专题09 平面向量 9.2数量积 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版+解析版)
展开专题九 《平面向量》讲义
9.2 数量积
知识梳理.数量积
1.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.
(2)范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直:若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积,记作a·b
投影
|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影,
|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积
3.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
夹角
cos θ=
cos θ=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
题型一. 基本公式
1.若非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|且(2a→+b→)⊥b→,则a→与b→的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
【解答】解:∵非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|,且(2a→+b→)⊥b→,设a→与b→的夹角为θ,θ∈[0,π],
∴(2a→+b→)•b→=2a→•b→+b→2=0,即2a→•b→=-b→2,∴2|a→|•|a→|•cosθ=-|a→|2,
求得cosθ=-12,∴θ=2π3,
故选:C.
2.已知非零向量a→,b→夹角为45°,且|a→|=2,|a→-b→|=2.则|b→|等于( )
A.22 B.2 C.3 D.2
【解答】解:非零向量a→,b→夹角为45°,且|a→|=2,|a→-b→|=2.
可得a→2-2a→⋅b→+b→2=4,
4﹣22|b→|+|b→|2=4
则|b→|=22.
故选:A.
3.已知向量a→,b→及实数t满足|a→+tb→|=3.若a→•b→=2,则t的最大值是 98 .
【解答】解:由于求t的最大值,即t>0,
由|a→+tb→|=3,a→•b→=2,
两边平方可得(a→+tb→)2=9,
即为a→2+t2b→2+2ta→•b→=9,
即有a→2+t2b→2=9﹣4t,
由a→2+t2b→2≥2t|a→|•|b→|≥2ta→•b→=4t,
当且仅当a→,b→同向时,取得等号.
由9﹣4t≥4t,解得t≤98.
即有t的最大值为98.
故答案为:98.
题型二. 几何意义——投影
1.设向量e1→,e2→是夹角为2π3的单位向量,若a→=3e1→,b→=e1→-e2→,则向量b→在a→方向的投影为( )
A.32 B.12 C.-12 D.1
【解答】解:∵向量e1→,e2→是夹角为2π3的单位向量,
∴|e1→|=|e2→|=1,e1→⋅e2→=1×1×cos2π3=-12.
|a→|=|3e1→|=3,
∴a→⋅b→=3e1→⋅(e1→-e2→)=3e1→2-3e1→⋅e2→=3-3×(-12)=92.
∴向量b→在a→方向的投影为b→⋅a→|a→|=923=32.
故选:A.
2.如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则AP→⋅AC→= 18 .
【解答】解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO
∵AP⊥BD,AP=3,
在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3
∴|AC→|cos∠OAP=2|AO→|×cos∠OAP=2|AP→|=6,
由向量的数量积的定义可知,AP→⋅AC→=|AP→||AC→|cos∠PAO=3×6=18
故答案为:18
3.如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量AB→在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则AP→•AB→的取值范围是 [﹣5,5] .
【解答】解:如图所示:设∠PAB=θ,作OM⊥AP,则∠AOM=θ,
∴sinθ=AMOA,AM=5sinθ,AP=2AM=10sinθ.
∴AP→⋅AB→=10sinθ×1×cosθ=5sin2θ∈[﹣5,5],
故答案为:[﹣5,5].
题型三. 转换基底
1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC→=23BD→,|AD→|=1,则AC→•AD→=( )
A.23 B.3 C.32 D.﹣23
【解答】解:在△ABC中,AD⊥AB,BC→=23BD→,|AD→|=1,
则AC→•AD→=(AB→+BC→)•AD→=AB→⋅AD→+BC→⋅AD→=BC→⋅AD→
=0+23BD→•AD→=23(AD→-AB→)•AD→
=23AD→2-23AB→⋅AD→=23•1﹣0=23,
故选:A.
2.已知向量AB→与AC→的夹角为120°,且|AB→|=3,|AC→|=2,若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→,则实数λ的值为( )
A.37 B.73 C.712 D.127
【解答】解:向量AB→与AC→的夹角为120°,且|AB→|=3,|AC→|=2,
可得AB→•AC→=3×2×cos120°=﹣3,
若AP→=λAB→+AC→且AP→⊥BC→,
则AP→•BC→=(λAB→+AC→)•(AC→-AB→)=AC→2﹣λAB→2+(λ﹣1)AB→•AC→
=4﹣9λ﹣3(λ﹣1)=0,
解得λ=712.
故选:C.
3.如图,P为△AOB所在平面内一点,向量OA→=a→,OB→=b→,且点P在线段AB的垂直平分线上,向量OP→=c→.若|a→|=3,|b→|=2,则c⋅(a→-b→)的值为 52 .
【解答】解:设线段AB的垂直平分线为PH,H为垂足,
则OP→=OB→+BH→+HP→=OB→+12BA→+HP→
=OB→+12OA→-12OB→+HP→=12OA→+12OB→+HP→,
则c⋅(a→-b→)=(12OA→+12OB→+HP→)•(OA→-OB→)
=12(OA→2-OB→2)+HP→⋅BA→
=12×(32﹣22)+0=52.
故答案为:52.
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题型四. 数量积运算律求最值
1.向量a→,b→的夹角为120°,|a→|=|b→|=1,|c→|=2,则|a→+2b→+c→|的最大值为( )
A.2-3 B.2 C.2+3 D.4
【解答】解:|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|,计算:|a→+2b→|2=a→2+4b→2+4a→⋅b→=|a→|2+4|b→|2+4|a→|•|b→|cosθ=1+4﹣4×12=3,
∴|a→+2b→|=3,|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|=2+3,当且仅当||a→+2b→|=|c→|时取等号.
故|a→+2b→+c→|的最大值为2+3,
故选:C.
2.已知向量a→,b→满足|a→|=5,|b→|=1且|a→-4b→|≤21,则a→•b→的最小值为 52 .
【解答】解:∵|a→-4b→|≤21,
∴a→2-8a→⋅b→+16b→2≤21,
即25﹣8a→⋅b→+16≤21,
∴a→⋅b→≥52.
故答案为:52.
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=1,M是线段BC上的动点,若BD→⋅AM→=-3,则BA→⋅BC→的取值范围是 [1,4) .
【解答】解:由已知有:|AB→|=|BC→|,CD→=12BA→,BM→=λBC→,(0≤λ≤1),
则BD→⋅AM→=(BC→+CD→)⋅(AB→+BM→)=(BC→+12BA→)(λBC→-BA→)=﹣3,
所以BA→⋅BC→=2+8λ2-λ=182-λ-8,
因为0≤λ≤1,∴BA→⋅BC→∈[1,10],
因为BA→⋅BC→=|BA→|⋅|BC→|⋅cosθ,其中θ为BA→与BC→的夹角,θ∈(0,π),
因为cosθ∈(﹣1,1),所以BA→⋅BC→=2×2cosθ=4cosθ∈(﹣4,4),
又1⩽BA→⋅BC→⩽10,所以BA→⋅BC→∈[1,4).
故答案为:[1,4).
题型五.数量积坐标运算
1.已知向量a→=(2,1),b→=(1,﹣1),c→=(m﹣2,﹣n),其中m,n均为正数,且(a→-b→)∥c→,下列说法正确的是( )
A.a→与b→的夹角为钝角
B.向量a→在b→方向上的投影为55
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,向量a→=(2,1),b→=(1,﹣1),则a→•b→=2﹣1=1>0,则a→、b→的夹角为锐角,A错误;
对于B,向量a→=(2,1),b→=(1,﹣1),则向量a在b方向上的投影为a→⋅b→|b→|=22,B错误;
对于C,向量a→=(2,1),b→=(1,﹣1),则a→-b→=(1,2),若(a→-b→)∥c→,则(﹣n)=2(m﹣2),变形可得2m+n=4,C正确;
对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,则有mn=12(2m•n)≤12(2m+n2)2=2,即mn的最大值为2,D正确;
故选:CD.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB→⋅AF→=2,则AE→⋅BF→的值是 2 .
【解答】解:∵AF→=AD→+DF→,
AB→⋅AF→=AB→⋅(AD→+DF→)=AB→⋅AD→+AB→⋅DF→=AB→⋅DF→=2|DF→|=2,
∴|DF→|=1,|CF→|=2-1,
∴AE→⋅BF→=(AB→+BE→)(BC→+CF→)=AB→⋅CF→+BE→⋅BC→=-2(2-1)+1×2=-2+2+2=2,
故答案为:2
3.已知边长为2的菱形ABCD中,点F为BD上一动点,点E满足BE→=2EC→,AE→⋅BD→=-23,则AF→⋅EF→的最小值为( )
A.-23 B.-43 C.-15275 D.-7336
【解答】解:由题意知:BE→=23BC→,
设∠DAB=θ,
所以AE→⋅BD→=(AB→+BE→)•(AD→-AB→)=AB→⋅AD→-AB→2+23BC→⋅AD→-23BC→⋅AB→=4cosθ﹣4+83-83cosθ=-23,
所以cosθ=12,
又θ∈(0,π),
所以θ=π3,
以AC与BD交点为原点,AC为x轴,BD为y轴建立如图所示的直角坐标系,
所以A(-3,0),C(3,0),D(0,1),B(0,﹣1),E(233,-13),
设F(0,t),
则AF→=(3,t),EF→=(-233,t+13),
所以AF→⋅EF→=-2+t(t+13)=t2+13t-2=(t+16)2-7336,
当t=-16时,AF→⋅EF→取最小值-7336,
故选:D.
题型六. 极化恒等式
1.设向量a→,b→满足|a→+b→|=10,|a→-b→|=6,则a→⋅b→=( )
A.﹣1 B.1 C.4 D.﹣4
【解答】解:∵|a→+b→|=10,∴(a→+b→)2=10,∴a→2+b→2+2a→•b→=10 ①,
∵|a→-b→|=6,∴(a→-b→)2=6,∴a→2+b→2-2a→•b→=6 ②,
①﹣②得 4a→•b→=4,∴a→•b→=1.
故选:B.
2.如图,△ABC是边长为23的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则AP→⋅BP→的取值范围是 [1,13] .
【解答】解:∵|AC→|=|BC→|=23,∠ACB=60°
∴AC→•BC→=23•23cos60°=6
∵AP→=AC→+CP→,BP→=BC→+CP→
∴AP→⋅BP→=(AC→+CP→)(BC→+CP→)=AC→•BC→+CP→(AC→+BC→)+CP→2
∵|CP→|=1
∴AP→•BP→=6+CP→(AC→+BC→)+1=7+CP→(AC→+BC→)
∵△ABC是边长为23的等边三角形,
∴向量AC→+BC→是与AB垂直且方向向上,长度为6的一个向量
由此可得,点P在圆C上运动,当CP→与AC→+BC→共线同向时,CP→(AC→+BC→)取最大值,且这个最大值为6
当CP→与AC→+BC→共线反向时,CP→(AC→+BC→)取最小值,且这个最小值为﹣6
故AP→⋅BP→的最大值为7+6=13,最小值为7﹣6=1.即AP→⋅BP→的取值范围是[1,13]
故答案为:[1,13]
3.已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA→⋅(PB→+PC→)的最小值为( )
A.﹣3 B.﹣6 C.﹣2 D.-83
【解答】解:以BC中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则A(0,23),B(﹣2,0),C(2,0),
设P(x,y),则PA→=(﹣x,23-y),PB→=(﹣2﹣x,﹣y),PC→=(2﹣x,﹣y),
所以则PA→⋅(PB→+PC→)的最=﹣x•(﹣2x)+(23-y)•(﹣2y)=2x2﹣43y+2y2
=2[x2+2(y-3)2﹣3];
所以当x=0,y=3时,PA→⋅(PB→+PC→)取得最小值为2×(﹣3)=﹣6,
故选:B.
课后作业. 数量积
1.已知向量a→、b→满足|a→|=1,|b→|=2,|2a→+b→|=3|2a→-b→|,则a→与b→夹角为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
【解答】解:|a→|=1,|b→|=2,|2a→+b→|=3|2a→-b→|,
∴(2a→+b→)2=3(2a→-b→)2,
∴4a→2+4a→⋅b→+b→2=12a→2-12a→⋅b→+3b→2,
∴4a→2-8a→⋅b→+b→2=0,即4-8a→⋅b→+4=0,
∴a→⋅b→=1,
∴cos<a→,b→>=a→⋅b→|a→||b→|=12,且0°≤<a→,b→>≤180°,
∴<a→,b→>=60°.
故选:B.
2.已知△ABC满足AB→2=2BA→⋅CA→,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
【解答】解:根据AB→2=2BA→•CA→得到:c2=2bccosA,
由正弦定理bsinB=csinC=2R,可得sin2C=2sinBsinCcosA,
又C为三角形的内角,得到sinC≠0,
可得sinC=2sinBcosA,
又sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B),
∴sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA,即sinAcosB﹣cosAsinB=0,
∴sin(A﹣B)=0,且A和B都为三角形的内角,
∴A=B,
则△ABC的形状为等腰三角形.
故选:D.
3.已知向量a→≠e→,|e→|=1,对任意t∈R,恒有|a→-te→|≥|a→-e→|,则( )
A.a→⊥e→ B.a→⊥(a→-e→)
C.e→⊥(a→-e→) D.(a→+e→)⊥(a→-e→)
【解答】解:已知向量 a→≠e→,|e→|=1,对任意t∈R,恒有|a→-te→|≥|a→-e→|
即|a→-te→|2≥|a→-e→|2∴t2-2a→⋅e→t+2a→⋅e→-1≥0
即 △=(2a→⋅e→)2-4(2a→⋅e→-1)≤0即(a→⋅e→-1)2≤0∴a→⋅e→-1=0a→⋅e→-e→2=0∴e→⋅(a→-e→)=0
故选:C.
4.如图,在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则AB→⋅AC→=( )
A.34 B.28 C.﹣16 D.﹣22
【解答】解:∵AB→=AM→+MB→,AC→=AM→+MC→且AM=3,BC=10,
∴|AM→|=3,|BM→|=|MC→|=5,
∴MB→⋅MC→=-25,AM→⋅MC→+AM→⋅MB→=AM→⋅(MC→+MB→)=0,
∴AB→⋅AC→=(AM→+MB→)•(AM→+MC→)=AM→2+AM→⋅MC→+MB→⋅AM→+MB→⋅MC→
=9﹣25
=﹣16.
故选:C.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=π3,AD→=2DB→,P为CD上一点,且满足AP→=mAC→+12AB→,若AC=3,AB=4,则AP→⋅CD→的值为( )
A.﹣3 B.-1312 C.1312 D.112
【解答】解:∵AD→=2DB→,∴AD→=23AB→,
∵CP→∥CD→,∴CP→=kCD→,即AP→-AC→=k(AD→-AC→),又∵AP→=mAC→+12AB→,
则(m﹣1)AC→+12AB→=k(23AB→-AC→),∴m-1=-k12=23k,∴k=34,m=14,
则AP→•CD→=AP→•(AD→-AC→)=(14AC→+12AB→)•(23AB→-AC→)=13AB→2-14AC→2-13AB→•AC→=163-94-13×4×3cosπ3=1312,
故选:C.
6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB→⋅AF→=2,则AE→⋅BF→的值是 2 .
【解答】解:∵AF→=AD→+DF→,
AB→⋅AF→=AB→⋅(AD→+DF→)=AB→⋅AD→+AB→⋅DF→=AB→⋅DF→=2|DF→|=2,
∴|DF→|=1,|CF→|=2-1,
∴AE→⋅BF→=(AB→+BE→)(BC→+CF→)=AB→⋅CF→+BE→⋅BC→=-2(2-1)+1×2=-2+2+2=2,
故答案为:2
7.已知a→、b→均为单位向量,且a→⋅b→=0.若|c→-4a→|+|c→-3b→|=5,则|c→+a→|的取值范围是( )
A.[3,10] B.[3,5] C.[3,4] D.[10,5]
【解答】解:∵a→、b→均为单位向量,且a→⋅b→=0.
∴设a→=(1,0),b→=(0,1),再设c→=(x,y),
代入|c→-4a→|+|c→-3b→|=5,得(x-4)2+y2+x2+(y-3)2=5.
即(x,y)到A(4,0)和B(0,3)的距离和为5,
∴c→的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)之间的线段,
|c→+a→|=(x+1)2+y2,表示M(﹣1,0)到线段AB上点的距离,
最小值是点(﹣1,0)到直线3x+4y﹣12=0的距离.
∴|c→+a→|min=|-3-12|5=3.
最大值为|MA|=5.
∴|c→+a→|的取值范围是[3,5].
故选:B.
8.已知在直角三角形ABC中,A为直角,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,则AM→⋅BP→的取值范围是( )
A.[﹣1,0] B.[-12,0] C.[-34,12] D.[-34,0]
【解答】解:如图,
由AB=1,BC=2,可得AC=3,
以AB所在直线为x轴,以AC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则B(1,0),C(0,3),直线BC方程为x+y3=1则直线AM方程为y=33x,
联立,解得:M(34,34),
由图可知,当P在线段BC上时,AM→•BP→有最大值为0,
当P在线段AC上时,AM→•BP→有最小值,设P(0,y)(0≤y≤3),
∴AM→•BP→=(34,34)(﹣1,y)=-34+34y≥-34.
∴AM→•BP→的范围是[-34,0].
故选:D.
9.在平面内,定点A,B,C,D满足|DA→|=|DB→|=|DC→|=2,DA→•BC→=DB→•AC→=DC→•AB→=0,动点P,M满足|AP→|=1,PM→=MC→,则|BM→|2的最大值为 494 .
【解答】解:平面内,|DA→|=|DB→|=|DC→|=2,DA→•BC→=DB→•AC→=DC→•AB→=0,
∴DA→⊥BC→,DB→⊥AC→,DC→⊥AB→,
可设D(0,0),A(2,0),B(﹣1,3),C(﹣1,-3),
∵动点P,M满足|AP→|=1,PM→=MC→,
可设P(2+cosθ,sinθ),M(1+cosθ2,sinθ-32),
∴BM→=(3+cosθ2,sinθ-332),
∴BM→2=(3+cosθ2)2+(sinθ-332)2=37+12sin(π6-θ)4≤494,
当且仅当sin(π6-θ)=1时取等号,
∴|BM→|2的最大值为494.
故答案为:494.
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