苏科版七年级上册2.8 有理数的混合运算课后练习题

2.8有理数混合运算

考点一、有理数运算律

1. 计算：的结果为    

A.  B. 21 C.  D. 24

2. 利用技巧计算时，最恰当的方案可以是     

A.  B.
C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 对于算式，逆用分配律写成积的形式是

A.  B.
C.  D.

5. 计算的结果是

A. 1 B.  C.  D.

6. 三位同学在计算：，用了不同的方法：
   小小说：12的，，分别是3，2和6，所以结果应该是；
   聪聪说：先计算括号里面的数，，再乘以12得到；
   明明说：利用分配律，把12与，，分别相乘得到结果是
   对于三个同学的计算方式，下面描述正确的是

A. 三个同学都用了运算律 B. 聪聪使用了加法结合律
C. 明明使用了分配律 D. 小小使用了乘法交换律

考点二、有理数混合运算

7. 计算：．
   
    
8. 计算：
   
   
    
9. 计算：．
   
   
    
10. 计算：
    ；
    ；
    
    
    
    
    
     
11. 计算：
    
    
    
    
     
12. 计算：

；

．

 

考点三、有理数混合运算应用

13. 周日，出租车司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送游客．规定向东为正，向西为负，出租车的行程依次如下单位：千米：，，，，，，，，
    最后一名游客送到目的地时，小张距出车地点的距离是多少？
    小张离开出车点最远处是多少千米？
    若汽车耗油量为升千米，这天汽车共耗油多少升？
    
    
    
     

14. 小明到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作，小明从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下单位：层：，，，，，，a；然后小明又回到了1楼．
    求a的值；
    该中心大楼每层高3m，电梯每向上或向下1m需要耗电度，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
    
    
    
    
    
    
     

15. 有20箱橘子，以标准质量为准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：

在20箱橘子中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？

这20箱橘子的平均质量比标准质量超过或不足多少千克？

若每箱橘子的标准质量是，售价元，则这些橘子可卖多少元？






 

16. 某登山队5名队员以二号高地为基地，开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下单位：米：，，，，，，，，，，．
    他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？
    登山时，5名队员在进行全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气升．他们共使用了氧气多少升？
    
    
    
    
    
    
     
17. 某电动自行车厂本周计划每天生产250辆电动自行车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表增加的车辆数记作正数，减少的车辆数记作负数

根据记录：

本周内每天分别生产了多少辆电动自行车？
本周是否完成了周计划？






 

18. 小李靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，下面是小李某周的收支情况表，记收入为正，支出为负单位：元．

到这个周末，小李有多少节余？
按以上的支出水平，估计小李一个月按30天计算至少有多少收入才能维持正常开支？






考点四、有理数混合运算与新定义

19. 用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．
    如：．
    求的值；
    若，求a的值．
    
     

20. 对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．

根据题中所给材料，解答以下问题：

请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；

对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的 最大值．
 

21. 探究规律，完成相关题目

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫加乘运算．”

然后他写出了一些按照加乘运算的运算法则进行运算的算式：

；         ；

    ；         ；

；             ．

智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的加乘运算的运算法则了．”

聪明的你也明白了吗？

归纳加乘运算的运算法则：

两数进行加乘运算时，________________________________________________．

特别地，0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，________________________________________________________．

计算：_________括号的作用与它在有理数运算中的作用一致

我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的加乘运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在加乘运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可






 

22. 探究规律，完成相关题目．

定义“”运算：

；；

；；

；．

归纳运算的法则：

两数进行运算时，________文字语言或符号语言均可特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，

计算：

是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．






 

23. 探究规律，完成相关题目．

小明说：“我定义了一种新的运算，叫加乘运算．”

然后他写出了一些按照加乘运算的运算法则进行运算的算式：

；；；；

；．

小聪看了这些算式后说：“我知道你定义的加乘运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？

归纳加乘运算的运算法则．

计算：________括号的作用与它在有理数运算中的作用一致

我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的加乘运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在加乘运算中是否适用，并举例验证．举一个例子即可



 

24. 小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作

直接写出计算结果，__，__；

关于“有理数的除方”下列说法正确的是_________填序号

对于任何正整数n，都有：；
；对于任何正整数n，都有．

小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式．请推导出“除方”的运算公式为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式结果用含a，n的式子表示

请利用问的推导公式计算：

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先计算乘方运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】
解：原式


故选B．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了乘法分配律的灵活应用，关键是掌握计算技巧．将变形为，进一步根据乘法分配律进行计算．
【解答】
解：


．
故选D．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查有理数的除法和有理数的混合运算根据有理数的除法和有理数的混合运算法则解答．
【解答】
解：原式，故本选项正确；
B.原式，故本选项错误；
C.原式，故本选项错误；
D.原式，故本选项错误．
故选A．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了有理数的混合运算，属于容易题．
根据乘法分配律的逆运算即可解答．
【解答】
解：．
故选C．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键，直接利用有理数的加减混合运算法则计算即可．
【解答】
解：原式

，
故选B．  

6.【答案】C
 

【解析】解：由题意可得，
只有明明的方法是使用了乘法分配律，故选项C正确，选项A、B、D描述错误；
故选：C．
根据题意和各个选项中的说法可以判断哪个选项中的描述是正确的，本题得以解决．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确式子计算用到的方法和运算律．
 

7.【答案】解：原式，
，
，
．
 

【解析】本题主要运用了有理数的加法法则，除法法则，乘方法则等知识点，注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．先算，，，再算减法，最后算除法和加法即可．
 

8.【答案】解：




 

【解析】根据有理数的混合运算顺序，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
 

9.【答案】解：原式．
 

【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

10.【答案】解：原式；
原式；
原式．
 

【解析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果；
原式先计算乘方运算，结合后相加即可得到结果；
原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．
 

11.【答案】解：原式，
，
；
原式，
，
，
．
 

【解析】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算的顺序为先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算应按从左往右的顺序依次计算．
先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；
先计算乘方运算，再计算中括号内的减法运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
 

12.【答案】解：


．

解：


．

【解析】本题考查有理数的乘方和有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序是先乘方再乘除后加减解答即可．
 

13.【答案】解：，
，
，
，
所有，小张距出车地点0米，即回到出车地点；
小张离开出车地点的距离依次为：10、7、11、9、22、14、7、2、米，
所以小张离开出车地点最远是22米；
升，
汽车共耗油升．
 

【解析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
把所有行程相加，根据有理数的加法运算法则计算后即可判断；
分别求出离开出车点的距离，然后判断出最远距离即可；
求出所有行程的绝对值的和，然后乘以，进行计算即可得解．
 

14.【答案】解：．
故a的值为；


度．
答：他办事时电梯需要耗电度．
 

【解析】【试题解析】

本题考查了正数和负数，正确计算有理数的加减法是解的关键；上下电梯都耗电是解的关键．
根据有理数的加法，可得答案；
根据单位耗电量乘以电梯上下的路程，可得答案．

15.【答案】 解：千克，
答：最重的一箱比最轻的一箱：重千克；
，
千克
答：20箱橘子的平均质量比标准质量超过千克；
元，
答：这些橘子可卖1270元．
 

【解析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，在实际问题中的应用，可见数学来源于生活，应用于生活．
最重的一箱橘子比标准质量重千克，最轻的一箱橘子比标准质量轻3千克，则两箱相差千克；
将这20个数据相加，和为正，表示比标准质量超过，和为负，表示比标准质量不足，再求平均数即可；
先求得总质量，再乘以元即可．
 

16.【答案】解：根据题意得：米，
米．
根据题意得：米，
升．
答：他们没能最终登上顶峰，离顶峰还有170米；他们共使用了氧气128升．
 

【解析】此题不但考查了正数和负数在实际生活中的应用，而且用到了有理数的加法，需同学们熟练掌握．
约定前进为正，后退为负，依题意列式求出和，再与500比较即可；
要消耗的氧气，需求他共走了多少路程，这与方向无关．
 

17.【答案】解：星期一：辆；
星期二：辆；
星期三：辆；
星期四：辆；
星期五：辆；
星期六：辆；
星期日：辆；

故本周没有完成周计划．
 

【解析】本题考查了正数和负数，有理数运算的应用，
根据标准量加上增减的量，可得答案；
根据有理数的加法，可得答案．
 

18.【答案】解：元
答：到这个周末，小李有14元的节余．
元
元
答：小李一个月按30天计算至少要有1860元的收入才能维持正常开支．
 

【解析】把周一至周日的收入和支出加在一起计算即可；
求出平均每天的结余，再乘30，就是一个月的结余．
本题主要考查正数和负数，有理数运算的应用，比较简单，读懂表格数据并列出算式是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据题中新定义得：；．
根据题中新定义得：，
，
已知等式整理得：，
解得：．
 

【解析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中新定义化简，计算即可得到结果；
已知等式利用题中新定义化简，计算即可求出a的值．
 

20.【答案】解：，9990；
一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m”可能是1062；1602；1242；1422；2664．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
故的最大值为7．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查新定义阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．
根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；
根据题意直接列出满足条件的“希望数m，再根据定义求出 即可得出最大值．
【解答】
解：千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，
可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990，
故答案为1020，9990；
见答案．  

21.【答案】解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；
；
加法交换律和加法结合律在有理数的加乘运算中还适用，
由加乘运算的运算法则可知： 
，
，
所以，
即加法交换律在有理数的加乘运算中还适用．
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了定义新运算以及有理数的混合运算的知识点，解题关键点是熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
首先根据加乘运算的运算法则进行运算的算式，归纳出加乘运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，等于这个数的绝对值；
根据中总结出的加乘运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可；
加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的加乘运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．

【解答】

解：归纳加乘运算的运算法则：
两数进行加乘运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；
特别地，0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，等于这个数的绝对值；
故答案为同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值；


，
故答案为；
见答案．

22.【答案】解：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；





；
，

，，
解得，．
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行
运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方．
根据中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【解答】
解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方．
故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；
见答案；
见答案．  

23.【答案】解：归纳加乘运算的运算法则：
两数进行加乘运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，等于这个数的绝对值；
；
加法交换律和加法结合律在有理数的加乘运算中还适用．
由加乘运算的运算法则可知：
，
，
所以，
即加法交换律在有理数的加乘运算中还适用．
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算定律的应用．
首先根据加乘运算的运算法则进行运算的算式，归纳出加乘运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，等于这个数的绝对值．
根据中总结出的加乘运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可．
加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的加乘运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可．
【解答】

解：见答案；
 

，
故答案为；
见答案．

24.【答案】解：；．
．
公式为正整数，，




 

【解析】

【分析】
本题考查有理数的除法，是一道规律探究型题目，也是一道新定义型题目，难度适中，熟练掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．
根据题意计算即可；
要考虑n为奇数和偶数的两种情况；分别计算和的结果进行比较即可；正确为偶数，偶数个a相除，结果应为正．
推导为正整数，，，按照题目中的做法推到即可；
按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．
【解答】
解：  ，；
故答案为8；．
对于任何正整数n，都有，n为奇数时，，错误；
；
，错误；
，正确；
对于任何正整数n，都有，而不是，错误；
故答案为．
见答案；
见答案．