2021届广东省惠州市高三二模数学试题及答案

高三二模数学试题

一、单项选择题

1.设集合 ， ， ，那么以下集合不为空集的是〔    〕           

A.                                B.                                C.                                D. 

2.假设复数 满足 ，那么 的最大值为〔    〕           

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                           D. 9

3.同学们都知道平面内直线方程的一般式为 ，我们可以这样理解：假设直线 过定点 ，向量 为直线 的法向量，设直线 上任意一点 ，那么 ，得直线 的方程为 ，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，假设平面 过定点 ，向量 为平面 的法向量，那么平面 的方程为〔    〕           

A.         B.         C.         D. 

4.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，假设 时，函数 的图象在 的上方，那么实数 的最大值为〔    〕           

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

5.数列 的通项公式为 ，那么其前 项和为〔    〕           

A.                              B.                              C.                              D. 

6.韦达是法国杰出的数学家，其奉献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程 的3个实数根为 ， ， ，那么 ， ， .函数 ，直线 与 的图象相切于点 ，且交 的图象于另一点 ，那么〔    〕           

A.                  B.                  C.                  D. 

7.设双曲线 的焦距为2，假设以点 为圆心的圆 过 的右顶点且与 的两条渐近线相切，那么 长的取值范围是〔    〕           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

8.正数 ， ， 满足 ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕           

A.                           B.                           C.                           D. 以上均不对

二、多项选择题

9. ， ， ， ， ，那么以下结论中一定成立的有〔    〕           

A. 假设 ，那么
B. 假设 ，那么
C. 假设 ，那么
D. 假设 ，那么

10.设数列 的前 项和为 ，假设 ，那么以下说法中正确的有〔    〕           

A. 存在 ， ， 使得 是等差数列
B. 存在 ， ， 使得 是等比数列
C. 对任意 ， ， 都有 一定是等差数列或等比数列
D. 存在 ， ， 使得 既不是等差数列也不是等比数列

11.矩形 满足 ， ，点 为 的中点，将 沿 折起，点 折至 ，得到四棱锥 ，假设点 为 的中点，那么〔    〕           

A. 平面
B. 存在点 ，使得 平面
C. 四棱锥 体积的最大值为
D. 存在点 ，使得三棱锥 外接球的球心在平面 内

12.将平面向量 称为二维向量，由此可推广至 维向量 .对于 维向量 ， ，其运算与平面向量类似，如数量积 〔 为向量 ， 的夹角〕，其向量 的模 ，那么以下说法正确的有〔    〕           

A. 不等式 可能成立
B. 不等式 一定成立
C. 不等式 可能成立
D. 假设 ，那么不等式 一定成立

三、填空题

13.文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神〞“走进大国重器、感受中国力量〞“体验美丽乡村、助力乡村振兴〞三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路〞.这些精品线路中包含上海一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼〞、“两弹一星〞纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代开展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，那么至少含有1个传统红色旅游景区的选法有________种.   

14.满足等式 的数组 有无穷多个，试写出一个这样的数组________.   

15.假设向量 ， 满足 ，那么 的最小值为________.   

16.对于函数 ，有以下4个论断：甲：函数 有两个减区间；乙：函数 的图象过点 ；丙：函数 在 处取极大值；丁：函数 单调.假设其中有且只有两个论断正确，那么 的取值为________.   

四、解答题

17.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 满足 与 .   

〔1〕假设 ，求 的值；   

〔2〕求 的最大值.   

18.请在① ；② ；③ 这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题.命题：数列 满足 ，假设    ▲     ， 那么当 时， 恒成立.   

19.如图，在三棱柱 中， ， ，且平面 平面 . 

〔1〕求证：平面 平面 ；   

〔2〕设点 为直线 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.   

20.如图，在平面直角坐标系 中，点 是抛物线 上的一个点，其横坐标为 ，过点 作抛物线 的切线 . 

〔1〕求直线 的斜率〔用 与 表示〕；   

〔2〕假设椭圆 过点 ， 与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 ，求证： .   

21.运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 “归零〞的程序如下：按下回车键，等可能的将 中的任意一个整数替换 的值并输出 的值，反复按回车键执行以上操作直到输出 后终止操作.   

〔1〕假设输入的初始值 为3，记按回车键的次数为 ，求 的概率分布与数学期望；   

〔2〕设输入的初始值为 ，求运行“归零〞程序中输出 的概率.   

22.设 . 

〔参考数据： ， ， 〕

〔1〕求证：函数 一定不单调；   

〔2〕试给出一个正整数 ，使得 对 恒成立.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】解：由题意知，集合A表示的是函数的定义域，集合B表示的是函数的值域，集合C表示的是在函数图象上的点.
故答案为：A
【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.

2.【解析】【解答】解：]由题意可知，设z=a+bi，那么|z-i|=|a+(b-1)i|≤2,即a2+(b-1)2≤4，不妨设a=2cosθ，b=2sinθ+1，那么=a2+ b2=4cos2θ+ 2sin2θ+ 4sinθ+1=5十4sinθ≤9，
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算，结合共轭复数，复数的模求解即可.

3.【解析】【解答】解：设平面  内任意一点Q〔x,y,z〕，又 平面  过定点    ， 向量  为平面  的法向量，
那么，
那么由 得2×(1-x)+(-3)×(-y)+1×(-2-z)=0，
化简得2x-3y+z=0
故答案为：C

【分析】根据题意平面的方程的概念，结合向量垂直的判定求解即可.

4.【解析】【解答】解：由题意得， 作出函数f(x)，g(x)的图象，如下列图：

那么由图象可知，当f(x)=g(x)时，m取最大值，
由得，
解得
故答案为：C
【分析】根据图象的变换，结合三角函数的图象与性质求解即可.

5.【解析】【解答】解：由题意得
那么


故答案为：A
【分析】根据裂项相消法直接求解即可.

6.【解析】【解答】解：由题意得f'(x)=6x2-1，所以直线l的斜率k=f'(x1)=6x12-1，
且
即，
化简得(2x1+x2)(x1-x2)=0
因为x1-x2≠0
所以2x1+x2=0
故答案为：D
【分析】根据导数的几何意义，直线的斜率公式，结合多项式方程根与系数的关系求解即可.

7.【解析】【解答】解：由题意得2c=2，那么c=1，右顶点(a,0)，渐近线为，
圆：(x-m)2+(y-n)2=r2  ，
因为圆与渐近线相切，
所以， 那么mn=0
①m=0，圆心(0,n)，半径为|an|，
那么(a-m)2+n2=an2
那么矛盾；
②n=0，圆心(m,0)，半径为|bm|，
那么a-m=bm，那么,

∵0<b<1
∴
∴0<m2<1
∴
故答案为：B
【分析】根据双曲线的几何性质，结合直线与圆相切的充要条件，运用分类讨论思想求解即可.

8.【解析】【解答】解：令z=1，那么由xlny=zx得lny=1，所以y=e，又由xlny=yez得x=e2  ， 所以e2>e>1，即x>y>z
故答案为：A
【分析】利用特殊值法直接求解即可.

二、多项选择题

9.【解析】【解答】解：由题意可知，对于选项AB，假设σ1>σ2  ， 那么Y分布更加集中，那么在相同区间范围Y的相对概率更大，所以P(|X一μ1|≤1)<P(|Y_μ2|≤1)，所以选项A正确，选项B错误；
对于选项CD，由正态分布的性质可得，P(Y>μ1)=P(X≤μ2)，又P(X≤μ2)+P(X>μ2)=1，所以P(X>μ2)+P(Y>μ1)=1，所以选项C正确，选项D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据正态分布的性质求解即可.

10.【解析】【解答】解：由an+sn=An2+Bn+C得an-1+sn-1=A(n-1)2+B(n-1)+C，
那么an-an-1+an=A[n2-(n-1)2]+B[n-(n-1)]
2an-an-1=(2n-1)A+B(n≥2)
假设A=B=0，那么， 故B正确；
假设A=0，B≠0，那么2(an-B)=an-1-B
那么{an-B}是等比数列，
那么，
那么，
所以{an}既不是等差数列也不是等比数列，故D正确；
设a1=a，a2=a+k，a3=a+2k，…
那么a+2k=3A+B，a+3k=5A+B，
那么k=2，a=B-A
那么an=B-A+2A(n-1)=2An+B-3A
取A=B=1
那么an=2n-2，且满足2an-an-1=(2n-1)A+B，故A正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等差数列、等比数列的定义逐项判断即可.

11.【解析】【解答】解：对于A：取AB'的中点M，那么MP为△AB'D的中位线，MP//AD，且， AD//EC，AD=2EC，
那么四边形MECP为平行四边形，那么ME//CP，又因为， 所以CP//平面AB'E，故A正确；
对于B：假设存在点    ， 使得  平面 ， 那么CP⊥AD，又因为AD⊥CD，CP∩CD=C，所以AD⊥平面B'CD，AD⊥B'D，在△AB'D中，AB'=1，AD=2，AD>AB'，故AD不可能与B'D垂直，那么矛盾，故假设不成立，故B错误；
对于C：VB'-AECD=S面AECD·h
而B'到平面AECD的最大距离为△ABE中AE边上的高，此时平面AECD⊥平面AB'E，
如下列图：

故， 故C正确；
对于D：当平面AB'E⊥平面AECD时，存在点B’,使得三棱锥B' -ADE外接球的球心在平面AECD内，
如图：

B’H=， NH=
∴B’N=1
∵∠AEN=∠DEN=45° ,
∴AE⊥DE ，在直角三角形AED中， AE=ED，
N为AD的中点，
∴EN=AN=DN=1
那么B’N=EN=AN=DN=1
∴N为三棱锥B’ADE的外接球的球心，
∴N在平面AECD内，故D正确.
故答案为：ACD

【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；
对于B，利用反证法，结合线面垂直的判定定理即可判断；
对于C，根据棱锥的体积公式，结合图象即可判断；
对于D，利用球心的性质，即可判断.

12.【解析】【解答】解：对于AB，构造
那么， 即
即， 当且仅当时，等号成立，故A,B正确；
对于C，构造
那么， 即
即， 故C错误；
对于D，构造， ，
那么， 即
即
那么， 故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据题中n维向量的定义，结合向量的数量积及性质逐项判断即可.

三、填空题

13.【解析】【解答】解：由题得从上述12个景区中选3个景区，共有个结果,
由题得从_上述12个景区中选3个景区，全部不是传统红色旅游景区的选法有，
所以至少含有1个传统红色旅游景区的选法有220-35=185种.
故答案为: 185
【分析】根据排列与组合数的求法，结合题意，利用间接法求解即可

14.【解析】【解答】解：由题意可知，可令α=0，那么1-tanβ=2，所以tanβ=-1，那么可令，
故答案为：
【分析】根据题意，利用特殊值法求解即可.

15.【解析】【解答】解：因为 ，
所以
所以
由
所以
所以
解得
故答案为：
【分析】根据向量的数量积，结合根本不等式求最值即可

16.【解析】【解答】解：显然甲错误，假设丁正确，那么甲、丙错误，乙正确f(1)=m+n+1=-lm+n=-2，

f'(x)=+ 2mx +n≥0在(0,+∞) 上恒成立

+ 2mx-m-2≥0 ，2mx2-(m+2)x+1≥0

那么△=(m+2)2-8m=(m-2)2≤0m=2

假设丁错误，那么甲错误，乙丙正确

此时,
此时

但此时f(x)在x= 1取极小值3，舍去
综上: m=2.
故答案为：2
【分析】利用导数研究函数的单调性及极值逐项判断即可.

四、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕根据向量的数量积直接求解即可；
〔2〕根据向量的数量积，结合余弦定理和根本不等式求解即可.

18.【解析】【分析】先根据等比数列的定义可判断{lgan}是等比数列，从而求得   ，构造  ，利用bn+1-bn<0即可判断an≥2n

19.【解析】【分析】〔1〕先根据正弦定理、余弦定理，结合了面面垂直及线面垂直的性质定理，再根据面面垂直的判定定理即可求证；

〔2〕利用向量法直接求解线面角即可.

20.【解析】【分析】〔1〕利用导数的几何意义直接求解即可；

〔2〕利用点差法，结合直线的斜率公式，以及两直线垂直的充要条件即可求证.

21.【解析】【分析】〔1〕根据离散型随机变量的分布列与期望，结合独立事件的概率求法直接求解即可；

〔2〕法一：根据题意分别列出Pn  ， Pn+1  ， 并作差即可求得 ，再求得   从而求解；
法二：根据题意分别列出Pn  ， Pn+1  ， 并作差即可求得 ，利用代入法求得   从而求解；
法三：先列出Pn+1(n)，Pn+2(n)，Pn+3(n)，再根据类比法，求得Pk(n) 从而求解；
法四：先列出Pk(n)，kPk(n)，并作差即可求得 从而求解.

22.【解析】【分析】〔1〕利用导数研究函数的单调性即可求证；

〔2〕取a=1，根据   ， ，   分类讨论，
当  时 ，易得；
当  时 ，运用化归思想，将恒成立问题转化为求函数g(x)的最值问题即可求证；
当  时， 运用分析法证明即可.