2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10第5课时利用导数研究函数零点问题学案理含解析北师大版

第五课时　利用导数研究函数零点问题

授课提示：对应学生用书第57页

题型一　函数零点个数的讨论 

[例]　(2021·德州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋a－.设函数g(x)＝xf(x)，讨论g(x)在区间(0，1)上零点的个数．

[解析]　由题意可知g(x)＝xf(x)＝－x3＋ax－，g′(x)＝－3x2＋a，0＜x＜1，当a≥3时，g′(x)＝－3x2＋a＞0，g(x)在(0，1)上单调递增，

因为g(0)＝－＜0，g(1)＝a－＞0，

所以g(x)有一个零点；

当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)单调递减，g(0)＜0，g(1)＜0，

g(x)在(0，1)无零点；

当0＜a＜3时，g(x)在上单调递增，

在上单调递减，

可得g(x)在(0，1)上的最大值为g＝  －，

①若g＜0，即0＜a＜，g(x)在(0，1)上无零点；

②若g＝0，即a＝，g(x)在(0，1)上有一个零点；

③若g＞0，即＜a＜3，g(0)＜0，g(1)＝a－，

当＜a＜时，g(x)在(0，1)上有两个零点；

当≤a＜3时，g(x)在(0，1)上有一个零点；

综上可得，a＜时，g(x)在(0，1)上无零点；

当a＝或a≥时，g(x)在(0，1)上有一个零点，

当＜a＜时，g(x)在(0，1)上有两个零点．

利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．

(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置．

(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

[对点训练]

　设函数f(x)＝x2－2kln x(k＞0)．

(1)当k＝4时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)试讨论函数f(x)在区间(1，]上的零点个数．

解析：(1)当k＝4时，f(x)＝x2－8ln x，

则f(x)定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．

当x变化时，函数f′(x)，f(x)变化情况如表所示：

所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)，

函数在x＝2处取得极小值f(2)＝4－8ln 2，无极大值．

(2)易知f(x)的最小值为f()＝k－kln k，

若函数有零点，则有f()≤0，解得k≥e.

当k≥e时，函数f(x)在(1，]上单调递减．

又f(1)＝1＞0，f()＝e－k≤0，

所以函数f(x)在(1，]上有一个零点，

当0＜k＜e时，函数f(x)的最小值为正数，所以函数f(x)在(1，]上没有零点，

综上，当k≥e时，函数f(x)在(1，]上有一个零点，

当0＜k＜e时，函数f(x)在(1，]上没有零点．

题型二　根据零点求参数范围问题 

[例]　(2020·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

[解析]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.

当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)f′(x)＝ex－a.

①当a≤0时，f′(x)＞0，

所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．

故f(x)至多存在一个零点，不合题意．

②当a＞0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a.

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；

③当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．

故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)．

(i)若0＜a≤，则f(ln a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)至多存在一个零点，不合题意．

(ii)若a＞，则f(ln a)＜0.

因为f(－2)＝e－2＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)存在唯一零点．

由(1)知，当x＞2时，ex－x－2＞0.

所以当x＞4且x＞2ln(2a)时，f(x)＝e·e－a(x＋2)＞eln(2a)·－a(x＋2)＝2a＞0.

故f(x)在(ln a，＋∞)存在唯一零点．

从而f(x)在(－∞，＋∞)有两个零点．

综上，a的取值范围是.

与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图像与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图像的交点问题．

[对点训练]

已知a＞0，函数f(x)＝ln x＋－2.

(1)记g(a)＝f(a2)，求g(a)的最小值；

(2)若f(x)有三个不同的零点，求a的取值范围．

解析：(1)g(a)＝ln a2＋－2＝2，g′(a)＝2＝.所以当0＜a＜1时，g′(a)＜0，g(a)单调递减．当a＞1时，g′(a)＞0，g(a)单调递增．所以g(a)的最小值为g(1)＝0.

(2)f′(x)＝－＝，x＞0.因为f(x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，从而方程x2＋(2a2－4a)x＋a4＝0有两个不同正根，所以有解得0＜a＜1.当0＜a＜1时，由(1)得，当x≠1时，g(x)＞0，即ln x＋－1＞0，所以ln x＞－，则x＞e－(x＞0)，令x＝，得＞e－.因为f(e－)＜－＋－2＝－＜0，f(a2)＞0，f(1)＝－2＝＜0，f(e2)＝＞0，所以f(x)在(e－，a2)，(a2，1)，(1，e2)内各有一个零点，故所求a的取值范围是[0，1)．