2020-2021学年陕西省汉中市高二（上）11月考试数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省汉中市高二（上）11月考试数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={1,2,3}，B={x|x−2x+1<0}，则A∩B=( )
A.⌀B.{1}C.{1,2}D.{1,2,3}

2. 在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，a6=5，则S11的值是( )
A.60B.11C.50D.55

3. 过点1,0且与直线y=12x−1平行的直线方程是( )
A.y=12x−12B.y=12x+12C.y=−2x+2 ．D.y=−12x+12

4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=1，A=120∘，则此三角形解的情况为( )
A.无解B.只有一解
C.有两解D.解的个数不确定

5. 函数fx=x3e|x|的图象大致是( )
A.B.
C.D.

6. 若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A.ac>bcB.(a−b)c2>0C.1a<1bD.−2a<−2b

7. 若关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为⌀，则实数a的取值范围是( )
A.0,4B.0,4C.[0,4）D.(−∞,0]∪(4,+∞)

8. 《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为( )
A.6.5尺B.12.5尺C.9.5尺D.15.5尺

9. 已知函数f(x)=ex−e−x2，则f(x)( )
A.是奇函数，在R上单调递减
B.是偶函数，在R上单调递增
C.是奇函数，在R上单调递增
D.是偶函数，在R上单调递减

10. 已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an+1=an−1an+1，数列{an}前n项和为Sn，则S2016等于( )
A.504B.588C.−588D.−504

11. 在各项均为正数的等比数列an中，a62+2a5a9+a82=25，则a1a13的最大值是( )
A.25B.254C.5D.25

12. 已知数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N∗，都有an+1=a1+an+n，则1a1+1a2+⋯+1a2019=( )
A.20182019B.20192020C.40362019D.20191010
二、填空题

不等式x−1x−3≤0的解集为________.

若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120∘（其中O为原点），则k的值为________．

若x，y满足约束条件x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最大值为________．

如图所示，为了测量A，B两岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15∘，北偏东45∘方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60∘方向，则A，B两岛屿的距离为________海里.

三、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+2b=2ccsA.
(1)求C；

(2)若a=1,△ABC的面积为3，求c．

已知数列{ an}的前n项和为Sn=33n−n2.
(1)求证：{an}是等差数列；

(2)求Sn的最大值及取得最大值是n的值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−asinB+asinA=csinC，c=2.
(1)求△ABC的外接圆半径R；

(2)求△ABC面积的最大值．

已知正项等比数列{an}满足a1=2，2a2=a4−a3，数列{bn}满足bn=1+2lg2an.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)令cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4.

(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求三棱锥P−ABC的体积．

某市财政下拨一项专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益M（百万元）可表示为投放资金x（百万元）的函数为Mx=50−50010+x；处理污染项目五年内带来的生态收益N（百万元）可表示为投放资金x（百万元）的函数为Nx=0.2x.
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的生态收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；

(2)求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省汉中市高二（上）11月考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
先求出集合B，再利用集合的交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=1,2,3，
B={x|x−2x+1<0}
=x|−1∴ A∩B=1.
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的定义和性质可得S11=11×(a1+a11)2=11a6，把已知条件代入运算求得结果．
【解答】
解：∵ 等差数列{an}中，a6=5，
Sn是数列{an}的前n项和，
∴S11=11×(a1+a11)2
=11×a6=55.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
与直线y=12x−1平行的直线方程可设为y=12x+c(c≠−1），将点1,0代人，求出c即可求解.
【解答】
解：与直线y=12x−1平行的直线方程可设为:
y=12x+c(c≠−1），
将点1,0代人，得0=12+c，
解得c=−12，
故所求直线方程为y=12x−12．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
解三角形
【解析】
由题意得到该三角形为钝角三角形，据此求解.
【解答】
解：∵ a=3>b=1，A=120∘为钝角，
∴ A>B，
∴ 此三角形只有唯一解．
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵f(−x)=(−x)3e|x|=−x3e|x|=−f(x)，
∴f(x)是奇函数，故排除A，B选项；
当x>0时，f(x)>0，故排除D选项.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
不等式的概念与应用
【解析】
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误．
【解答】
解：∵ a，b，c∈R且a>b，
∴ 取c＝0，可排除A，B；
取a＝1，b＝−1可排除C．
由不等式的性质知当a>b时，−2a<−2b，故D正确．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
集合中元素的个数
【解析】
对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，当不为0时，把解集为⌀化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围．
【解答】
解：当a=0时，不等式化为1≤0，解集为空集，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2+ax+1≤0的解集为⌀，
即所对应图象均在x轴上方，
∴ a>0，Δ=a2−4a<0，
解得0综上，满足要求的实数a的取值范围是[0,4).
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
数列的应用
【解析】
设十二节气日影子长为等差数列{an}，公差为d，由已知得，a1+a4+a7=37.5⇒3a4=3a1+12d=37.5，a12=a1+11d=4.5，可解得a1=15.5，d=−1,利用等差数列的通项公式即可得出立夏的日影子长a10=a1+9d=6.5尺．
【解答】
解：设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二节气的日影子长为等差数列{an}，
公差为d，前n项和为Sn，
由已知得，a1+a4+a7=37.5⇒3a4=3a1+9d=37.5，
a12=a1+11d=4.5，
解得a1=15.5，d=−1,
故立夏的日影子长a10=a1+9d=6.5尺.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
复合函数的单调性
【解析】
根据函数奇偶性和单调性定义，进行判断即可．
【解答】
解：∵ f(−x)=e−x−ex2=−ex−e−x2=−f(x)，
∴ f(x)是奇函数．
∵ 函数的定义域为R，
又∵ y=ex是增函数，∴ y=e−x是减函数，
则y=−e−x是增函数，
故f(x)=ex−e−x2是增函数.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
数列的求和
函数的周期性
【解析】
由条件可得数列的前几项，可得数列{an}为周期为4的数列，即有an+4=an，即可得到S2016．
【解答】
解：由题意可得a1=2，a2=a1−1a1+1=13，
a3=a2−1a2+1=−12，a4=a3−1a3+1=−3，
a5=a4−1a4+1=2，⋯，
可得数列{an}为周期为4的数列，即有an+4=an，
则S2016=a1+a2+a3+...+a2016
=(2+13−12−3)+...+(2+13−12−3)
=−76×504=−588．
故选C．
11.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由等比数列的性质，求得a6+a8=5 ，再结合基本不等式，即可求得a1a13的最大值，得到答案．
【解答】
解：由等比数列的性质，
可得a62+2a5a9+a82=a62+2a6a8+a82
=a6+a82=25，
又因为an>0，所以a6+a8=5，
所以a1a13=a6a8≤a6+a822=254，
当且仅当a6=a8=52时取等号．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
数列的求和
数列递推式
【解析】
利用累加法求出数列数列{an}的通项，再利用裂项相消法求和即可.
【解答】
解：由a1=1，an+1=a1+an+n，
得an+1−an=n+1，
∴ an=an−an−1+an−1−an−2+⋯+a2−a1+a1
=n+n−1+n−2+⋯+2+1=nn+12(n≥2)，
当n=1时，也满足an=nn+12，
∴ 1an=2nn+1=21n−1n+1，
∴ 1a1+1a2+⋯+1a2019
=2×1−12+12−13+⋯+12019−12020
=2×1−12020=20191010.
故选D．
二、填空题
【答案】
[1,3)
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
原不等式等价于x−1x−3≤0且x−3≠0，求解即可.
【解答】
解：∵ x−1x−3≤0，
∴ x−1x−3≤0且x−3≠0，
解得1≤x<3.
故答案为： [1,3).
【答案】
±3
【考点】
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
【解析】
根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120∘（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．
【解答】
解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且∠POQ=120∘（其中O为原点），如图：
可得∠OPE=30∘，
OE=OPsin30∘=12，
即圆心O(0, 0)到直线y=kx+1的距离
d=12=|0−0+1|k2+12⇒k=±3.
故答案为：±3．
【答案】
6
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
本题主要考查线性规划的应用.
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=−32x+12z，
平移直线y=−32x+12z，
由图象知当直线y=−32x+12z经过点A2,0时，直线的截距最大，此时z最大，
最大值为z=3×2=6.
故答案为：6．
【答案】
56
【考点】
余弦定理
正弦定理
解三角形的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接AB，如图：
由题意可知，CD=10海里，∠ADC=105∘，∠BDC=45∘，
∠BCD=90∘，∠ACD=30∘，
∴ ∠CAD=45∘，∠ADB=60∘.
∵ 在△ACD中，由正弦定理，得ADsin30∘=10sin45∘，
∴ AD=52（海里）.
∵ 在Rt△BCD中，∠BDC=45∘，∠BCD=90∘，
∴ BD=2CD=102（海里）．
在△ABD中，由余弦定理，
得AB=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB
=50+200−2×52×102×cs60∘
=56（海里）．
故答案为：56.
三、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理得，
sinA+2sinB=2sinCcsA,
而sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC,
∴ sinA+2sinAcsC=0
又∵ sinA≠0，
∴ csC=−12．
∵ C∈0,π，
∴ C=2π3.
(2)∵ S△ABC=12absinC
=12×1×b×sin2π3=3，
解得b=4，由余弦定理知，
c2=a2+b2−2abcsC
=1+16−2×1×4×cs2π3=21，
∴ c=21.
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理得，
sinA+2sinB=2sinCcsA,
而sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC,
∴ sinA+2sinAcsC=0
又∵ sinA≠0，
∴ csC=−12．
∵ C∈0,π，
∴ C=2π3.
(2)∵ S△ABC=12absinC
=12×1×b×sin2π3=3，
解得b=4，由余弦定理知，
c2=a2+b2−2abcsC
=1+16−2×1×4×cs2π3=21，
∴ c=21.
【答案】
(1)证明：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n=1时，a1=S1=32=34−2×1，满足an=34−2n，
故{an}的通项公式为an=34−2n，
所以an+1−an=34−2(n+1)−(34−2n)=−2，
故数列{an}是以32为首项，−2为公差的等差数列.
(2)解：∵Sn=33n−n2,
令f(x)=33x−x2,
∴当x=332时，函数f(x)=33x−x2取得最大值.
∴当n=16或n=17时，Sn有最大值.
∴S16=33×16−162=272.
【考点】
等差关系的确定
数列的概念及简单表示法
函数的最值及其几何意义
数列与函数的综合
【解析】
（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，验证当n=1时，也满足，于是可求得{an}的通项公式为an=34−2n，利用等差数列的定义证明即可；
（2）令an≥0可求得n≤17，从而可得答案．
【解答】
(1)证明：当n≥2时，an=Sn−Sn−1=34−2n，
又当n=1时，a1=S1=32=34−2×1，满足an=34−2n，
故{an}的通项公式为an=34−2n，
所以an+1−an=34−2(n+1)−(34−2n)=−2，
故数列{an}是以32为首项，−2为公差的等差数列.
(2)解：∵Sn=33n−n2,
令f(x)=33x−x2,
∴当x=332时，函数f(x)=33x−x2取得最大值.
∴当n=16或n=17时，Sn有最大值.
∴S16=33×16−162=272.
【答案】
解：(1)∵ (b−a)sinB+asinA=csinC，
由正弦定理得：(b−a)b+a2=c2，
即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又C∈0,π，
∴ c=π3，
∴ 2R=2sinC，解得：R=233.
(2)S△ABC=12absinπ3=34ab，
由a2+b2−c2=ab，c=2，得a2+b2=ab+4，
由a2+b2≥2ab，得ab+4≥2ab，即ab≤4，
∴ S△ABC=34ab≤3，当且仅当a=b=2时取等号，
∴ △ABC面积的最大值为3.
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式
三角形的面积公式
【解析】
(Ⅰ)直接由正弦，余弦定理得出答案；
(Ⅱ)利用基本不等式，即可求出面积最值.
【解答】
解：(1)∵ (b−a)sinB+asinA=csinC，
由正弦定理得：(b−a)b+a2=c2，
即a2+b2−c2=ab，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又C∈0,π，
∴ c=π3，
∴ 2R=2sinC，解得：R=233.
(2)S△ABC=12absinπ3=34ab，
由a2+b2−c2=ab，c=2，得a2+b2=ab+4，
由a2+b2≥2ab，得ab+4≥2ab，即ab≤4，
∴ S△ABC=34ab≤3，当且仅当a=b=2时取等号，
∴ △ABC面积的最大值为3.
【答案】
解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q，q>0，
由a1=2，2a2=a4−a3可得4q=2q3−2q2，
解得q=2(q=−1舍去)，
根据等比数列的通项公式可得：an=2n，
所以bn=1+2lg2an=1+2lg22n=1+2n.
(2)cn=an⋅bn=(2n+1)⋅2n，
所以Sn=3⋅2+5⋅22+7⋅23+...+(2n+1)⋅2n，①
2Sn=3⋅22+5⋅23+7⋅24+...+(2n+1)⋅2n+1，②
①−②可得−Sn=6+2(22+23+...+2n)−(2n+1)⋅2n+1
=6+2×4(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1
=−(2n−1)⋅2n+1−2，
化简可得Sn=2+(2n−1)⋅2n+1.
【考点】
数列的求和
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设等比数列的公比为q，q>0，运用通项公式可得q，可得所求通项公式；再由对数的运算性质可得bn；
（2）求得cn＝an⋅bn＝(2n+1)⋅2n，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和；
（3）运用数列的单调性可得最值，可得2λ2−kλ+2>32，运用参数分离和基本不等式可得所求范围．
(2)根据(1)的结果将cn表示出来，再利用错位相减法求数列{cn}的前n项和.
【解答】
解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q，q>0，
由a1=2，2a2=a4−a3可得4q=2q3−2q2，
解得q=2(q=−1舍去)，
根据等比数列的通项公式可得：an=2n，
所以bn=1+2lg2an=1+2lg22n=1+2n.
(2)cn=an⋅bn=(2n+1)⋅2n，
所以Sn=3⋅2+5⋅22+7⋅23+...+(2n+1)⋅2n，①
2Sn=3⋅22+5⋅23+7⋅24+...+(2n+1)⋅2n+1，②
①−②可得−Sn=6+2(22+23+...+2n)−(2n+1)⋅2n+1
=6+2×4(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1
=−(2n−1)⋅2n+1−2，
化简可得Sn=2+(2n−1)⋅2n+1.
【答案】
(1)证明:∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，且AB⫋平面ABCD，
∴ AB⊥平面PAD.
又∵ AB//CD，
∴ CD⊥平面PAD,
∵ CD⫋平面PCD,
∴ 平面PCD⊥平面PAD.
(2)解：取AD的中点O，连接PO，
由△PAD为正三角形，AD=2，
可得PO=3，
又S△ABC=12×AB×AD=2，
故VP−ABC=13×S△ABC ×PO
=13×2×3=233.
【考点】
平面与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
证明CD⊥平面PAD，即可得出平面PCD⊥平面PAD;
（Ⅱ）先计算棱锥的高，再代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】
(1)证明:∵ 平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，且AB⫋平面ABCD，
∴ AB⊥平面PAD.
又∵ AB//CD，
∴ CD⊥平面PAD,
∵ CD⫋平面PCD,
∴ 平面PCD⊥平面PAD
(2)解：取AD的中点O，连接PO，
由△PAD为正三角形，AD=2，
可得PO=3，
又S△ABC=12×AB×AD=2，
故VP−ABC=13×S△ABC ×PO
=13×2×3=233.
【答案】
解：(1)由题意，处理污染项目的投放资金为100−x百万元，
则N100−x=0.2100−x，
∴y=50−5010+x+0.2100−x
=70−5010+x+x5，x∈0,100.
(2)由(1)得y=70−5010+x+x5
=72−50010+x+10+x5
≤72−250010+x⋅10+x5=52,
当且仅当50010+x=10+x5，即x=40时等号成立，
此时100−x=100−40=60，
故y的最大值为52，此时投资给植绿护绿和处理污染项目的资金分别为40百万元和60百万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（Ⅰ）y=Mx+Nx=50−50010+x+0.2100−x，进行化简即可得y关于x的解析式，而定义域x∈0,100.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y=70−50010+x+x5=72−50010+x+10+x5，再利用基本不等式即可得解．
【解答】
解：(1)由题意，处理污染项目的投放资金为100−x百万元，
则N100−x=0.2100−x，
∴y=50−5010+x+0.2100−x
=70−5010+x+x5，x∈0,100.
(2)由(1)得y=70−5010+x+x5
=72−50010+x+10+x5
≤72−250010+x⋅10+x5=52,
当且仅当50010+x=10+x5，即x=40时等号成立，
此时100−x=100−40=60，
故y的最大值为52，此时投资给植绿护绿和处理污染项目的资金分别为40百万元和60百万元．