广东省2022届高三上学期开学联考 数学 (含答案)练习题

这是一份广东省2022届高三上学期开学联考 数学 (含答案)练习题，共11页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
3. 函数 SKIPIF 1 < 0 具有性质（ ）
A. 最大值为2，图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称B. 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称
C. 最大值为2，图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称D. 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
4. 一个圆柱的侧面展开图是一个面积为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
6. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. 12B. 10C. 9D. 8
7. 2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
8. 已知点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上，椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且圆 SKIPIF 1 < 0 上的所有点均在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外，若 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴长恰与圆 SKIPIF 1 < 0 的直径长相等，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的切线，则切线斜率为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手
打出的分数的茎叶图（其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为数字0~9中的一个），在去
掉一个最高分和一个最低分后，则有（ ）
A. 甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数
B. 甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数
C. 甲选手得分的众数与 SKIPIF 1 < 0 的值无关
D. 甲选手得分的方差与 SKIPIF 1 < 0 的值无关
10. 已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直
C. 对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 D. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0
11. 如图，点 SKIPIF 1 < 0 是正方体 SKIPIF 1 < 0 中的侧面 SKIPIF 1 < 0 内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一条线段
B. 在线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角是 SKIPIF 1 < 0
C. 若正方体的棱长为1，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0
D. 点 SKIPIF 1 < 0 存在无数个位置满足到直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 的距离相等
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. 对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 都有零点.
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时，对 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立.
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的实数根.
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有2个不同的实数根.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为__________.
14. 已知二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为___________.
15. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则非零实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
16. 设正整数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的正整数 SKIPIF 1 < 0 有__________个，所有的这样的正整数 SKIPIF 1 < 0 的和为_____________.（用数字作答）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积，证明 SKIPIF 1 < 0 .
18. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 SKIPIF 1 < 0 .现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
19. 如图所示，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
20. 在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求
平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值.
21. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，试判断是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点 SKIPIF 1 < 0 的个数；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 有两个不同零点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（i）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（ii）若 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 .
数学参考答案
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分. 其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13． SKIPIF 1 < 0 14． SKIPIF 1 < 0 15． SKIPIF 1 < 0 16． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
三、解答题（本大题6小题，共70分）
17（1）可设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……2分
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）. ……4分
所以 SKIPIF 1 < 0 . ……5分
(2) SKIPIF 1 < 0 ……6分
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，……7分
①/②得 SKIPIF 1 < 0 ，……8分
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也成立. SKIPIF 1 < 0 ……9分
SKIPIF 1 < 0 ……10分
18(1)用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量 SKIPIF 1 < 0 ……1分
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 .……3分
答： SKIPIF 1 < 0 例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为 SKIPIF 1 < 0 .……4分
(2)方案二：混合一起检验，记检验次数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .……5分
SKIPIF 1 < 0 ……7分
方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .……8分
SKIPIF 1 < 0 ……10分 SKIPIF 1 < 0 ……12分
SKIPIF 1 < 0 的取值范围. SKIPIF 1 < 0
19（ SKIPIF 1 < 0 ）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， ……2分
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，……4分
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， ……5分
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ． ……6分
设四边形 SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， ……7分
所以 SKIPIF 1 < 0 ， ……8分
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，……9分
即 SKIPIF 1 < 0 ， ……10分
SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，……11分
所以 SKIPIF 1 < 0 ，……12分
20（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……1分
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形……2分
SKIPIF 1 < 0
……3分
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ……4分
（第一问直接用向量法，也相应给分）
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ……6分
如图建立空间指角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ……8分
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.……9分
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ……11分
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ……12分
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21（1）根据题意抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，……2分，解得 SKIPIF 1 < 0 ，……3分，
所以抛物线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．……4分
（2）由题意知， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，……5分
联立方程得 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，……6分
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .……7分
因为 SKIPIF 1 < 0 两点在抛物线C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，……8分，则
SKIPIF 1 < 0 ，
……9分
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ……10分
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，……11分
故满足 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 .……12分
22（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .……1分
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，
SKIPIF 1 < 0 ……3分
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
（2）（i） SKIPIF 1 < 0 的两个根为 SKIPIF 1 < 0 . ……4分
不妨设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ……5分
要证： SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 .……6分
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .……8分
（ii） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ……9分
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ……10分
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数， SKIPIF 1 < 0 ……11分
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .……12分
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A
B
ABD
BD
ACD
AC