2021届湖南省长沙市四大名校名师团队高三下学期数学高考猜题卷A 及答案

这是一份2021届湖南省长沙市四大名校名师团队高三下学期数学高考猜题卷A 及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期数学高考猜题卷A
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
2.假设 ．那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108．那么编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为〔    〕

一百零八塔全景
A. 第5行，呈葫芦状           B. 第6行，呈葫芦状           C. 第7行，呈宝瓶状           D. 第8行，呈宝瓶状
4.一次表彰大会上，方案安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时假设要求来自同一年级的学生不相邻，那么不同的排法共有〔    〕种．
A. 36                                        B. 48                                        C. 72                                        D. 120
5.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图象，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 是奇函数                                              B. 的图象关于直线 对称
C. 的周期是                                           D. 在区间 上单调递减
6.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， ．那么这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为〔    〕
A. 甲同学和乙同学             B. 丙同学和乙同学             C. 乙同学和甲同学             D. 丙同学和甲同学
7.有两条互相垂直的直线 和 ，有一条定长的线段 ，它的两个端点分别被限制于这两条直线上．点 是 上的一个确定点，即点 到点 和点 的距离的比值是一个定值．那么，随着线段 的运动，点 的运动轨迹及焦距长为〔    〕
A. 椭圆，焦距长为                                            B. 椭圆，焦距长为
C. 双曲线，焦距长为                            D. 双曲线，焦距长为
8.设函数 满足 ，且对 ， ，都有 ．令集合 ，那么集合 中的元素个数为〔    〕
A. 2021                                   B. 2021                                   C. 4040                                   D. 4042
二、多项选择题
9.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体
B. 如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体
C. 如果采用系统抽样的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法
D. 如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等
10.设实数 、 、 满足 ， ，那么以下不等式成立的是〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
11.设正方体 的棱长为1，点 在线段 上运动，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 假设点 为线段 的中点时，
B. 假设点 与点 重合时，异面直线 与 所成角的大小为
C. 假设 时，二面角 的正切值为
D. 假设 与点 重合时，三棱锥 外接球的外表积为
12.函数 ， ，假设关于 的方程 的解 ，那么实数 的可能取值为〔    〕
A.                                          B. -1                                         C. 0                                         D. 1
三、填空题
13.平面向量 ， ，设 ， ________．
14. 的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个 的值________．
15.等比数列 中， ， ，那么满足 成立的最大正整数 的值为________．
16.双曲线 的渐近线为正方形 的边 、 所在的直线，点 为该双曲线的右焦点，假设过点 的直线与直线 、 的分别相交于 、 两点，那么 内切圆半径的最大值为________．
四、解答题
17.等比数列 的各项均为正数， 、 、 成等差数列，且 ．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 〔 且 〕，求数列 的前 项和 的最值．
18.某市一湿地公园建设工程中，拟在如下列图一片水域打造一个浅水滩，并在 、 、 、 四个位置建四座观景台，在凸四边形 中， 千米． 千米．

〔1〕用 表示 ；
〔2〕现要在 、 两处连接一根水下直管道， ，问最少应准备多少千米管道〔结果可用根式表示〕．
19.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 是边长为 的等边三角形，平面 平面 ， 为 中点．

〔1〕设平面 平面 ，证明： ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
20.核酸检测是诊断新冠病毒〔nCoV〕的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性.2021年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是 ．在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测．检测方式有三种选择：
方式一：逐个检测；
方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；
方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；
其中，假设混合样本1次检测结果呈阴性，那么认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，假设混合样本1次检测结果呈阳性，那么对该组样本中的各个样本再逐个检测．
〔附： ， ， ．〕
〔1〕假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；
〔2〕假设 ，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义〔不要求证明〕．
21.抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，该点到原点的距离与到 的准线的距离相等．
〔1〕求抛物线 的方程；
〔2〕过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与以焦点 为圆心2为半径的圆交于 ， 两点，点 ， 在 轴右侧．
①证明：当直线 与 轴不平行时，
②过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ， 与 相交于点 ，求 与 的面积之积的取值范围．
22.函数 ．
〔1〕当 时，求函数 的单调区间；
〔2〕当 时，求证： 总存在唯一的极小值点 ，且 ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，
故答案为：C

【分析】有绝对值不等式求出集合B，再根据交集运算即可求得。
2.【解析】【解答】 ．
故答案为：D．

【分析】由复数代数形式乘除运算化简即可求出。
3.【解析】【解答】因为 ，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．
故答案为：C

【分析】根据题意算出佛塔依山势自上而下前六行总数，然后确定编号为26的佛塔所在层数和塔体形状即可。
4.【解析】【解答】先排高一年级学生，有 种排法，①假设高一年级学生中间有高三学生，有 种排法；②假设高一学生中间无高三学生，有 种排法，所以共有 种排法．
故答案为：B．

【分析】先排高一年级学生，再分高一年级学生中间有高三学生或无高三学生，问题得以解决。
5.【解析】【解答】函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，那么 .
A：因为 ，所以 是奇函数，因此本选项说法正确；
B：因为 ，所以 的图象不关于直线 对称，因此本选项说法不正确；
C：因为 的周期是 ，所以本选项说法不正确；
D：因为 ，所以 在区间 上单调递增，因此本选项说法不正确，
故答案为：A ．

【分析】由正弦型函数图像变换求出   的解析式，A依据正弦函数奇偶性可判断正确。
B有正弦函数对称性可判出错误。C由正弦函数周期性可判断错误。D由正弦函数单调性可判出错误。
6.【解析】【解答】 ， ．∵ ．∴ ．
又∵ ， ，∴ ．
∴有 ．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故答案为：C.

【分析】先根据根式化简比较   ，    ，    的大小，再通过合情推理即可推出。
7.【解析】【解答】在两条互相垂直的直线 和 上建立平面直角坐标系，

当点 在第一象限时，设 与 轴的夹角为 ，那么 的坐标为〔 ， 〕，
从而可知，点 在椭圆 上，点 的轨迹是四分之一个椭圆，
当点 在其它几个象限或坐标轴上时，点 的坐标满足方程 ，
所以点 的轨迹是一个椭圆，焦距长为 ．
故答案为：B

【分析】在两条互相垂直的直线 和 上建立平面直角坐标系,设 与 轴的夹角为 ， 从而可得P点坐标为〔 ， 〕，即可得出， 进而得出P点轨迹和焦距。
8.【解析】【解答】令 ，那么有 ，又 ，∴ ．
从而集合 中， 可化为 ．
即 ．
∵ ， ，∴ ， 必定为一奇一偶．
假设 为偶数时， 的取值可以为 ， ， ，…， ，共有2021个 ．
假设 为偶数时，同理也有2021个 ．
∴集合 中的元素个数共有 〔个〕．

【分析】令 ， 可求出， 推出集合满足，可推得 ， 必定为一奇一偶，即可得出结论。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】由题中数据可知，无论是运用系统抽样还是分层抽样，都不需要先剔除个体，A符合题意，B不符合题意．系统抽样确定起始号时需要用到简单随机抽样，C不符合题意．分层抽样时，所有个体被抽到的时机均等，D符合题意．
故答案为：AD.

【分析】根据系统抽样可判断A正确C错误，根据分层抽样可判断B错误D正确。
10.【解析】【解答】∵ ，两式相减得 ，即 ，∴ ．
又 ，∴ ．
而 ．∴ ，从而 ．
故答案为：BD ．

【分析】由解出b，再由作差法比较大小即可得出。
11.【解析】【解答】对于A，如以下列图，

正方体 中， 平面 ， 平面 ，那么 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，同理 ，又 ， 面 ，所以有 面 ，当 为 中点时， 面 ，∴ ，A符合题意；
对于B，如上图，同A中证明得 面 ， 面 ，∴ ．假设 与 重合时，异面直线 与 所成角为 ，B不符合题意；
对于C，如以下列图，当 时，过 作 ，垂足为 ，

那么 ， ．
正方体中， 面 ，从而有 ， 可得二面角 的平面角为 ．
∴ ，C符合题意．
对于D，点 与 重合时，三棱锥 的外接球即正方体 的外接球，其直径 ．∴其外表积 ，D符合题意．
故答案为：ACD．

【分析】A由线面垂直的性质和判定可推出A正确，B由异面直线所成角可判断B错误，C由二面角定义可推出C正确，D由球外表积可求得D正确。
12.【解析】【解答】 ， ，当 时， ，
故 在 单调递减，那么 恒成立，
那么当 时， 在 无解，C不符合题意；
令 ，
假设 ，那么 时， ，此时 恒成立，显然D不符合题意；
对于A，B， ， ．
，当 时， 在 上恒为正，故 在 上单调递增．
又因为 ， ．∴ 在 上存在唯一零点 ，
当 ， ； ， ．∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．
∴ ，而 ，故 在 上存在唯一零点，A，B符合题意．
故答案为：AB.

【分析】利用导数推出在 单调递减，那么 恒成立，令可推出C错误，令可推出D错误，根据导数推出当 时h(x)=在 ，上存在唯一零点，   ，所以A,B正确。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
因此 ．
故答案为：

【分析】由向量坐标运算求得， 再用向量模长求出
14.【解析】【解答】 的展开式的通项为 ， ， ．
假设系数为有理数，那么 ，且 ．当 时， ；
时 ；
时 ；
时 ，6；
时 无解；
时 ，8；
时 ，6；
时 ，10；
时 ，8，
时 ，6，12．
所以 可取6，8，9，10，11中的任意一个值．
故答案为： 取6，8，9，10，11中任意一个值均可．

【分析】根据二项式定理求出通项，再在1到12中逐个判断符合题意的n值。
15.【解析】【解答】 为等比数列，设其公比为 ，由 得， ， ，解得 ，又 ．∴ ．
因为 ，所以数列 也是等比数列，其首项为 ，公比为 ．
∴ ，从而有 ．
∴ ．故 ．
故答案为：3.

【分析】根据等比数列通项公式求出， 再推出数列 也是等比数列，再根据等比数列前n项和公式求出，可解得故 。
16.【解析】【解答】由题意得 ，过 、 向 轴作垂线，垂足分别为 ， ．

设 ， ，那么 ， ．
，所以有 ．
又 ，有 ．〔当且仅当 时等号成立〕．
的内切圆半径 令 ， ，那么 在 上单调递减．
∴当 时， 有最大值为 ．
故答案为：

【分析】过 、 向 轴作垂线，垂足分别为 ， ， 设 ， ，利用三角形面积推出，然后求出的内切圆半径，再由单调性求出r的最大值即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕根据等比数列通项公式即可求得。
〔2〕根据等差数列前n项和公式求出   ，再分当  和   两种情况即可求出。
18.【解析】【分析】〔1〕由余弦定理求出BD2= 可求得。
〔2〕由余弦定理求出BD=， 从而   ， 所以  为等腰三角形 ，从而求出cos,再利用余弦定理可求出AC。
19.【解析】【分析】〔1〕由线面垂直的性质和判定推出 平面  平面   ，再有面面垂直性质 推出 平面 进而推得  。
〔2〕 设  中点为 依据面面垂直性质推出  平面 ，再由 四边形  为矩形 推出 ，以  为原点，  为  轴，  为  轴，  为  轴，建立空间直角坐标系，由法向量夹角可求得 平面  与平面  所成锐二面角的余弦值 。
20.【解析】【分析】〔1〕 记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件 ， 由古典概率可求得。〔2〕 假设选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行  次核酸检测 ， 假设选择方式二，记每个4口之家检测次数为   ， 那么  可能取值为2，4，6 ，得到分布列，然后求出期望。 假设选择方式三进行核酸检测，记每个4口之家检测次数为   ， 那么  可能取值为1，5 得到分布列然后求期望，推出  ，得到结果。
21.【解析】【分析】〔1〕由题意联立方程组可求出p进而得到抛物线方程。〔2〕联立方程组求出点A,B所在方程,设  是抛物线  上任一点,求 可判断抛物线与圆相离，①由抛物线定义可推出  。② 根据导数求出过点A切线斜率进而求过点A出切线方程，同理求出过点B切线方程，联立方程组解出D点坐标，再根据点到直线距离公式求出高d，进而求出  与  DBN 的面积之积大于等于16.
22.【解析】【分析】〔1〕 当  时， 求出的 导数再利用导数可求出单调区间。
〔2〕利用导数推出   ， 再由  即   ， 设 依据导数判出   在  上单调递增且 ，推出 当  时，都恰有一个   ， 使得  ,     并 且当  时  ，当  时 ，即可得出   总有唯一的极小值点 。所以  ，从而  ，可得极小值 ，
由 易得 ， 令   ， 那么   ， 设f(x0)==+-t+1,由导数即可推出  。