2022年中考数学专题复习类型七 与面积有关的探究题（解析版）

类型七 与面积有关的探究题

【典例1】已知，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合)，线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.

(1)如图①，当AC＝BC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是________；

(2)如图②，当AC＝BC，点P在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)如图③，若＝，点P在线段CB的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面积．

第1题图

【答案】解：(1)PB＝2CM；

【解法提示】如解图①，过点Q作QD⊥AC于点D，

第1题解图①

QE⊥BC交BC的延长线于点E.

∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的，

∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，

∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°，

∴∠QAD＝∠APC，

∴△ACP≌△QDA(AAS)，

∴AC＝QD＝CE，

又∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC＝BC＝EC，即点C为BE的中点，

∴CM＝QE，即QE＝2CM，

连接AE，∵AC＝CE＝BC，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴AE＝AB，

∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ，

又∵AP＝AQ，

∴△APB≌△AQE(SAS)，

∴BP＝QE＝2CM，

∴PB＝2CM；

(2)(1)中的结论PB＝2CM仍然成立；

证明：如解图②所示，过点Q作QG⊥BC交BC的延长线于点G，过点A作AF⊥QG交QG的延长线于点F.

第1题解图②

∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的，

∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，

∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，

又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°，

∴∠PAC＝∠QAF，

∴△PAC≌△QAF(AAS)，

∴AC＝AF，

∴四边形AFGC为正方形，

∴CG＝AC＝BC，即C为BG的中点，

∴QG＝2CM，

连接AG可得，△ABG为等腰直角三角形，

∴AB＝AG，

∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°，

∴∠PAB＝∠QAG，

∴△PAB≌△QAG(SAS)，

∴PB＝QG＝2CM，

∴PB＝2CM；

(3)    如解图③所示，过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H.

第1题解图③

由题知，＝，设AC＝5a，BC＝2a，

由(2)知，△ACP≌△QHA，

∴QH＝AC＝5a，

又∵△BCM∽△QHM，

∴＝，

∴＝，∴MH＝5，

又∵AP＝AQ＝13，

∴在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：QH2＋AH2＝AQ2，

∴(5a)2＋(5a＋2＋5)2＝132，

化简得：5a2＋7a－12＝0，

即(a－1)(5a＋12)＝0，

解得：a1＝1，a2＝－(舍)，

∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5，

∴BP＝PC－BC＝12－2＝10，

∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.

【典例2】如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

  （1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；

（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？

（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）

（2）∵S△OMP =×OM×，

∴S =×（6 -t）×=+2t．

   ＝（0 < t <6）．

∴当时，S有最大值．

（3）存在．

由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），

则直线ON的函数关系式为：．

设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，

解方程组得

∴直线ON与MT的交点R的坐标为．

【典例3】如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面积为，AD＝．

【解析】

【分析】

（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；

（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；

（3）过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．

【详解】

解：（1）全等，理由是：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，

∵△DCE都是等边三角形，

∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，

∴，

∴BD＝；

（3）如图2，过点A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，

∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，

∴AF＝AC×sin∠ACF＝，

∴S△ACD＝，

∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，

在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，

∴AD＝．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．

【典例4】阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边的重心为点，求与的面积．

（2）性质探究：如图（二），已知的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．

①若正方形的边长为4，求的长度；

②若，求正方形的面积．

【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．

【解析】

【分析】

（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；

（2）根据（1）的证明可求解；

（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；

②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.

【详解】

（1）连接DE，如图，

∵点O是的重心，

，是，C边上的中线，

为，边上的中点，

为的中位线，

，，

，

，

，

，，

；

（2）由（1）可知，是定值；

是定值；

（3）①∵四边形ABCD是正方形，

，，

为CD的中点，

，即；

②，且

∴，

，

，

，

，

又

∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．

【点睛】

本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．