2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.5古典概型几何概型学案理含解析北师大版

第五节　古典概型、几何概型

授课提示：对应学生用书第215页

知识点一　古典概型

1．古典概型特点

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性Ｗ．

（2）每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性Ｗ．

2．古典概型概率公式

P（A）＝＝．

• 温馨提醒 •

1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．

2．概率的一般加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）中，易忽视只有当AB＝∅，即A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），此时P（AB）＝0．

1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　）

A．0．6　　　　　　　　　 B．0．5

C．0．4  D．0．3

解析：设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，而都是女同学的情形有（A，B），（A，C），（B，C），共3种，故所求概率为＝0．3．

答案：D

2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为_________．

解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝．

答案：

3．（易错题）从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为_________．

解析：采用间接法，从某班5名学生中任选3人共有10种选法，3名学生全为男生的有1种选法．至少有1名女生的对立事件是没有女生，即全为男生，所以所求概率P＝1－＝．

答案：

知识点二　几何概型

（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

（3）公式：

P（A）＝．

• 温馨提醒 •

易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．

1．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为_________．

解析：坐标小于1的区间为[0，1），长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为．

答案：

2．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为_________．

解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π．因此满足条件的概率是＝1－．

答案：1－

授课提示：对应学生用书第216页

题型一　几何概型　　

考法（一）　与长度、角度有关的几何概型

[例1]　（1）从区间[－2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　令t＝2x，函数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得⇒a≥1，又a∈[－2，2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1，2]，故P＝．

[答案]　A

（2）如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为_________．

[解析]　设OA＝3，则AB＝3，所以AP＝，由余弦定理可求得OP＝，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝．

[答案]　

　1．与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．

2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

考法（二）　与体积有关的几何概型

[例2]　如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_________．

[解析]　设球的半径为R，则所求的概率为P＝＝＝．

[答案]　

　与体积有关的几何概型的求法

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．

考法（三）　与面积有关的几何概型

[例3]　（1）（2021·长沙联考）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）

A．1－  B．

C．  D．1－

[解析]　鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－．

[答案]　A

（2）已知实数m∈[0，1]，n∈[0，2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是（　　）

A．1－  B．

C．  D．－1

[解析]　关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根，Δ＝16m2－16（－n2＋2n）≥0得m2＋（n－1）2≥1，如图所示，长方形面积为2，扇形面积为，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为＝1－．

[答案]　A

解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域面积，其解题流程为：

 [题组突破]

1．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图像分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin x的最小正周期T，又T＝＝12，所以大圆的面积S＝π·＝36π，一个小圆的面积S′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝．

答案：B

2．（2021·江西九江模拟）星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有1，10两路．每路车都是间隔10分钟一趟，1路车到站后，过4分钟10路车到站．不计停车时间，则小张坐1路车回家的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意可知小张下班后坐1路公交车回家的时间段是在10路车到站与1路车到站之间，共6分钟．设“小张坐1路车回家”为事件A，则P（A）＝＝．

答案：D

 3．记函数f（x）＝的定义域为D，在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是_________．

解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝．

答案：

4．（2021·太原五中模拟）已知四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2．现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥P­ABCD内部的概率为_________．

解析：把四棱锥P­ABCD扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R，即2＝2R，R＝，则四棱锥的体积为×2×2×2＝，球的体积为×π（）3＝4π，则该点取自四棱锥P­ABCD内部的概率P＝＝．

答案：

题型二　古典概型　　

[例]　（2021·兰州双基测试）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．

（1）求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

[解析]　（1）∵有放回地抽取3次，∴总的结果有：3×3×3＝27（种），满足要求的有3种．

设“抽取卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3）共3种，

∴概率P（A）＝＝．

（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（B）＝1－P（）＝1－＝，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．

求古典概型概率的步骤

（1）判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；

（3）利用公式P（A）＝，求出事件A的概率．

[题组突破]

1．（2020·高考全国卷Ⅰ）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　　）

A．　　　 B．　　　　

C．　　　　 D．

解析：从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为＝．

答案：A

2．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．

解析：（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝．

（2）设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C．

则P（B）＝＝，P（C）＝＝．

由互斥事件的概率加法公式，

得P（A）＝P（B）＋P（C）＝＋＝，

故所求事件的概率为．

　古典概型与几何概型应用中的核心素养

（一）数学建模——古典概型与几何概型中的数学文化问题

[例1]　（1）（2019·高考全国卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝．

[答案]　A

（2）（2021·辽宁五校联考）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝2交抛物线y2＝4x于A，B两点．点A，B在y轴上的射影分别为D，C．从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

[解析]　在抛物线y2＝4x中，取x＝2，可得y＝±2，所以S矩形ABCD＝8，由阿基米德理论可得弓形面积为××4×2＝，则阴影部分的面积为8－＝．由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为＝．

[答案]　B

解决与数学文化有关的概率问题关键是根据条件判断概率模型．

[题组突破]

1．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）

A．　　　　　　　　　 B．

C．1－  D．1－

解析：直角三角形的斜边长为＝17，

设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3．

∴内切圆的面积为πr2＝9π，

∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－．

答案：D

2．（2021·武汉市高三调研测试）我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中抽一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为．

答案：B

（二）创新应用——古典概型与几何概型的交汇创新应用

[例2]　（1）从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（1，－1）垂直的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

[解析]　由题意可知m＝（a，b）有：（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，3），（3，5），（4，1），（4，3），（4，5），（5，1），（5，3），（5，5），共12种情况．

因为m⊥n，即m·n＝0，

所以a×1＋b×（－1）＝0，即a＝b，

满足条件的有（3，3），（5，5），共2个，

故所求的概率为．

[答案]　A

（2）（2021·洛阳第一次联考）如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（　　）

A．　　　 B． 

C．　　　 D．

[解析]　由题意知圆O的面积为π3，正弦曲线y＝sin x，x∈[－π，π]与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝2sin xdx＝－2cos x＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝．

[答案]　B

解决古典概型、几何概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型、几何概型的步骤求解．

[题组突破]

1．已知函数f（x）＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为_________．

解析：要使函数f（x）＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有3×3＝9（种），其中满足a＞b的取法有（4，3），（6，3），（6，5），（8，3），（8，5），（8，7），共6种，所以所求的概率为＝．

答案：

2．已知点O（0，0），A（2，1），B（1，－2），C，动点P（x，y）满足0≤·≤2且0≤·≤2，则点P到点C的距离大于的概率为_________．

解析：因为点O（0，0），A（2，1），B（1，－2），C，动点P（x，y）满足0≤·≤2且0≤·≤2，

所以如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|＞对应的平面区域为阴影部分．

由解得

即E，所以|OE|＝ ＝，

所以正方形OEFG的面积为，

则阴影部分的面积为－，

所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－．

答案：1－