2021届四川省绵阳市高三理数第三次诊断考试试卷及答案

这是一份2021届四川省绵阳市高三理数第三次诊断考试试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第三次诊断考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
2.假设复数 满足 ，那么复数 在复平面内对应的点在〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
3.假设 ， 满足约束条件 那么 的最小值为〔    〕
A. -10                                        B. -8                                        C. 16                                        D. 20
4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据以下列图，2021年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，以下说法错误的选项是〔    〕

A. 2021年全国居民每月消费价格与2021年同期相比有涨有跌
B. 2021年1月至2021年12月全国居民消费价格环比有涨有跌
C. 2021年1月全国居民消费价格同比涨幅最大
D. 2021年我国居民消费价格中3月消费价格最低
5.函数 是定义在 上的偶函数，当 时， .那么不等式 的解集为〔    〕
A.        B.        C.        D. 
6.的展开式中 的系数为〔    〕
A. 48                                         B. 54                                         C. 60                                         D. 72
7. ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
8.在平行四边形 中， ， ，点 为边 的中点，假设 ，那么 〔    〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
9.圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为 ，那么球 的外表积等于〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.假设函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，那么 的取值范围为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
11.数列 的前 项和为 ， ， ， ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
12.点 为抛物线 的焦点， ，过点 且斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，点 为抛物线上任意一点，假设 ，那么 的最小值为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
二、填空题
13.记等差数列 的前 项和为 ，假设 ，那么 ________.
14.假设函数 在点 处的切线过点 ，那么实数 ________.
15.双曲线 与抛物线 有共同的一焦点，过 的左焦点且与曲线 相切的直线恰与 的一渐近线平行，那么 的离心率为________.
16.如图，正方体 中，点 ， 是 上的两个三等分点，点 ， 是 上的两个三等分点，点 ， ， 分别为 ， 和 的中点，点 是 上的一个动点，下面结论中正确的选项是________.

① 与 异面且垂直；
② 与 相交且垂直；
③ 平面 ；
④ ， ， ， 四点共面.
三、解答题
17.在斜三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
〔1〕假设 的面积为 ，且满足 ，求角 的大小；
〔2〕证明： .
18.2021年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了?中华人民共和国民法典?，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书〞，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于根底性地位，也是市场经济的根本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习?中华人民共和国民法典?并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取 名学生的成绩(单位：分)，绘制成如下列图的茎叶图：

〔1〕通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)
〔2〕根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩(单位：分)




等级
合格
中等
良好
优秀
①从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率.
②现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记 为抽到高二年级的人数，求 的分布列和数学期望.
19.如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， ， 平面 .

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕假设 ， ，求二面角 所成角的余弦值.
20.椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，上顶点为 ，左顶点为 ，且 .
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕 ， ，点 在椭圆上，直线 ， 分别与椭圆交于另一点 ， ，假设 ， ，求证： 为定值.
21.函数 .
〔1〕当 时，求函数 的极值点的个数；
〔2〕假设 ，求实数 的取值范围.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
〔1〕分别写出曲线 和直线 的极坐标方程；
〔2〕直线 与曲线 交于 ， 两点，假设 ，求直线 的斜率.
23.函数 ， .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 或 ，
.
故答案为：B.

【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出集合A再由补集的定义求解出答案即可。
2.【解析】【解答】
,
∴复数 在复平面内对应的点〔2，-1〕在第四象限，
故答案为：D

【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】作出可行域如以下列图所示：
 
当直线 经过点 时，此时纵截距最小，即 有最小值，
又 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：B.

【分析】根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
4.【解析】【解答】对于A，观察图中同比曲线，除11月份同比为-0.5，其余均是正值，所以2021年全国居民每月消费价格与2021年同期相比有涨有跌，A正确，不符合题意.
对于B，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8，3月份-1.2，环比有涨有跌，B正确，不符合题意.
对于C，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2021年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C正确，不符合题意.
对于D，观察图中环比曲线，3月份环比值-1.2，4月份-0.9，易知4月份消费价格比3月份低，D错误，符合题意.
故答案为：D.

【分析】由条件结合折线图中的数据对选项逐一判断即可得出答案。
5.【解析】【解答】当 时， ，由 可得 ，即 ，解得 ；
当 时， ，那么 ，又 是偶函数， ，由 可得 ，即 ，解得 ，
综上， 的解集为 .
故答案为：C.

【分析】根据题意由偶函数的性质整理即可得出当x位于不同区间时的不等式的解集，从而得出答案。
6.【解析】【解答】设 的展开式的通项公式为 ，
令 ， ；令 ， ，
所以 的展开式中 项的系数为： ，
故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式再结合题意令 以及 计算出展开式中 项的系数即可。
7.【解析】【解答】
由于函数 在 上单调递增，所以 ，
由于函数 在 上单调递减，所以 ，
所以 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由对数函数的单调性即可得出a与b的大小关系，再由指数函数的性质即可比较出大小。
8.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，如图建立平面直角坐标系，

，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C

【分析】首先建立直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
9.【解析】【解答】设圆锥母线为 ，底面半径为 ，
那么 ，解得 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ，

， ，
， ，
所以球外表积为 ．
故答案为：A．

【分析】 利用条件求出圆锥的母线以及底面半径，然后求解球的半径，即可求解球的外表积.
10.【解析】【解答】由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，
要使得函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，
那么满足 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意首先由两角和的正弦公式整理再结合正弦函数的图象即可得出由此求出的取值范围。
11.【解析】【解答】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 是等比数列，公比为4，首项为3，
那么数列 也是等比数列，公比为 ，首项为3．
所以 ．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先由数列的通项公式整理得出从而判断出数列为等比数列再由等比数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。
12.【解析】【解答】由题可得 ，那么直线 的方程为 ，设 ，
设 ，那么 ， ， ，
由 可得 ，
那么 ，两式相减得
那么可得 ，那么当 时， 取得最小值为 .
故答案为：A.

【分析】首先由条件求出直线的方程再设出点的坐标由此得到向量的坐标，结合向量的线性运算公式整理得出， 由特殊值法结合二次函数的性质即可求出最小值。
二、填空题
13.【解析】【解答】设等差数列 的公差 ，
由 ，可得： ，
∴ ，
即 ，
故答案为：0

【分析】首先由等差数列的前n项和公式整理再由整体思想结合等差数列的通项公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】解：函数 ，求导得 ，
所以 ，
所以函数 在点 处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以 ，解得： .
故答案为：2e

【分析】根据题意首先求出函数的导函数再把数值代入到导函数的解析式计算出切线的斜率值，在意点斜式求出直线的方程并把点的坐标代入非常求出m的值即可。
15.【解析】【解答】因为抛物线与双曲线共焦点，所以 ， ，抛物线方程为 ，
双曲线的左焦点为 ，过 与一条渐近线 平行的直线方程为 ，
由 得 ，
所以 ，所以 ，
从而 ，离心率为 ．
故答案为： ．

【分析】 由抛物线与双曲线的焦点相同可得p与c的关系，设过左焦点的直线方程为与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于零以及直线平行可得进一步求得a=b，再由双曲线的离心率.的公式结合整体思想求出答案即可。
16.【解析】【解答】建立如下列图空间直角坐标系：

设正方体棱长为3，
①因为 , ，所以 ，又矩形EFHG与矩形 的中心重合，且 过矩形 的中心，所以 与 异面且垂直，故正确；
②因为 , ，所以 ，所以 与 不垂直，故错误；
③由 ，设平面 的一个法向量 ，那么 ，即 ，令 ，那么 ,同理求得平面EFN的一个法向量 ，因为 ，所以平面 平面 ，又因为 平面 ，所以 平面 ，故正确；
④因为 ，那么 ，所以 ，那么 ，所以 ， ， ， 四点共面，故正确，
故答案为：①③④

【分析】首先根据题意建立空间直角坐标系，利用向量共线的性质结合面面平行的判定定理对选项逐一判断即可得出答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)根据题意由三角形的面积公式整理得到再由正弦定理即可得出从而求出角C的大小。
(2)首先由正弦定理整理得出再结合诱导公式以及两角和的正弦公式整理得出， 然后由同角三角函数的根本关系式得证出结论即可。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由茎叶图中的数据分析即可得出结论。
(2)由古典概率的公式代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
19.【解析】【分析】 (1)利用线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
20.【解析】【分析】(1) 根据题意由椭圆的定义以及条件， 结合椭圆里a、b、c的关系即可求出a与b的值由此得出椭圆的方程。
(2) 设出点 的坐标 ，由向量关系建立等式关系，再利用点在椭圆上代入椭圆方程建立关系式，联立即可证明.
21.【解析】【分析】(1)首先由a的值求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，然后由函数的单调性结合极值的定义即可得出答案。
(2)根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数f(x)的最小值，令得到， 构造函数结合导函数的性质即可得出函数 在 递减，从而得到即， 由此得出a的取值范围。
22.【解析】【分析】 (1)根据题意直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式和三角函数的值的应用求出结果.
23.【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义整理得出不等式的解集即可。
(2)根据题意由条件整理得出别离参数得到构造函数整理结合根本不等式即可求出最小值，从而求出a的取值范围即可。