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1951至今的高考数学试卷及答案合集
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欢迎下载使用。
2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．函数的定义域是 .
2．计算： （为虚数单位）.
3．函数的最小正周期 .
4．若集合，集合，则 .
5．抛物线的准线方程是 .
6．已知. 若，则与夹角的大小为 .
7．过点和双曲线右焦点的直线方程为 .
8．在△中，若，则等于 .
9．已知对于任意实数，函数满足. 若方程有2009个实数解，
则这2009个实数解之和为 .
10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个
字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”
的概率为 （结果用数值表示）.
11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数
轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标1
所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作
（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）.
那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与
1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点，
在第次操作完成后（），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为
.
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.
12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
13．过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线
方程是 [答] ( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
14．已知函数若，则的取值范围是 [答] ( )
（A）. （B）或. （C）. （D）或.
15．函数的反函数图像是 [答] ( )
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
16. (本题满分12分)
如图，在斜三棱柱中，
，，侧棱与底面所成的
角为，，. 求斜三棱柱
的体积.
17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
18. (本题满分14分)
我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，其中、分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.
19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.
如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，
其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）. 设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.
（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；
（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.
20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.
设函数，其中为正整数.
（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；
（2）证明：；
（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.
2009年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.
1.. 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. 5. 8. . 9. 0. 10. .
11. ；为中的所有奇数.
二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
题 号 | 12 | 13 | 14 | 15 |
代 号 | B | C | A | C |
三．（第16至20题）
16. [解] 在△中，
. …… 3分
作平面，垂足为，则，
…… 6分
在△中，
. …… 9分
. …… 12分
17. [解] （1）， ①
当时，. ②
由 ① - ②，得.
. …… 3分
又 ，，解得 . …… 4分
数列是首项为1，公比为的等比数列.
（为正整数）. …… 6分
（2）由（1）知，， …… 8分
. …… 10分
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 .
数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，
必有，即实数的最大值为. …… 14分
18. [解] 设所求轨道方程为，.
，. …… 4分
于是 .
所求轨道方程为 . …… 6分
设变轨时，探测器位于，则
，，
解得 ，（由题意）. …… 10分
探测器在变轨时与火星表面的距离为
. …… 13分
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分
19. [证明]（1）由题意可知，，
. …… 3分
，
顶点不在同一条直线上. …… 4分
（2）由题意可知，顶点的横坐标，
顶点的纵坐标. …… 7分
对任意正整数，点的坐标满足方程，
所有顶点均落在抛物线上. …… 9分
（3）[解法一] 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是
消去，可得 . …… 12分
为使得所有顶点均落在抛物线上，则有
解之，得 . …… 14分
所应满足的关系式是：. …… 16分
[解法二] 点的坐标为
点在抛物线上，
. …… 11分
又点的坐标为 且点也在抛物线上，
，把点代入抛物线方程，解得 . …… 13分
因此，， 抛物线方程为.
又
所有顶点落在抛物线上. …… 15分
所应满足的关系式是：. …… 16分
20. [解] （1）在上均为单调递增的函数. …… 2分
对于函数，设 ，则
，
，
函数在上单调递增. …… 4分
（2） 原式左边
. …… 6分
又原式右边.
. …… 8分
（3）当时，函数在上单调递增，
的最大值为，最小值为.
当时，， 函数的最大、最小值均为1.
当时，函数在上为单调递增.
的最大值为，最小值为.
当时，函数在上单调递减，
的最大值为，最小值为. …… 11分
下面讨论正整数的情形：
当为奇数时，对任意且
，
以及 ，
，从而 .
在上为单调递增，则
的最大值为，最小值为. …… 14分
当为偶数时，一方面有 .
另一方面，由于对任意正整数，有
，
.
函数的最大值为，最小值为.
综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.
当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. …… 18分
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