2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：选修4-4.1 坐标系

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第一节 坐标系
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．极坐标的概念
(1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做①________，从O点引一条射线Ox，叫做②________，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为③________.
(2)极坐标：
对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的④________，θ叫做点M的⑤________，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
当点M在极点时，它的极径⑥________，极角θ可以取⑦________.
(3)点与极坐标的关系：
平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示⑧________，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
3．常见曲线的极坐标方程
二、必明3个易误点
1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
2．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．
3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系，但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．
eq \x(考点一) 直角坐标系中的伸缩变换
[自主练透型]
1．求双曲线C：x2－eq \f(y2,64)＝1经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得曲线C′的焦点坐标．
2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝3y))的作用下得到曲线的方程为y′＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x′＋\f(π,6)))，求函数y＝f(x)的最小正周期．
悟·技法
伸缩变换公式应用时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λxλ>0，y′＝μyμ>0，))建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式.
考点二 极坐标与直角坐标的互化
[自主练透型]
3．[2018·北京卷]在极坐标系中，直线ρcs θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cs θ 相切，则a＝________.
4．[2018·江苏卷]在极坐标系中，直线l的方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝2，曲线C的方程为ρ＝4cs θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
悟·技法
1.极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的非负半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．极坐标与直角坐标互化的策略
(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.
考点三 曲线的极坐标方程的应用
[互动讲练型]
[例] [2019·全国卷Ⅱ]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
悟·技法
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
[变式练]——(着眼于举一反三)
[2019·全国卷Ⅲ]如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧eq \x\t(AB)，eq \x\t(BC)，eq \x\t(CD)所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧eq \x\t(AB)，曲线M2是弧eq \x\t(BC)，曲线M3是弧eq \x\t(CD).
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
选修4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
【知识重温】
①极点 ②极轴 ③极坐标系 ④极径 ⑤极角 ⑥ρ＝0 ⑦任意值 ⑧同一个点 ⑨ρcs θ ⑩ρsin θ ⑪x2＋y2 ⑫eq \f(y,x)(x≠0)
⑬ρ＝r(0≤θ＜2π) ⑭ρ＝2rcs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤θ＜\f(π,2)))
⑮ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) ⑯ρcs θ＝a ⑰ρsin θ＝a(0＜θ＜π) ⑱ρsin(α－θ)＝asin α
课堂考点突破
考点一
1．解析：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由上述可知，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′，))
代入x2－eq \f(y2,64)＝1，
得eq \f(x′2,9)－eq \f(4y′2,64)＝1，
化简得eq \f(x′2,9)－eq \f(y′2,16)＝1，
即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，
则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．解析：由题意，把变换公式代入曲线
y′＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x′＋\f(π,6)))
得3y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
整理得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
所以y＝f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π.
考点二
3．解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ＝x，,ρsin θ＝y，,ρ2＝x2＋y2))可将直线ρcs θ＋ρsin θ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2cs θ，即ρ2＝2ρcs θ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
又∵直线与圆相切，∴圆心(1,0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝eq \f(|1－a|,\r(2))＝1，解得a＝1±eq \r(2)，∵a＞0，∴a＝1＋eq \r(2).
答案：1＋eq \r(2)
4．解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cs θ，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为
ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝2，
则直线l过A(4,0)，倾斜角为eq \f(π,6)，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为 B，则∠OAB ＝eq \f(π,6).
如图，连接OB.
因为OA为直径 ，从而∠OBA＝eq \f(π,2)，
所以AB＝4cseq \f(π,6)＝2eq \r(3).
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2eq \r(3).
考点三
例 解析：(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝eq \f(π,3)时，ρ0＝4sin eq \f(π,3)＝2eq \r(3).
由已知得|OP|＝|OA|cs eq \f(π,3)＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点．连接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.
经检验，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))在曲线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cs θ＝4cs θ，即ρ＝4cs θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
故θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
变式练
解析：(1)由题设可得，弧eq \x\t(AB)，eq \x\t(BC)，eq \x\t(CD)所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,4)))，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0 ≤θ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(2π,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化
公式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝⑨ y＝⑩ ))
ρ2＝⑪________
tan θ＝⑫________
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，
半径为r的圆
⑬____________________
圆心为(r,0)，
半径为r的圆
⑭____________________
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，
半径为r的圆
⑮____________________
过极点，倾斜角
为α的直线
(1)θ＝α(ρ∈R)或
θ＝π＋α(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0)和
θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a,0)，与
极轴垂直的直线
⑯____________________
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与
极轴平行的直线
⑰____________________
过点(a,0)，
倾斜角为α
的直线
⑱____________________