高考数学一轮复习练习案57第八章解析几何第九讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习练习案57第八章解析几何第九讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
一、单选题
1．(此题为更换后新题)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( D )
A．m>1 B．m>0
C．01 B．m>0
C．00，k2b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1.又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选A.
5．(2021·重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y2＝2x上一点A(2,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的斜率为( D )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,4)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
[解析] 依题意，可设直线AB的方程为y－2＝k(x－2)，则直线AC的方程为y－2＝－k(x－2)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y－2＝kx－2，))得y1＝eq \f(2－2k,k).同理，得y2＝eq \f(2＋2k,－k).所以直线BC的斜率为eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(y2－y1,\f(1,2)y\\al(2,2)－\f(1,2)y\\al(2,1))＝eq \f(2,y2＋y1)＝－eq \f(1,2).故选D.
6．(2021·山东聊城二模，6)已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( D )
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝x＋3 D．y＝2x－3
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1①，,y\\al(2,2)＝4x2②，))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2，∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
7．(2021·广东深圳调研)设F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2，则椭圆C的离心率为( C )
A．eq \f(\r(3)－1,2) B．eq \f(\r(3)－1,3)
C．eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(\r(2),2)
[解析] 设M(c，y0)，则MF1的中点为Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(y0,2)))，即N在y轴上，N又在直线AB上，即点N与B重合，AB⊥BF1⇒kABkBF1＝－1⇒eq \f(b,a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,c)))＝－1.故b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，∴e＝eq \f(\r(5)－1,2)，选C．
8．(2021·吉林长春质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点(点A在第一象限)，且eq \(AB,\s\up6(→))＝4eq \(FB,\s\up6(→))，则直线l的倾斜角为( C )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
[解析]
如图，过A，B作AA′，BB′垂直准线x＝－eq \f(p,2)，垂足为A′，B′，过B作AA′垂线，垂足为C，由抛物线定义知|BF|＝|BB′|，|AF|＝|AA′|,3|BF|＝|AF|，2|BF|＝|AC|，所以cs∠BAC＝eq \f(1,2)，∠BAC＝eq \f(π,3)，所以直线l倾斜角为eq \f(π,3)，故选 C．
二、多选题
9．(2021·湖北黄冈调研)已知曲线C的方程为eq \f(x2,k－2)＋eq \f(y2,6－k)＝1(k∈R)，则下列结论正确的是( AB )
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±eq \r(3)x
C．“k>4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为eq \r(2)
[解析] k＝4时，C：x2＋y2＝2，A正确；k＝0时，C：eq \f(y2,6)－eq \f(x2,2)＝1，其渐近线方程由eq \f(y2,6)－eq \f(x2,2)＝0得y＝±eq \r(3)x，B正确；C表示焦点在x轴上的椭圆⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－2>0,6－k>0,k－2>6－k))即40，b>0)的一个焦点，∴c＝4.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \r(3)x，可得b＝eq \r(3)a，又c＝eq \r(a2＋b2)＝4，∴a＝2，b＝2eq \r(3)，∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
12．(2021·上海一模冲刺)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l，l与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|＝4，则a＝ eq \f(1,4) .
[解析] 由抛物线y＝ax2(a>0)，
所以抛物线的准线方程为y＝－eq \f(1,4a)，
由双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1，则渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，
因为|AB|＝4，由双曲线的对称性可知
y＝－eq \f(1,4a)与y＝－eq \f(1,2)x的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,4a)))，
把交点代入y＝－eq \f(1,2)x可得－eq \f(1,4a)＝－eq \f(2,2)，所以a＝eq \f(1,4).
13．(2021·长沙调研)过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为 y＝eq \f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0 .
[解析] 当直线l的斜率k存在且k≠0时，由相切知直线l的方程为y＝eq \f(1,3)x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为x＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝eq \f(1,3)x＋3或y＝3或x＝0.
四、解答题
14．(2021·黑龙江哈尔滨模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P(1，t)(t>0)作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M，N两点，
(1)证明：直线MN的斜率是－1；
(2)若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．
[解析] (1)P在抛物线y2＝4x上，∴t＝2，P(1,2)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题可知，kMP＋kNP＝0，
∴eq \f(y1－2,x1－1)＋eq \f(y2－2,x2－1)＝0，
∴eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)＋eq \f(y2－2,\f(y\\al(2,2),4)－1)＝0，∴eq \f(4,y1＋2)＋eq \f(4,y2＋2)＝0，
∴y1＋y2＝－4，
∴kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝－1.
(2)由(1)问可设：l：y＝－x＋m，
则|MN|＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))，|MF|＝x1＋1，|NF|＝x2＋1，
∴|MN|2＝8|MF||NF|，
∴(eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2)))2＝8(x1＋1)(x2＋1)，
即(x1＋x2)2－8x1x2－4(x1＋x2)－4＝0(*)，
将直线l与抛物线C联立，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋m,y2＝4x))
可得：x2－(2m＋4)x＋m2＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝16m＋16>0,x1＋x2＝2m＋4,x1x2＝m2))，
代入(*)式，可得m＝1满足Δ>0，∴l：y＝－x＋1.
15．(2021·江西南昌摸底)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率为eq \f(\r(3),2)，以F1为圆心以1为半径的圆与以F2为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若△ABF2的面积为eq \f(5,4)eq \r(3)，求直线l的方程．
[解析] (1)设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由两圆交点在椭圆上，2a＝1＋3＝4，得a＝2，
由离心率为eq \f(\r(3),2)，eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，得b＝1，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)因为点A的坐标为(0,1)，
所以直线l的方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程得到：eq \f(x2,4)＋(kx＋1)2＝1⇒(4k2＋1)x＋8kx＝0，
因为xA＝0，
所以xB＝－eq \f(8k,4k2＋1)，yB＝eq \f(1－4k2,4k2＋1)，
又因为直线l与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,k)，0))，点F2的坐标为(eq \r(3)，0)，
所以eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(1,k)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1－4k2,4k2＋1)))＝eq \f(5\r(3),4)，
解得k＝eq \f(\r(3),2)或k＝eq \f(5\r(3),6)，
所以，直线l的方程为y＝eq \f(\r(3),2)x＋1或y＝eq \f(5\r(3),6)x＋1.
B组能力提升
1．(2018·课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( B )
A．eq \f(3,2) B．3
C．2eq \r(3) D．4
[解析] 由双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝eq \r(3)，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B.
2．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( D )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
[解析] 显然02.另一方面，由AB的中点为M，知B(6－x1,2y0－y1)，∴(2y0－y1)2＝4(6－x1)，又∵yeq \\al(2,1)＝4x1，∴yeq \\al(2,1)－2y0y1＋2yeq \\al(2,0)－12＝0.∴Δ＝4yeq \\al(2,0)－4(2yeq \\al(2,0)－12)>0，即yeq \\al(2,0)0)的一个顶点为A(0，－3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．
[解析] (1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，
由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.
所以，椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，
所以AB⊥CP.
依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在，
设直线AB的方程为y＝kx－3.
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，
可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，解得x＝0或x＝eq \f(12k,2k2＋1).
依题意，可得点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).
由3eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为eq \f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq \f(3,2k2－6k＋1).
又因为AB⊥CP，所以k·eq \f(3,2k2－6k＋1)＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，
解得k＝eq \f(1,2)或k＝1.
所以，直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)x－3或y＝x－3.
5．(2020·广东佛山质检)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点(2,1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆x2＋y2＝2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM|＝|PN|.
[解析] (1)设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点(2,1)．
所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝6，b2＝3，
所以椭圆C的方程为：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)①当直线PM的斜率不存在时，依题意，可得直线PM的方程为x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2).
若直线PM：x＝eq \r(2)，直线MNy＝x，可得
M(eq \r(2)，eq \r(2))，N(－eq \r(2)，－eq \r(2))，P(eq \r(2)，－eq \r(2))，
则|PM|＝2eq \r(2)，|PN|＝2eq \r(2)，所以|PM|＝|PN|；
若直线PM：x＝－eq \r(2)，由对称性，同理可得|PM|＝|PN|，
②当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为y＝kx＋m，
∵直线PM与圆x2＋y2＝2相切，
∴圆心O到直线PM的距离为eq \f(|m|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，
即|m|＝eq \r(21＋k2)，
设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m,\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1))，消元y，整理得
(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2).
∴|PM|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \f(2\r(2)\r(1＋k2)·\r(1＋4k2),1＋2k2)
∵|PN|＝eq \r(x1＋x22＋y1＋y22)，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4km,1＋2k2)))＋2m＝eq \f(2m,1＋2k2)，
∴|PN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4km,1＋2k2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m,1＋2k2)))2)＝eq \f(2|m|\r(1＋4k2),1＋2k2).
∵|m|＝eq \r(21＋k2)，
∴|PN|＝eq \f(2\r(2)\r(1＋k2)·\r(1＋4k2),1＋2k2)＝|PM|.
综上可知|PM|＝|PN|成立．