2021届高考理数押题密卷B及答案

这是一份2021届高考理数押题密卷B及答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，〔二〕选考题，[选修4-5等内容，欢迎下载使用。
高考理数押题密卷B
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 5
3.样本数据为 ，该样本平均数为 ，方差为 ，现参加一个数 ，得到新样本的平均数为 ，方差为 ，那么〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
4.某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.声强 〔单位： 〕)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级 〔单位： 〕与声强 的函数关系式为 ，其中 为正实数. 时， .假设整改后的施工噪音的声强为原声强的 ，那么整改后的施工噪音的声强级降低了〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
5.设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，假设在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的离心率 为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.假设非零向量 满足 ， ，那么 与 的夹角为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
7.在 中，内角 ､B､ 所对的边分别为 ､b､ ，假设角 ､C､ 成等差数列，角 的角平分线交 于点 ，且 ， ，那么 的值为〔    〕
A. 3                                       B.                                        C.                                        D. 



8.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，那么该四棱锥的外接球外表积为〔    〕

A. 32π                                  B.                                   C. 41π                                  D. 
9.函数 满足 ，且 的最小值为 ，那么 的值为〔    〕
A.                                        B. 1                                       C.                                        D. 2



10.曲线 在 ， ，两点处的切线分别与曲线 相切于 ， ，那么 的值为〔    〕
A. 1                                          B. 2                                          C.                                           D. 
11.抛物线 的焦点为F，点 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，那么 的最大值是〔   〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
12.函数 有两个零点 ，且存在唯一的整数 ，那么实数 的取值范围是〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13.实数 ， 满足 ，那么 的最小值为________．
14.的展开式中的常数项为________．
15.设圆锥的顶点为 ， 为圆锥底面圆 的直径，点 为圆 上的一点〔异于 、 〕，假设 ，三棱锥 的外接球外表积为 ，那么圆锥的体积为________.
16. ， 在 上恒成立，那么实数 的取值范围为________．
三、解答题：共70分。 〔一〕必考题：共60分。
17. 数列满足 ， .
〔1〕证明：数列 为等差数列.
〔2〕求数列 的前 项和.
18.2021年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚决如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如下表所示:
土地使用面积 〔单位：亩〕
1
2
3
4
5
管理时间 〔单位：月〕
8
10
14
24
23
并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的局部数据如下表所示;
 
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
140
60
女性村民
40
 
参考公式：
参考数据：
〔1〕做出散点图，判断土地使用面积 与管理时间 是否线性相关;并根据相关系数 说明相关关系的强弱．(假设 ，认为两个变量有很强的线性相关性， r值精确到0.001).
〔2〕假设以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，那么从该贫困县村民中任取3人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
19.如以下图，直角梯形 中， ， ， ，四边形EDCF为矩形， ，平面 平面 .

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20.椭圆 ，其上顶点与左右焦点 围成的是面积为 的正三角形.
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕过椭圆 的右焦点 的直线 ( 的斜率存在)交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，问： 是否是定值？假设是，求出定值：假设不是，说明理由.
21.函数 ， .
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕假设 ，求 的值；
〔3〕证明： .
四、〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数).以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
〔1〕求曲线 的普通方程和直线 的倾斜角;
〔2〕点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 ，求 的值.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设 ， ， 为正实数，函数 的最小值为 ，且满足 ，求 的最小值.

答案解析局部
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
1.【解析】【解答】因为 ，所以
故答案为：A

【分析】根据题意首先由一元二次不等式的解法求出不等式的解集，即集合B再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】方法一：两边取模可得： .
方法二：由题知 ， .
故答案为：C

【分析】先表示出复数 ， 然后利用 复数的运算性质求解即可。
3.【解析】【解答】 的平均数为 .方差为
那么参加 后平均数为方差
方差为 .
故答案为：B

【分析】 利用平均数的计算公式以及方差的计算公式求解新数据平均数和方差即可．
4.【解析】【解答】由得 ，解得 ，故 .
设施工噪音原来的声强为 ，声强级为 ，整改后的声强为 ，声强级为 ，
那么 .
故答案为：D.

【分析】 由求出a，由此牵出L的关系式，再代入I的值，即可求解．
5.【解析】【解答】依题意 ，可知三角形 是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知 ，
根据双曲定义可知 ，整理得 ，
代入 整理得 ，求得 ；
∴ ．
故答案为：D．

【分析】 利用条件和双曲线性质，结合三角形的几何性质，由此得出a与b之间的关系，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
6.【解析】【解答】 ， ，
又 ，
又向量夹角范围为 ，所以 与 的夹角为 ，
故答案为：C.

【分析】首先由数量积的运算公式整理得出， 再由条件结合夹角的数量积公式代入数值计算出cos的值，结合角的取值范围即可求出夹角的大小。
7.【解析】【解答】因为 是 平分线，所以 ， ， ，
角 ､ ､ 成等差数列，所以 ，而 ，所以 ，
在 中， ，即 ，
在中， ，即 ，
由 ，解得 。
故答案为：C．

【分析】因为 是 平分线，所以 ， ， ，再利用角 ､ ､ 成等差数列，再结合三角形内角和为180度的性质，进而求出角C的值，在 中利用余弦定理，得出， 在中利用余弦定理得出， 再结合条件 ， 从而解方程组求出a,b,c的值。
8.【解析】【解答】根据三视图可得原几何体如以下图，

且 平面 ， ，
为 的中点，四边形 为正方形，其边长为4.
设 为正方形 的中心， 为 的外心，
那么外接球的球心 满足 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，故 ，同理
所以四边形 为矩形.
在正方形 中， ，
在 中， ，故 ，
故外接球半径为 ，故外接球的外表积为 ，
故答案为：C.

【分析】根据三视图可得原几何体如以下图，确定出球心的位置，求出外接球的半径，可求外接球的体积。
9.【解析】【解答】 ，那么 ， ，且 ，
设函数 的最小正周期为 ，那么 ， ，可得 ，
，因此， 。
故答案为：A.

【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的最值，再利用 ，设函数 的最小正周期为 ，再利用条件 的最小值为 ， 进而结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，从而求出函数的解析式，再结合代入法求出函数值。
10.【解析】【解答】由题设有 ，化简可得 即 ，
整理得到 ，同理 ，不妨设 ，
令 ，
因为当 时， 均为增函数，故 为增函数，
同理当 时，故 为增函数，
故 分别为 在 、 上的唯一解，
又 ，故 ，
故 为 在 的解，故 即 .
所以 ，
故答案为：B.

【分析】 根据公切线的性质，结合切点满足的条件，得出， 再构造函数， 利用对数函数和反比例函数的单调性即可得到 为增函数，再由方程根的定义代入整理得出， 由此整理得到即可得出答案。
11.【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，设 垂直于准线于 ，

由抛物线的性质可得 ，
所以那么 ，
当 最小时，那么 值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即 最小，
由题意可得 ，
设切线PA的方程为： ，
，整理可得 ，
，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，
即P的横坐标为1，即P的坐标 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为： ，
故答案为：B．

【分析】 由抛物线的性质可得|PF|等于P到准线的距离|PP'|，进而可得 的最大值是直线PA的倾斜角最大时，即直线PA与抛物线相切，设过点A的相切方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线的参数的值，代入整理的方程求出P的坐标，进而求出 的最大值．
12.【解析】【解答】由题意 ，得 ，
设 ，求导
令 ，解得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故当 时，函数取得极大值，且
又 时， ；当 时， ，故 ；
作出函数大致图像，如以下图：

又 ，
因为存在唯一的整数 ，使得 与 的图象有两个交点，
由图可知： ，即
故答案为：B.

【分析】 根据函数零点的定义，求出再构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性求出函数的极值，然后由数形结合法利用方程的根和图像的关系，即可得出从而得出答案即可。
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。
13.【解析】【解答】由约束条件可得可行域如以下图阴影局部所示：

将 化为 ，那么当 取最小值时， 在 轴截距最大，
由图象可知：当 过 时，直线在 轴截距最大，
由 得： ， ，
.
故答案为：-7.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最大值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
14.【解析】【解答】 的展开式的通项 ，
所以 的展开式中的常数项为 ．
故答案为：19.

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，再结合题意由常数项的定义代入数值计算出结果即可。
15.【解析】【解答】设圆锥 的外接球球心为 ，那么 在直线 上，

设球 的半径为 ，那么 ，解得 .
由勾股定理得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 或 .
当 时，圆锥 的体积为 ；
当 时，圆锥 的体积为 .
故答案为：24π或8π.

【分析】画出圆锥的直观图，判断三棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，求解外接球的半径，然后求解圆锥的高，即可得到圆锥的体积。
16.【解析】【解答】易知 ，所以不等式 ，
即 ．
当 时， ， ， ，所以 ，即 ，又 ，所以 ；当 时， ，对任意的实数 ，原不等式恒成立；当 时， ， ， ，所以 ，即 ，又 ，所以 ．综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为：

【分析】根据题意即可得出不等式等价于， 分情况讨论当 时和当 时，由不等式的解法整理即可得出a的取值范围，并把结果并起来即可。
三、解答题：共70分。 〔一〕必考题：共60分。
17.【解析】【分析】〔1〕将   两边同时除以   ， 即可证数列  为等差数列；
〔2〕利用〔1〕的结论可求出数列  的通项公式，再利用乘公比错位相减求和。
18.【解析】【分析】 (1)结合表中数据和相关系数r的参考公式计算r的值，得解；
(2) 从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的舞率力言，即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，由此得出并代入数值计算出结果即可；再结合数学期望公式计算出答案即可。
19.【解析】【分析】(1) 取 中点G，连接 ,所以， 又因为， ，
所以，再结合平行四边形的定义判断出四边形 为平行四边形，再利用平行四边形的结构特征推出线线平行，再利用线线垂直证出线线垂直，再利用面面垂直的性质定理证出线面垂直，即平面 ， 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量的数量积为0与两向量垂直的等价关系，进而结合数量积的坐标表示，从而证出两向量垂直，进而证出线面平行，即证出 平面 。
〔2〕以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量的数量积求向量夹角公式求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
20.【解析】【分析】 (1)根据题意由正三角形性质与面积公式可求得a，再由离心率公式求出c的值，结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系，得出b的值从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意分情况讨论：当直线l斜率不为0时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，进而求得|MN|，|PF|的表达式，由此得出；当直线l斜率为0时，直接求解即可.
21.【解析】【分析】〔1〕利用分类讨论的方法结合求导的方法讨论出函数的单调性。
〔2〕 由 ，即 ， 令 ，再利用指数与对数的互化公式，那么 ，所以 ， 由〔1〕可知，当 时， 在 单调递增，从而求出 的值 。
〔3〕令 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而证出不等式 成立。
四、〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.【解析】【分析】〔1〕 直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.
五、[选修4-5：不等式选讲]
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕 由〔1〕可知 ，再利用分类讨论的方法结合分段函数的图像，进而结合比较法求出分段函数的最小值，再利用函数 的最小值为 ， 从而求出t的值，再利用 ， 进而得出， 由 ， ， 为正实数，再利用二维形式的柯西不等式，进而求出 的最小值。