2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）9月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）9月月考数学（理）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知点M(1, 2)，N(1, 1)，则直线MN的倾斜角是( )
A.90∘B.45∘C.135∘D.不存在

2. 直线3x+4y+7=0和直线x−2y−1=0的交点坐标是( )
A.(−1, 3)B.(1, 3)C.(−1, −1)D.(−1, 1)

3. 直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)

4. 圆4x2+4y2−8x+4y−15=0的圆心到直线y=x的距离为( )
A.2B.324C.322D.34

5. 直线x3+y4=1与x，y轴所围成的三角形的周长等于( )
A.6B.12C.24D.60

6. 在坐标平面内，过点P−1,2且与点A2,3,B−4,5距离相等的直线方程是( )
A.x+3y−5=0B.x+3y−7=0
C.x=−1D.x+3y−5=0或x=−1

7. 直线l过点1,2且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是( )
A.x+y−3=0B.y=2x
C.x+y−3=0或y=2xD.x−y+1=0或y=2x

8. 如图，在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )
A.B.
C.D.

9. 若坐标原点在圆(x−m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是( )
A.(−1，1)B.(−3，3)C.(−2，2)D.(−22，22)

10. 已知圆C:x−22+y−32=4及点P4,−1，则过点P与圆C相切的直线为( )
A.x−2y−6=0B.x−4=0或x−2y−6=0
C.x−2y−6=0或3x+4y−8=0D.x−4=0或3x+4y−8=0

11. 已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点(3, 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A.106B.206C.306D.406

12. 若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则b的取值范围是（ ）
A.[−1,1+22]B.[1−22,1+22]C.[1−22,3]D.[1−2,3]
二、填空题

若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x−4y=0的圆心，则a的值为________．

已知点A(−3, −2)，B(6, 1)，点P在y轴上，且∠BAP=90∘，则点P的坐标是________．

已知A1,−2，B2,1，若直线l:x−ky−k=0与线段AB总有公共点，则k的取值范围为________.

若圆 C:x2+y2−2x+4y−13=0上到直线l:x+y+b=0距离等于2的点只有2个，则b的取值范围为________．
三、解答题

已知直线l1:ax+3y+1=0，l2:x+(a−2)y+a=0．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；

(2)当l1 // l2时，求直线l1与l2之间的距离．

已知动圆C经过点A(2, −3)和B(−2, −5).
(1)当圆C面积最小时，求圆C的方程；

(2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程．

已知 △ABC 中， A3,4 ，CM:19x−21y+43=0 是AB边上的中线，BN:x+y+1=0是∠ABC的平分线．
(1)求点B的坐标；

(2)求BC边所在的直线方程.

已知圆C与直线2x−y+3=0切于点1,5，在直线y=x上截得的弦长为32.
(1)求圆C的标准方程；

(2)在半径较小的圆中，P是圆上的动点，当P到直线l:x−ky+1−2k=0的距离最大时，求k的值并求出距离的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（上）9月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由点M和点N的坐标可得直线MN的斜率不存在，故直线MN的倾斜角是90∘．
【解答】
解：∵ 点M(1, 2)，N(1, 1)的横坐标相同，
所以直线MN的斜率不存在，
所以直线MN的倾斜角是90∘.
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
直接联立二元一次方程组求解交点的坐标．
【解答】
解：由题意可得，联立3x+4y+7=0,x−2y−1=0,解得：x=−1,y=−1,
∴ 直线3x+4y+7=0和直线x−2y−1=0的交点坐标是(−1, −1)．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
直线恒过定点
【解析】
将直线的方程变形为k(x−3)＝y−1 对于任何k∈R都成立，从而有 x−3=0y−1=0 ，解出定点的坐标．
【解答】
解：由kx−y+1=3k，得k(x−3)=y−1，
对于任何k∈R都成立，则x−3=0，y−1=0，
解得 x=3，y=1，
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
点到直线的距离公式
【解析】
根据题意，由圆的方程分析可得圆的圆心坐标，由点到直线的距离公式分析可得答案．
【解答】
解：∵ 圆4x2+4y2−8x+4y−15=0可化为标准方程：
x−12+y+122=5，
∴ 圆心坐标为1,−12，
∴ 圆心到直线y=x，即x−y=0的距离为：
d=|1+12|2=324．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
两点间的距离公式
直线的截距式方程
【解析】
根据函数的解析式分别求出直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，然后求出周长即可．
【解答】
解：设原点为O，
直线x3+y4=1与两坐标轴交于A(3, 0)，B(0, 4)，
∴ AB=(3−0)2+(0−4)2=5，
∴ △AOB的周长为：OA+OB+AB=3+4+5=12.
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
当直线l为x=−1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=−1；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y−2=kx+1，可得|2k−3+k+2|1+k2=|−4k−5+k+2|1+k2，解出即可得出．
【解答】
解：①当所求直线方程为x=−1时，到点A2,3，B−4,5距离相等，
∴ 所求直线方程为x=−1.
②当所求直线的斜率存在时，设所求直线方程为：y−2=kx+1，
整理得：kx−y+k+2=0，
∴ |2k−3+k+2|1+k2=|−4k−5+k+2|1+k2，
整理得：|3k−1|=|3k+3|，
解得：k=−13，
∴ 所求直线方程为：y−2=−13x+1，即x+3y−5=0.
综上，所求直线方程为：x+3y−5=0或x=−1．
故选D．
7.
【答案】
C
【考点】
待定系数法求直线方程
直线的截距式方程
【解析】

【解答】
解：①当直线l与两坐标轴的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，
将点1,2代入x+y=a，得a=3，
则直线l的方程为x+y=3，即x+y−3=0；
②当直线l与两坐标轴的截距为0时，设直线l的方程为y=kx,
将点1,2代入y=kx，得k=2，
则直线l的方程为y=2x.
综上，直线l的方程为：x+y−3=0或y=2x.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由y=x+a得斜率为1，排除B，D；
由y=ax与y=x+a中a同号知，
若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上，
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，
观察选项只有C符合.
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
直接将原点的坐标代入圆方程的左边，可得左边小于右边，解之即可得到实数m的取值范围．
【解答】
解：∵ 原点O在圆(x−m)2+(y+m)2=4的内部，
∴ (0−m)2+(0+m)2<4，
得2m2<4，
解得−2即实数m的取值范围为：(−2,2)．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
圆的切线方程
【解析】
运用点斜式求直线方程，通过讨论斜率的存在性出发，利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解．
【解答】
解：当过点P的直线的斜率不存在时，
方程为x−4=0，符合条件.
当过点P的直线斜率存在时，
设其方程为y+1=kx−4，
即kx−y−4k−1=0．
由k×2−1×3−4k−1k2+−12=2，
得k+2k2+1=1，k=−34，
所以这时直线方程为3x+4y−8=0，
因此，切线方程为x−4=0或3x+4y−8=0．
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
圆x2+y2−6x−8y=0的圆心O(3, 4)，半径r=1236+64=5，点(3, 5)在圆内，最长弦AC为圆的直径．设AC与BD的交点为M(3, 5)，BD为最短弦，AC与BD相垂直，垂足为M，所以OM=d=1，BD=2BM=252−12=46，由此能求出四边形ABCD的面积．
【解答】
解：圆x2+y2−6x−8y=0的圆心O(3, 4)，半径r=1236+64=5，
点(3, 5)和(3, 4)两点间的距离d=(3−3)2+(5−4)2=1<5，
∴ 点(3, 5)在圆内，
∴ 最长弦AC为圆的直径．
设AC与BD的交点为M(3, 5).
∵ BD为最短弦，
∴ AC与BD相互垂直，设垂足为M，所以OM=d=1，
∴ BD=2BM=252−12=46.
∵ S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=12×BD×MA+12×BD×MC
=12×BD×(MA+MC)=12×BD×AC，
∴ S四边形ABCD=12×46×10=206．
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
曲线与方程
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线y=x+b表示斜率为1的直线，
而曲线y=3−4x−x2可化为(x−2)2+(y−3)2=4，(1≤y≤3)，
即表示以(2,3)为圆心以2为半径的下半圆，
如图，
由图可知，当直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2相切时取到最小值，
则有|b−1|2=2，解得b=1−22或b=1+22；
当直线y=x+b经过点(0,3)时取到最大值，此时b=3，
所以b∈[1−22,3].
故选C.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
直线与圆的位置关系
待定系数法求直线方程
【解析】
根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】
解：易知，圆x2+y2+2x−4y=0的圆心坐标为(−1, 2).
∵ 圆心在直线3x+y+a=0上，
∴ −3+2+a=0，
∴ a=1.
故答案为：1.
【答案】
(0, −11)
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
斜率的计算公式
【解析】
利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】
解：设点P(0, y)，
∵ kAB=−2−1−3−6=13，kAP=−2−y−3−0=2+y3，∠BAP=90∘．
∴ kAP⋅kAB=−1，
∴ 13×2+y3=−1，解得y=−11，
∴ P(0, −11)．
故答案为：(0, −11)．
【答案】
(−∞,−1]∪[1,+∞)
【考点】
直线恒过定点
直线的斜率
【解析】
首先求得直线l恒过0,−1，再利用斜率计算公式得出PA，PB的斜率，利用倾斜角与斜率的关系，正切函数的单调性即可得出．
【解答】
解：直线l化为x−ky+1=0，
即l恒过点P0,−1，
∵kPA=−2+11−0=−1，kPB=1+12=1，
直线l与连接A1,−2，B2,1的线段总有公共点，
∴ −1≤1k≤1，
解得，k≥1或k≤−1，
∴ 直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞).
故答案为：(−∞,−1]∪[1,+∞).
【答案】
b∈(−7,−3)∪(5,9).
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
先将圆的方程化为标准方程，然后结合题意找到圆上的点到直线l:x+y+b=0距离等于2的点只有2个的条件，结合点到直线距离公式建立不等式求解即可.
【解答】
解：圆x2+y2−2x+4y−13=0,
即x−12+y+22=18，圆心为(1,−2)，半径r=32，
因为圆上到直线l:x+y+b=0距离等于2的点只有2个，
所以圆心到直线l的距离d=|1−2+b|2=|b−1|2∈(22,42)，
由22<|b−1|2<42，解得−7故答案为：b∈(−7,−3)∪(5,9).
三、解答题
【答案】
解：(1)由l1⊥l2可得，a+3(a−2)=0，解得：a=32.
(2)当l1 // l2时，有a(a−2)−3=0，3a−(a−2)≠0， 解得：a=3，
∴ 直线l1的方程为：3x+3y+1=0，
直线l2的方程为：x+y+3=0，即3x+3y+9=0，
∴ 直线l1与l2之间的距离d=|9−1|32+32=423.
【考点】
两条平行直线间的距离
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
（1）由垂直可得a+3(a−2)＝0，解之即可；（2）由平行可得a＝3，进而可得直线方程，代入距离公式可得答案．
【解答】
解：(1)由l1⊥l2可得，a+3(a−2)=0，解得：a=32.
(2)当l1 // l2时，有a(a−2)−3=0，3a−(a−2)≠0， 解得：a=3，
∴ 直线l1的方程为：3x+3y+1=0，
直线l2的方程为：x+y+3=0，即3x+3y+9=0，
∴ 直线l1与l2之间的距离d=|9−1|32+32=423.
【答案】
解：(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，
故圆心C(0, −4)，半径r=12|AB|=5，
所以所求圆C的方程为：x2+(y+4)2=5．
(2)∵ kAB=12，AB中点为(0, −4)，
∴ AB中垂线方程为y+4=−2x，即2x+y+4=0，
解方程组2x+y+4=0,3x+y+5=0,得x=−1y=−2，
所以圆心C为(−1, −2)．
根据两点间的距离公式，得半径r=10，
因此，所求的圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10．
【考点】
直线与圆相交的性质
圆的标准方程
两点间的距离公式
直线的一般式方程与直线的垂直关系
中点坐标公式
【解析】
（1）以AB为直径的圆即为面积最小的圆．由此算出线段AB的中点坐标和AB长，即可写出所求圆C的方程；
（2）由圆的性质，AB的中垂线与直线3x+y+5=0的交点即为圆C的圆心，由此联解直线方程得圆心C(−1, −2)，再由两点的距离公式算出半径r=10，即可得到所求的圆C的方程．
【解答】
解：(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，
故圆心C(0, −4)，半径r=12|AB|=5，
所以所求圆C的方程为：x2+(y+4)2=5．
(2)∵ kAB=12，AB中点为(0, −4)，
∴ AB中垂线方程为y+4=−2x，即2x+y+4=0，
解方程组2x+y+4=0,3x+y+5=0,得x=−1y=−2，
所以圆心C为(−1, −2)．
根据两点间的距离公式，得半径r=10，
因此，所求的圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10．
【答案】
解：(1)设B点(a,b)，
由题知M为AB中点，
则M点a+32,b+42，
∴ 19×a+32−21×b+42+43=0，a+b+1=0，
解得a=−2，b=1.
∴ B点的坐标为(−2,1)．
(2)设点A关于直线BN：x+y+1=0的对称点A′，
∵ BN:x+y+1=0是∠ABC的平分线．
∴ BN⊥AA′，直线BC过A′点.
∴ kBN⋅kAA′=−1，
∵ kBN=−1，
∴ kAA′=1，
∴ AA′:y−4=1(x−3)，即y−x−1=0.
y−x−1=0，x+y+1=0，
解得x=−1，y=0，
∴ S点−1,0.
设A′(m,n)，
m+32=−1，n+42=0，
解得m=−5，n=−4，
∴ A′(−5,−4).
kBA′=−4−1−5+2=53，
∴ BC:y−1=53(x+2)，即3y−5x−13=0.
【考点】
两条直线的交点坐标
中点坐标公式
直线的点斜式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设B点(a,b)，
由题知M为AB中点，
则M点a+32,b+42，
∴ 19×a+32−21×b+42+43=0，a+b+1=0，
解得a=−2，b=1.
∴ B点的坐标为(−2,1)．
(2)设点A关于直线BN：x+y+1=0的对称点A′，
∵ BN:x+y+1=0是∠ABC的平分线．
∴ BN⊥AA′，直线BC过A′点.
∴ kBN⋅kAA′=−1，
∵ kBN=−1，
∴ kAA′=1，
∴ AA′:y−4=1(x−3)，即y−x−1=0.
y−x−1=0，x+y+1=0，
解得x=−1，y=0，
∴ S点−1,0.
设A′(m,n)，
m+32=−1，n+42=0，
解得m=−5，n=−4，
∴ A′(−5,−4).
kBA′=−4−1−5+2=53，
∴ BC:y−1=53(x+2)，即3y−5x−13=0.
【答案】
解：(1)设圆心C(a,b)，圆与直线2x−y+3=0的切点为H，
圆与直线y=x的交点为A,B，弦AB的中点为N，
则|CH|=(a−1)2+(b−5)2，
且|CH|=|2a−b+3|5，|CN|=|a−b|2.
又直线2x−y+3=0与CH所在直线垂直，
∴ b−5a−1×2=−1，即a+2b−11=0.
∴ (a−1)2+(b−5)2=|2a−b+3|5，(a−1)2+(b−5)2=3222+|a−b|22，a+2b−11=0，
解得a=3,b=4或a=−49,b=30,
r1=5，r2=3125，
∴ 圆的标准方程为(x−3)2+(y−4)2=5，(x+49)2+(y−30)2=3125．
(2)由已知得，l：x−ky+1−2k=x+1−k(y+2)=0经过定点M(−1,−2)，
连接MC并延长，交圆于点P，如图，
当PM⊥l时，P到l的距离最大，最大距离即为PM的长.
kCM=4+23+1=32，
∴ kl=−23，
∴ k=−32，
dmax=16+36+5=213+5．
【考点】
圆的标准方程
点到直线的距离公式
【解析】


【解答】
解：(1)设圆心C(a,b)，圆与直线2x−y+3=0的切点为H，
圆与直线y=x的交点为A,B，弦AB的中点为N，
则|CH|=(a−1)2+(b−5)2，
且|CH|=|2a−b+3|5，|CN|=|a−b|2.
又直线2x−y+3=0与CH所在直线垂直，
∴ b−5a−1×2=−1，即a+2b−11=0.
∴ (a−1)2+(b−5)2=|2a−b+3|5，(a−1)2+(b−5)2=3222+|a−b|22，a+2b−11=0，
解得a=3,b=4或a=−49,b=30,
r1=5，r2=3125，
∴ 圆的标准方程为(x−3)2+(y−4)2=5，(x+49)2+(y−30)2=3125．
(2)由已知得，l：x−ky+1−2k=x+1−k(y+2)=0经过定点M(−1,−2)，
连接MC并延长，交圆于点P，如图，
当PM⊥l时，P到l的距离最大，最大距离即为PM的长.
kCM=4+23+1=32，
∴ kl=−23，
∴ k=−32，
dmax=16+36+5=213+5．