专题06 导数 6.5利用导数研究不等式恒成立 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题六  《导数》讲义

6.5 利用导数研究不等式恒成立

知识梳理.利用导数研究不等式恒成立

1.恒成立问题: 一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；

若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.

2.存在性问题：若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；

若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．

题型一. 参变分离

1．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，若f（x）＞1在区间（1，+∞）内恒成立，则实数a的范围为　    　．

2．已知函数f（x）mx（e为自然对数的底数），若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，） C．（﹣∞，e） D．（，+∞）

题型二. 转化成两个函数

1．已知函数，若f（ax﹣ex+1）＞1在x∈（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（e，+∞） D．（1，e）

2．已知函数f（x）＝x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

题型三. 讨论参数

1．不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（　　）

A．1 B． C．2 D．e

2．（2014·辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]

3．设函数f（x）（a∈R）．

（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．

题型四. 隐零点、构造函数

1．已知函数f（x）＝alnx﹣x+1（其中a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的极值；

（2）对任意x＞0，f（x）（a2﹣1）成立，求实数a的取值范围．

2．设函数f（x）＝e2x+alnx．

（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；

（2）证明：当a＜0时，．

3．已知函数f（x）＝﹣alnx．

（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+xf′（x），若关于x的不等式g（x）≤﹣ex在x∈[1，2]上有解，求a的取值范围．

题型五. 双变量问题

1．已知函数f（x）＝x2+2alnx+3，若∀x1，x2∈[4，+∞）（x1≠x2），∃a∈[2，3]，2m，则m的取值范围是（　　）

A．[﹣2，+∞） B． C． D．

2．已知函数f（x）lnx﹣mx（m∈R），g（x）＝x（a＞0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若m，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g（x1）≥f（x2）成立，求实数a的取值范围．

3．已知f（x）＝lnx，g（x）＝﹣x2﹣2ax+4，若对任意的x1∈（0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是　                　．

课后作业.恒成立

1．已知函数f（x）＝xlnx．若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，则实数a的取值范围为　       　．

2．已知函数，g（x）＝﹣x2+x，当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[，+∞） B．[，+∞） C．[1，+∞） D．[e，+∞）

3．关于x的不等式x2﹣a（x﹣1）ex＜0恰有一个整数解，则实数a的取值范围是　                　．

4．设实数m＞0，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（　　）

A． B． C． D．

5．已知函数f（x）＝x，g（x）x，若∀x1∈[]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是　       　．

6．已知a为实数，函数f（x）＝alnx+x2﹣4x．

（1）若x＝3是函数f（x）的一个极值点，求实数a的取值；

（2）设g（x）＝（a﹣2）x，若∃x0∈[]，使得f（x0）≤g（x0），求实数a的取值范围．