2022版新高考数学人教版一轮课件：第6章 第2讲 一元二次不等式及其解法

这是一份2022版新高考数学人教版一轮课件：第6章 第2讲 一元二次不等式及其解法，共60页。PPT课件主要包含了判别式，Δ≥0，两相异，两相等，xx2或xx1，x≠x1，x1xx2，－∞1，－21等内容，欢迎下载使用。

第二讲　一元二次不等式及其解法
1 知识梳理·双基自测
2 考点突破·互动探究
3 名师讲坛·素养提升
知识点一　一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_______零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的_________.(3)当_______时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的_______确定一元二次不等式的解集．
知识点二　三个二次之间的关系
1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．
题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
3．(必修5P80A组T4改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于(　　)A．{x|－23}　　D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
4．(必修5P80A组T2改编)y＝lg2(3x2－2x－2)的定义域是______________________________.
题组三　走向高考5．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是_________.
解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为(　　)A．{x|x<－3或x>1}　　B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1[解析]　(1)由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－31时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1[分析]　(1)利用根与系数的关系求解．(2)令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．
[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是____________.
已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．
(2)解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A．解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可；(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
〔变式训练3〕(1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(　　)A．(－∞，3)　　B．(－1,3)C．[－1,3]　　D．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(　　)A．m≤－3　　B．m≥－3C．－3≤m<0　　D．m≥－4
(3)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　)A．{x|13}C．{x|12}
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．
〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是___________.(2)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k的取值范围为___________________.