2021届湘豫联考高三文数5月联考试卷及答案

这是一份2021届湘豫联考高三文数5月联考试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三文数5月联考试卷
一、单项选择题
1.全集 ，集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
2. 为虚数单位，复数 满足 ，那么 的模为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C. 2                                         D. 
3.函数 的图像大致为〔    〕
A.                    B. 
C.                           D. 
4.假设 ，且 ，那么 〔    〕
A. 3                                         B.                                          C. 2                                         D. 
5.随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大､潜力最深､根底性最强，以下列图为连续9年我国国内旅游总收入统计图：
 
假设每年国内旅游总收入 (单位：万亿元)与年份代号 线性相关，且满足 ，那么估计第10年国内旅游总收入约为〔    〕
A. 5.97万亿元                       B. 6.07万亿元                       C. 6.17万亿元                       
6.将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，那么 的一个极值点可能为〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
7.直角梯形 中， ， ， ， ，那么 〔    〕
A. 16                                         B. 32                                         C. 34                                         D. 40
8. 为二次函数，且 ，那么 〔    〕
A.                       B.                       C.                       D. 
9.如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 为双曲线 上异于 ， ，且不与 ， 关于坐标轴对称的任意一点，假设直线 ， 的斜率之积为 ，那么 的取值范围是〔    〕

A.                  B.                  C.                  D. 
10.如图，六个直角边长均为1和 的直角三角形围成两个正六边形，假设向该图形内随机投掷一个点，那么该点落在小正六边形内部的概率为〔    〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
11.执行下面的程序框图，那么输出的S的值为〔    〕

A. 41                                         B. 48                                         C. 60                                         D. 71
12.定义在 上的连续函数 的导函数为 ，且 成立，那么以下各式一定成立的是〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
二、填空题
13.函数 ，那么曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为________.
14.假设椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，那么称这个圆为蒙日圆.假设椭圆 的蒙日圆的半径为 ，那么椭圆 的离心率为________.
15.莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式( ，其中 是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把 化成指数式为________.
16.一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为 ，那么此正方体外接球的外表积为________.
三、解答题
17.数列 的前 项和为 ， ， ，等比数列 中， ， .
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前2021项的乘积 .
18.在四棱锥 中， ， ， ， 为 的中点，假设正视图方向与向量 的方向相同时，四棱锥 的正视图为三角形 .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设三角形 为直角三角形，求三棱锥 的体积.
19.近几年，随着群众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期.根据以往统计，某地一鲜花店销售某种 级玫瑰花，在连续统计的320天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量(单位：支)与特殊节日的天数如下表：

非特殊节日的天数
特殊节日的天数
总计
销售量在 内的天数
160


销售量在 内的天数
10

40
总计
170

320
〔1〕填写上表，判断是否有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关〞？
〔2〕假设按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取5天作为一个样本，再从这个样本中抽取2天加以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在 内的概率.
附： ，其中 .
P〔K2≥k〕



k



20.直线 交椭圆 于 ， 两点，满足 ，其中 为坐标原点.
〔1〕证明：直线 恒与一个定圆相切；
〔2〕设椭圆 在 ， 两点处的切线交于点 ，求点 的轨迹方程.
21.函数 ， 的反函数为 (其中 为 的导函数， ).
〔1〕判断函数 在 上零点的个数；
〔2〕当 ，求证： .
22.曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕将曲线 的参数方程化为普通方程；
〔2〕设曲线 与曲线 交于两点 ， ， ，求实数 的值.
23.设 ， ， 为正数， ， 的最小值为 .
〔1〕求 的值；
〔2〕求不等式 的解集.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
又 ，
那么 。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合指数函数的单调性，从而求出集合B，再利用交集和补集的运算法那么，从而求出集合。
2.【解析】【解答】由 得： ， 。
故答案为：A.

【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数z，再利用复数求模公式，从而求出复数z的模。
3.【解析】【解答】因为 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；
因为 ，所以排除C，
故答案为：A.

【分析】利用奇函数的定义推出函数为奇函数，再利用奇函数的图像的对称性结合特殊点排除法，从而找出适宜的大致图象。
4.【解析】【解答】 ，
或 ， ， ，
。
故答案为：D.

【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式和同角三角函数根本关系式，从而求出角的正切值，再利用角的取值范围，从而求出角的正切值，再利用二倍角的正切公式，从而求出角的正切值。
5.【解析】【解答】计算可得 ，
，
将点 代入 ，可得 ，所以 ，将 代入，可得 万亿元。
故答案为：C.

【分析】利用平均数求解公式求出中心点的坐标，再利用线性回归方程恒过中心点的性质，从而求出的值，从而求出线性回归直线方程，再利用代入法估计出第10年国内旅游总收入。
6.【解析】【解答】根据题意，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，令 ，可得 。
故答案为：D.

【分析】利用余弦型函数的图象变换求出函数g(x)的图象，从而求出余弦型函数g(x)的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的一个极值点。
7.【解析】【解答】法一：由题意可得 ，
， ，
那么
.
故答案为：C.
法二：
由题意可得 ，以 所在直线分别为 轴，建立平面直角坐标系；如图，由题意可得 ， ，

那么 ， ，所以 ，
故答案为：C.

【分析】利用两种方法解题。法一，由题意可得 ，再利用三角形法那么结合共线定理，再利用平面向量根本定理，得出  ， ，再利用数量积的运算法那么结合数量积的定义，从而求出数量积的值。法二，由题意可得 ，以 所在直线分别为 轴，建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，从而求出数量积的值。
 
8.【解析】【解答】设 ，那么 ，
由 可得 ，
所以， ，解得 ，因此， 。
故答案为：B.

【分析】 为二次函数， 设 ，再利用 ， 结合导数的运算法那么求出函数的导函数，再利用对应相等的方法，从而解方程组求出a,b，c的值，进而求出二次函数的解析式。
9.【解析】【解答】设 ， ，那么 ，那么 ， ，
由题意知 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合两点求斜率公式，从而得出， 的值，进而求出斜率之积， 再结合条件直线 ， 的斜率之积为 ， 从而求出的值 ，再结合双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线的渐近线方程，进而求出实数k的取值范围。
10.【解析】【解答】由题意可得，外面的正六边形的面积为 ，
内部的小正六边形的面积为 ，
所以所求概率为 。
故答案为：A.

【分析】由题意结合正六边形的面积公式可得外面的正六边形的面积和内部的小正六边形的面积，再利用几何概型求概率公式，从而求出该点落在小正六边形内部的概率。
11.【解析】【解答】执行程序框图， ， ，满足 ， ，满足 ， ；
，满足 ， ，满足 ， ；
，满足 ， ，满足 ， ；
，满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，满足 ， ；
，不满足 ， ，不满足 ，输出 的值为48。
故答案为：B.

【分析】利用条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，从而求出输出S的值。
12.【解析】【解答】由题可得 ，
所以 ，
设 ，那么 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
由 可得 ，
所以 ， ，所以A､B不符合题意 ， C符合题意 ，
把 代入 ，可得 ，所以D不符合题意 ，
故答案为：C.

【分析】由题可得 ，所以 ，设 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性且 ， 由 可得 ，所以 ， ，把 代入 ，可得 ，从而选出一定成立的选项。
二、填空题
13.【解析】【解答】 ， ， ，
切线方程为 ， 切线在 轴上的截距为-1。
故答案为：-1。

【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再利用直线在x轴上的截距的求解方法，从而求出曲线 在点 处的切线在 轴上的截距。
14.【解析】【解答】过 可作椭圆 的两条互相垂直的切线 和 ， 在蒙日圆上，
，解得： ，
椭圆 的离心率 。
故答案为： 。

【分析】过 可作椭圆 的两条互相垂直的切线 和 ， 所以在蒙日圆上，再利用勾股定理求出a的值，再结合椭圆的离心率公式结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出椭圆的离心率。
15.【解析】【解答】因为把 化成指数式需满足 ，
又 ,
如当 时， 。
故答案为： (答案不唯一)。

【分析】利用复变函数中的欧拉公式( ，其中 是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化， 从而得出当 时， 。
16.【解析】【解答】设正方体的棱长为 ，那么正方体的体对角线长为 ，
当正方体旋转到一条体对角线垂直于水平面时，容器内水的高度最大，
又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大高度为 。
设外接球的球心为 ，那么球心 为体对角线的中点，设正方体为 ， 为 的中点，取 ， 的中点 ， ， ， 的中点 ， ，

可证得 ， ，进而可知 平面 ，
同理可知：水面截正方体各面形成的图形为正六边形，边长为 ，周长为 ，
，解得： ，
正方体外接球的半径 ， 正方体外接球的外表积为 。
故答案为： 。

【分析】设正方体的棱长为 ，那么正方体的体对角线长为 ，当正方体旋转到一条体对角线垂直于水平面时，容器内水的高度最大，又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大高度为 。设外接球的球心为 ，那么球心 为体对角线的中点，设正方体为 ， 为 的中点，取 ， 的中点 ， ， ， 的中点 ， ，可证得 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，同理可知：水面截正方体各面形成的图形为正六边形，边长为 ，再利用正六边形周长公式，从而求出正六边形的周长，进而求出a的值，从而求出正方体外接球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出正方体外接球的外表积。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合与的关系式，再利用分类讨论的方法，从而结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用〔1〕求出的数列 的通项公式结合 ， 再利用分类讨论的方法结合数列求积的方法，从而结合乘除相消的方法，进而求出数列 的前2021项的乘积。
 
 
18.【解析】【分析】〔1〕 根据正视图的概念，可得 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以，又因为 为 的中点， ，所以， 再利用线线垂直证出线面垂直，从而证出平面 。
〔2〕 因为三角形 为直角三角形, 又因为 ，那么 ， 由〔1〕中 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，那么 ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ， 由 为 的中点，再利用三棱锥体积的关系式结合三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
 
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件填写上表，再利用独立性检验的方法，从而判断出有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关〞。
〔2〕利用条件结合分层抽样的方法，再结合古典概型求概率公式，从而求出这两天玫瑰花的销售量在 内的概率 。
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕 当直线的斜率存在时，设直线 的方程为 ，再利用直线 交椭圆 C 于 ， 两点，将直线方程代入 圆中， 结合韦达定理得出 ， (※)，由 ， 再利用两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，将(※)代入化简得出，再利用点到直线的距离公式得出点 到直线 的距离，所以直线 恒与定圆 相切，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，也满足与定圆 相切，从而证出直线 恒与一个定圆相切。
〔2〕 设 ，当 ， 不在坐标轴上，且 的斜率存在时，设直线 ，再利用直线与椭圆相交，将直线代入圆中 ，再结合判别式法得出
 ， 所以直线 ，同理可得， ，因为它们都过点 ，再结合代入法得出直线 同时过点 ， ，即直线 为  ，与 比照得， ， ， 由〔1〕知， ，故有 ，即 ，当 ， 在坐标轴上，或 斜率不存在时，经检验 仍满足 ，从而求出点 的轨迹方程。
21.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，再利用零点存在性定理，从而判断出函数 在 上零点的个数。
〔2〕 因为 ，再利用指数函数与对数函数互为反函数的关系，得出其反函数为 ，所以原不等式为 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 ，设函数 ，再利用导数的运算法那么求出其导函数，设函数 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理得出存在 ，使得 ，从而判断出函数 的单调性，再利用零点存在性定理得出存在 ，使得 ，再利用求导的方法判断函数 的单调性，因为 ， ，故当 时， ，所以 ，从而证出不等式 成立。
 
 
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合参数方程与普通方程的转化方法，从而将曲线 的参数方程化为普通方程。
〔2〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出曲线 的直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式，从而求出圆 的圆心 到直线 的距离，再利用弦长公式结合条件 ，从而求出a的值。
 
 
23.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合完全平方和公式和均值不等式求最值的方法，从而结合求和法，进而求出M的值。
〔2〕 由〔1〕可知求不等式 的解集， 再利用零点分段法，从而求出不等式 的解集。