2021届高中数学一轮复习第三章导数及其应用第四节第2课时导数与函数零点的综合问题课件（文数）（北师大版）

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思想方法　化归与转化思想在函数零点(方程的根)中的应用　典例已知函数f(x)=ln x+ (a∈R且a≠0).世纪金榜导学号(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当x∈ 时,试判断函数g(x)=(ln x-1)ex+x-m的零点个数.
【解析】(1)f′(x)= (x>0),当a<0时,f′(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,由f′(x)= >0,得x> ,由f′(x)= <0,得00时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)当x∈ 时,函数g(x)=(ln x-1)ex+x-m的零点个数,等价于方程(ln x-1)ex+x=m的根的个数.令h(x)=(ln x-1)ex+x,则h′(x)= ex+1.由(1)知当a=1时,f(x)=ln x+ -1在上单调递减,在(1,e)上单调递增,所以当x∈ 时,f(x)≥f(1)=0.所以 +ln x-1≥0在x∈ 上恒成立.所以h′(x)= ex+1≥0+1>0,
所以h(x)=(ln x-1)ex+x在x∈ 上单调递增,所以h(x)min= ,h(x)max=h(e)=e.所以当m< 或 m>e时,函数g(x)在上没有零点;当 ≤m≤e时,函数g(x)在上有一个零点.
【思想方法指导】(1)涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围.(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.
【迁移应用】已知函数f(x)=x+ +ln x,a∈R.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在区间[1,2)上单调递增,求实数a的取值范围.(3)讨论函数g(x)=f′(x)-x的零点个数.
【解析】 (1)因为函数f(x)在x=1处取得极值,f′(x)=所以f′(1)=0,即 =0,解得a=2,经检验,当a=2时,函数f(x)在x=1处取得极小值.所以实数a的值为2.(2)f′(x)= ,x>0.因为函数f(x)在区间[1,2)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间[1,2)上恒成立.即a≤x2+x在区间[1,2)上恒成立.易得当1≤x<2时,2≤x2+x<6,
所以a≤2.故实数a的取值范围为(-∞,2].(3)因为g(x)=f′(x)-x,所以g(x)=1- -x, x>0.令g(x)=0得a=-x3+x2+x,令h(x)=-x3+x2+x,x>0,则h′(x)=-3x2+2x+1=-(3x+1)(x-1).
当x∈(0,1)时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.画出函数h(x)的草图,
易得h(x)≤h(1)=1,并且图像无限靠近于原点,且当x→+∞时,h(x)→-∞,故当a>1时,函数g(x)无零点;当a=1或a≤0时,函数g(x)有一个零点;当0