(x2，y2，z2)，
由得取n＝(0，1，1)． …10分
∴cosám，nñ＝＝＝， …11分
又∵二面角A-PB-C为钝二面角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为－． …12分
21．解：
（1）由已知可得e＝＝2，
∴e2＝＝1＋＝4，解得b2＝3a2 ①
又∵点P(2，3)在E上，∴－＝1 ②
由①②可得a2＝1，b2＝3．
∴双曲线E的方程为x2－＝1． …5分
（2）过点Q(0，1)的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得(3－k2)x2－2kx－4＝0，
依题意3－k2≠0，且D＞0，所以k2＜4且k2≠3，
因此，可得x1＋x2＝，x1x2＝． …7分
∴kPA＋kPB＝＋
＝＋
＝2k＋(2k－2) (＋)
＝2k＋
＝2k＋
＝3． …12分
注：不考虑判别式的不扣分．
22．解：
（1）当a＝1时，f(x)＝ex－ln(x＋1)，
所以f¢(x)＝ex－，x＞－1．
显然f¢(x)在(－1，＋∞)上单调递增，又f¢(0)＝0，
所以－1＜x＜0时，f¢(x)＜0；x＞0时，f¢(x)＞0，
因此f(x)在(－1，0)上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增． …4分
（2）依题意，a＞0，f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
f¢(x)＝aex－＝[aex(x＋1)－1]，
令g(x)＝aex(x＋1)－1，a＞0，x≥－1，
显然g(x)在[－1，＋∞)上单调递增，又g(－1)＜0，g()＞0，
所以存在t∈(－1，)，使得g(t)＝0，
且－1＜x＜t时，g(x)＜0；x＞t时，g(x)＞0，
因为＞0，所以－1＜x＜t时，f¢(x)＜0；x＞t时，f¢(x)＞0，
即f(x)在(－1，t)上单调递减；在(t，＋∞)上单调递增， …8分
因此f(x)有唯一极小值点t．
由g(t)＝0得aet＝，所以lna＋t＝－ln(t＋1)．
因此f(t)－1＝aet－ln(t＋1)－lna－1
＝＋t－1
＝≥0，等号当且仅当t＝0时成立．
故f(x)有唯一极值点t，且f(t)≥1． …12分