高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析

这是一份高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算课时作业理含解析，共8页。

一、选择题
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，则x＝( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
3．已知空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)cB．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)cD.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c
4．已知四边形ABCD满足：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0，eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0，eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0，则该四边形为( )
A．平行四边形B．梯形
C．长方形D．空间四边形
5．[2021·日照调研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且eq \f(AC,AB)＝eq \f(1,3)，则C点的坐标为( )
A．(eq \f(7,2)，－eq \f(1,2)，eq \f(5,2)) B．(eq \f(8,3)，－3,2)
C．(eq \f(10,3)，－1，eq \f(7,3)) D．(eq \f(5,2)，－eq \f(7,2)，eq \f(3,2))
二、填空题
6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq \(MN,\s\up6(→))＝________.
7．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为________．
8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
三、解答题
9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝eq \r(3)，且a分别与eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))垂直，求向量a的坐标．
10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))；
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))；
(3)EG的长．
[能力挑战]
11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
课时作业45
1．解析：由b＝eq \f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．故选B.
答案：B
2．解析：由6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝2(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，即eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))，故eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.
答案：B
3．解析：显然eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.故选B.
答案：B
4．解析：由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))>0，eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))>0，eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))>0，可得四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，∠ADC和∠BAD均为钝角．而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°，知该四边形一定不是平面图形．故选D.
答案：D
5．解析：由题意知2eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－8＝2－x，,2y－2＝－5－y，,2z－6＝1－z，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(10,3)，,y＝－1，,z＝\f(7,3).))即C(eq \f(10,3)，－1，eq \f(7,3))，故选C.
答案：C
6．解析：如图所示，
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))]＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c－a)．
答案：eq \f(1,2)(b＋c－a)
7．解析：因为(a＋λb)⊥a，
所以(a＋λb)·a＝a2＋λb·a＝(eq \r(2))2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2.
答案：－2
8．解析：cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(2\r(5),15).
答案：－eq \f(2\r(5),15)
9．解析：(1)由题意可得：eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，
所以cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2＋3＋6,\r(14)×\r(14))＝eq \f(7,14)＝eq \f(1,2)，
所以sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(3),2)，
所以以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))为边的平行四边形的面积：
S＝2×eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝14×eq \f(\r(3),2)＝7eq \r(3).
(2)设a＝(x，y，z)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋z2＝3，,－2x－y＋3z＝0，,x－3y＋2z＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，,z＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝－1.))
所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
10．解析：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a，eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(DC,\s\up6(→))＝b－c，
(1)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·c＝eq \f(1,4).
(2)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－a)·(b－c)
＝eq \f(1,2)(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－eq \f(1,4).
(3)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b－a＋eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)b
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，
|eq \(EG,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)c2－eq \f(1,2)a·b＋eq \f(1,2)b·c－eq \f(1,2)c·a＝eq \f(1,2)，则|eq \(EG,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
11.
证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，
CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝2eq \r(3)，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2eq \r(3)，0,0)，A(2eq \r(3)，4,0)，P(0,0,2)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2)))，
∴eq \(DP,\s\up6(→))＝(0，－1,2)，eq \(DA,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，3,0)，eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2))).
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DP,\s\up6(→))·n＝0，,\(DA,\s\up6(→))·n＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y＋2z＝0，,2\r(3)x＋3y＝0，))
令y＝2，得n＝(－eq \r(3)，2,1)．
∵n·eq \(CM,\s\up6(→))＝－eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋2×0＋1×eq \f(3,2)＝0，
∴n⊥eq \(CM,\s\up6(→)).又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)解法一 由(1)知eq \(BA,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))·m＝0，,\(PB,\s\up6(→))·m＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4y0＝0，,2\r(3)x0－2z0＝0，))
令x0＝1，得m＝(1,0，eq \r(3))，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－eq \r(3)，2,1)，
∴m·n＝1×(－eq \r(3))＋0×2＋eq \r(3)×1＝0，
∴平面PAB⊥平面PAD.
解法二 取AP的中点E，连接BE，
则E(eq \r(3)，2,1)，eq \(BE,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，2,1)·(2eq \r(3)，3,0)＝0，
∴eq \(BE,\s\up6(→))⊥eq \(DA,\s\up6(→)).∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.