2021届广东高三数学5月卫冕联考试卷及答案

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这是一份2021届广东高三数学5月卫冕联考试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学5月卫冕联考试卷
一、单项选择题
1.集合，，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D.
2.复数的虚部为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D.
3.“ 〞是“方程表示圆〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
4.函数的大致图象为〔    〕
A.                 B.                 C.                 D.
5.在梯形中，，，为的中点，，那么〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D.
6.核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度到达阈值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量.某被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，那么该样本的扩增效率约为〔    〕
(参考数据：， )
A. 0.369                                  B. 0.415                                  C. 0.585
7.双曲线C：的左､右焦点分别为，，M是C的渐近线上一点，，，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D.
8.函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，那么不等式的解集为〔    〕
A.                            B.                            C.                            D.
二、多项选择题
9.中国仓储指数是基于仓储企业快速调查建立的一套指数体系，由相互关联的假设干指标构成，它能够反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况.以下列图是2021年1月至2021年6月中国仓储业务量指数走势图，那么以下说法正确的选项是〔    〕

A. 2021年全年仓储业务量指数的极差为24%
B. 两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，4月份最高
C. 两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2021年低于2021年
D. 2021年仓储业务量指数的中位数为59%
10. ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.                      B.                      C.                      D.
11.函数，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 的图象关于点对称
B. 在上的值域为
C. 假设，那么，
D. 将的图象向右平移个单位长度得的图象
12.三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 正三棱柱外接球的外表积为
B. 假设直线与底面所成角为，那么的取值范围为
C. 假设，那么异面直线与所成的角为
D. 假设过且与垂直的截面与交于点，那么三棱锥的体积的最小值为
三、填空题
13.二项式的展开式中的常数项为________.
14.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法〞在?大衍历?中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即 .假设对同一“表高〞两次测量，“晷影长〞分别是“表高〞的2倍和3倍(所成角记， )，那么 ________.
15.假设函数有最小值，那么的一个正整数取值可以为________.
16.抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交抛物线于点，与轴平行，那么 ________.
四、解答题
17.在条件① ，，② ，，③ ，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
在中，角，，的对边分别为，，，且， ▲ ，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.数列的前项和为，且， .
〔1〕求数列的通项公式；
〔2〕假设数列满足，，求数列的前项和 .
19.如下列图，在三棱台中，，，，，分别为，的中点.

〔1〕证明：平面；
〔2〕假设，求平面和平面所成锐二面角的余弦值.
20.某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到以下列图的频率分布直方图.并依据质量指标值划分等级如表所示：

质量指标值m

或
等级
A级
B级
〔1〕根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值的平均数；
〔2〕以样本分布的频率作为总体分布的概率，解决以下问题：
〔i〕从所生产的零件中随机抽取3个零件，记其中A级零件的件数为，求的分布列和数学期望；
〔ii〕该企业为节省检测本钱，采用混装的方式将所有零件按400个一箱包装，一个A级零件的利润是12元，一个B级零件的利润是4元，试估计每箱零件的利润.
21.椭圆：的离心率为，椭圆的左､右焦点分别为，，点，且的面积为 .
〔1〕求椭圆C的标准方程；
〔2〕过点的直线与椭圆C相交于，两点，直线，的斜率分别为，，当最大时，求直线的方程.
22.函数 .
〔1〕假设的图象在点处的切线与直线平行，求的值；
〔2〕在〔1〕的条件下，证明：当时，；
〔3〕当时，求的零点个数.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由不等式，解得，即，
又由，所以 .
故答案为：B.

【分析】可以求出集合B,然后进行交集的运算即可.
2.【解析】【解答】由复数的运算法那么，可得，
所以复数的虚部为 .
故答案为：C.

【分析】根据复数的四那么运算进行化简，然后根据虚部的定义即可得到结论.
3.【解析】【解答】方法一：因为方程表示圆，，
所以，解得
所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件.
故答案为：B.
方法二：方程表示圆，
即表示圆，那么需，解得，
所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件.
故答案为：B.

【分析】根据圆的定义以及充分和必要条件的定义，即可得出答案。
4.【解析】【解答】因为，所以定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，排除A、B，
又因为当时，，排除C.
故答案为：D.

【分析】根据函数的奇偶性和对称性，排除A、B；代入特殊值，可排除C，即可得出答案。
5.【解析】【解答】连接，因为为的中点，所以，

因为，
所以，所以 .
故答案为：A.

【分析】连接，得到，进而得到，得到的值，即可求解。
6.【解析】【解答】由题意知，，
即，
所以，解得 .
故答案为：C.

【分析】由得，从而可求出p的值。
7.【解析】【解答】设，，，
由对称性不妨设点在第一象限，可知点在直线上，因为，，所以，，将代入，得，所以双曲线的离心率 .
故答案为：B.

【分析】由对称性不妨设点在第一象限，可知点在直线上，将代入，得，即可得出双曲线的离心率.
8.【解析】【解答】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，
那么，
因为任意满足，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故等价于，解得 .
故答案为：D

【分析】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，由可判断在上单调递增，在上单调递减，计算即可得出答案。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】2021年全年仓储业务量指数3月份最高为66%，2月份最低为42%，所以极差为24%，A符合题意；
2021年以及2021年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，所以两年上半年仓储业务量指数均是2月份最低，3月份最高，B不符合题意；
由折线图可知两年上半年仓储业务量指数的方差相比，2021年低于2021年，C符合题意；
2021年仓储业务量指数按从小到大的顺序排列为42%，51%，51%，56%，57%，58%，58%，58%，59%，60%，60%，66%，所以中位数为58%，D不符合题意.
故答案为：AC

【分析】根据折线图逐项进行判断，即可得出答案。
10.【解析】【解答】因为，可得，所以，所以A符合题意；
又由函数为单调递减函数，所以，所以B不符合题意；
由，，所以，所以C项正确；
由，所以，
当且仅当，时等号成立，所以D项正确.
故答案为：ACD.

【分析】由对数函数的单调性即可判断A、C；由指数函数的单调性即可判断B；由根本不等式可判断D。
11.【解析】【解答】由题得，，
令，那么，，A项错误，
当时，，，B项正确，
因为的周期，所以假设，那么，，C项错误，
将的图象向右平移个单位长度得的图象，D项正确.
故答案为：BD.

【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论.
12.【解析】【解答】选项：因为外接圆的半径，，所以正三棱柱外接球的半径，所以外接球的外表积为，故项正确；
选项：取的中点，连接，，，，由正三棱柱的性质可知平面平面，所以当点与重合时，最小，当点与重合时，最大，所以，故错误；
选项：将正三棱柱补成如下列图的直四棱柱，那么 (或其补角)为异面直线与所成的角，易得，，所以，故项错误；
选项：如下列图，因为，所以要使三棱锥的体积最小，那么三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如下列图，

因为，所以在以为直径的圆上，
所以点到底面距离的最大值为，
所以三棱锥的体积的最小值为，故项正确.
故答案为：AD.

【分析】根据正三棱柱体的结构特征，逐项进行分析，即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】二项式展开式的通项为：
，
那么二项式的展开式中的常数项为：
，
故答案为：-561.

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.
14.【解析】【解答】由题意，“晷影长〞分别是“表高〞的2倍和3倍，可得，，
所以 .
故答案为： .

【分析】由题意可得，，再结合两角差的正切公式求解即可。
15.【解析】【解答】在上单调递增，
∴ ；当时，，此时， .
∴ 在上单调递减，在上单调递增，
∴ 在上的最小值为，函数有最有最小值，那么，即，故的一个正整数取值可以为4.
故答案为：4

【分析】先求导函数，确定函数的单调区间，再利用在上的最小值为，求出，故的一个正整数取值可以为4.
16.【解析】【解答】由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，
设，那么，因为，所以，
直线：，令，得，即，
设，由，，三点共线，得，
整理得，解得或 (舍)，
所以，所以 .

故答案为：6

【分析】由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，设，，由，，三点共线，得，再利用两点间的距离公式即可求出。
四、解答题
17.【解析】【分析】假设选①:由正弦定理，余弦定理可求，结合范围，可求，由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可得解;
假设选②:由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合范围 ,可得，由余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解;
假设选③:由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得s ，进而可求，利用余弦定理可求bc的值，根据三角形的面积公式即可求解.
18.【解析】【分析】 (1)由数列递推式得到数列  的通项公式；
(2)利用累加法求得bn,取倒数后由裂项相消法求得数列  的前  项和  .
19.【解析】【分析】〔1〕取  的中点   ，连接   ，    ，由三棱台的性质知四边形  是梯形，得
，根据线面平行的判定定理可得平面   ，同理可得平面，再根据面面平行的判定定理可得平面  平面，再利用面面平行的性质定理可得平面；
〔2〕以  为原点，   ，    ，   的方向为   ，    ，   轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法可求出平面  和平面  所成锐二面角的余弦值。

20.【解析】【分析】〔1〕利用平均数公式直接求解即可；
〔2〕〔i〕可能取的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，求出  的分布列和数学期望；
〔ii〕设每箱零件中A级零件有  个，每箱零件的利润为  元，那么B级零件有  个，由题意知，由求出每箱零件的利润。
21.【解析】【分析】〔1〕由的面积为求得，再根据离心率求得，进而求得，即可求得椭圆C的标准方程；
〔2〕 ①当直线  的斜率为0时，那么；
②当直线  的斜率不为0时，设   ，    ，直线  的方程为   ，由   ，整理得   ，由韦达定理可得，，    ，令  ，当  时，  ；当  时，  ，即可求得直线  的方程。
22.【解析】【分析】〔1〕求出导函数，求出切线的斜率，然后求出m的值；
〔2〕由〔1〕得当  时，   ，当  时，因为   ，所以  在  上单调递增，可证得；
〔3〕由〔2〕可知当  且  时，   ，对函数求导，令   ，，对函数求导可得单调性，由零点存在定理可知  在  上只有一个零点，又f(0)不为0，所以  在  上只有一个零点.